【例1】
(x+1)2−(x− 1)2=4x となることを証明せよ．

（答案）
（左辺）=(x2+2x+1)− (x2− 2x+1)=x2+2x+1− x2+2x− 1=4x=（右辺）　　■証明終り■

【例2】
4x=(x+1)2− (x− 1)2 となることを証明せよ．

上の例１と逆向きに進めるとよい．

【例4】
(ax+by)2+(ay− bx)2=(a2+b2)(x2+y2) となることを証明せよ．
（答案）
（左辺）-（右辺）
=(ax+by)2+(ay− bx)2− (a2+b2)(x2+y2)
=a2x2+2abxy+b2y2+a2y2− 2abxy+b2x2
− a2x2− a2y2− b2y2− b2x2=0

ゆえに，（左辺）＝（右辺）　　■証明終り■

【ポイント】
　(IV)が最強です．
　ただし，単に（左辺）−（右辺）＝０　と書けばよいのではないことに注意．次の答案は（問題文を書き換えただけの）零点答案になります．

（問題）
(ax+by)2+(ay− bx)2=(a2+b2)(x2+y2)を証明せよ．
（答案）
(ax+by)2+(ay− bx)2−(a2+b2)(x2+y2)=0

　重要なのは，（左辺）−（右辺）＝０　にすればよいのだなという方向性は決めておいても，「途中経過においてはその結論は気付かないふりをして，最後に結論を書くこと」
　次のように書けばよい．

（問題）
(ax+by)2+(ay− bx)2=(a2+b2)(x2+y2)を証明せよ．
（答案）
(ax+by)2+(ay− bx)2−(a2+b2)(x2+y2)
=a2x2+2abxy+b2y2+a2y2−2abxy+b2x2
−a2x2−a2y2−b2y2−b2x2
=0

「 (x+1)2− (x− 1)2=4x を証明せよ．」という問題に対して， (x+1)2− (x− 1)2=4x …(A) と書いても問題文を写しているだけで証明にはならないが，こういう答案が結構多い．
　左の(IV)の例4において，単に（左辺）－（右辺）＝０　とだけ書いている答案もダメである．

⇒　結論は問題に書いてあり，問題を転記しただけで解答になるはずがないが，書いた本人は「簡単なので暗算で行った」と考えている．
　（左辺）と（右辺）の間をつなぐのが証明．左記の ★ を埋めるのが証明

「 (x+1)2− (x− 1)2=4x を証明せよ．」という問題に対して，
__________(x+1)2− (x− 1)2=4x …(B)
__________x2+2x+1− (x2− 2x+1)=4x …(C)
__________4x=4x …(D)
__________0=0 …(E)
と書いても証明にはならないが，この答案は結構多い．

⇒　上記の答案では，(B)→(C)→(D)→(E)の順に主張しているので，証明すべき(B)を仮定していることになる．
（言いたいこと（B）を仮定して，当たり前のこと（E）を証明しても何にもならない）

　上の(B)から変形することについては，結論と仮定の混同という点からも問題がある･･･仮定と結論の違いは中学校で学ぶ．
　数学が不得意な生徒だけの話ではない･･･願望と現実との混同は，誰しも陥りやすい間違いと考えられる．
（小話）
　昔，ダイヤが炭素でできていることが分かってから，炭からダイヤを作ろうと頑張っていた学者がいた．何年がんばってもうまく行かなかったので，ある日弟子が材料にダイヤを入れておいた．
　そうとは知らずに，学者はダイヤができたと喜んだ．

　上の(A)の例では，この程度のものは暗算で済ませましたという場合，書き手＝「数学の専門家」だから許されると考えていれば大間違い．

　上の(A)の例で，「数学の神様」が読めば答案の省略部分を理解してくれるはずだと考えるのは大間違い．そうではなく，普通の人が納得するかどうか，その説得力が証明力と考えるべき．