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【大小比較の原則】
a>bを示すためにはa−b>0を示せばよい．

　２つの数a, bについて，a−b>0のときにaはbよりも大きいといい，a>bと書きます．つまり，a−b>0がa>bの定義です．

　移項したら当たり前のことに見えるので，上のようにわざわざ言うことにどんな意味があるのか疑問に思うかもしれませんが，一般に「a>bを示すよりはa−b>0を示すことのほうが簡単になります．」
【例1】
　a>b, c>dのときac+bd>bc+adであることを示すのは簡単ではありませんが，その代わりに(ac+bd)−(bc+ad)>0を示すことは比較的簡単に行うことができ，これによってac+bd>bc+adの証明とすることができます．
【例2】
　a2+1≥2aを示すことは必ずしも簡単ではありませんが，a2+1−2a=(a−1)2≥0は簡単に示すことができます．

　次の性質は上の大小比較の原則から証明できるものですが，よく登場するのでこれら自身も定理として覚えてすぐ使えるようにします．
【不等式の基本性質】
○両辺に同じ数を足したり，両辺から同じ数を引いても大小関係は変わらない
a>bならばa+c>b+c …(1)
a>bならばa−c>b−c …(2)
○両辺に同じ正の数を掛けたり，両辺を同じ正の数で割っても大小関係は変わらない
a>b, c>0ならばac>bc …(3)
a>b, c>0ならば> …(4)
※次の(5)(6)は，間違いが多いので要注意です．

仮定によりa>bだからa−b>0	←使いやすい形に直しておく
このとき， (a+c)−(b+c)	←ここで(a+c)−(b+c)>0と書いてはいけない．言いたいことと言えていることは違う!
=a+c−b−c	←途中経過では>0とか<0のような「判断」をしないこと．（「どうなるか調べてみよう」の立場に立って，変形だけを行う）
=a−b>0	←仮定によってこれが言えるから，ここまで来てからようやく「判断」を示す．
ゆえに，a+c>b+c （証明終り）	←ここまでの変形で (a+c)−(b+c)>0が示せたから，大小比較の原則によって a+c>b+cが言える

仮定によりa>bだからa−b>0
このとき，(a−c)−(b−c)=a−c−b+c=a−b>0
ゆえに，a−c>b−c （証明終り）

仮定によりa>bだからa−b>0
このとき，ac−bc=c(a−b)
ここで，同符号c>0a−b>0のものを掛けると正になるから
c(a−b)>0
ゆえに，ac>bc （証明終り）

仮定によりa>bだからa−b>0
また，仮定によりc>0
このとき，−=
ここで，同符号c>0a−b>0のものの割り算は正の数になるから
>0
ゆえに，> （証明終り）

【例１】
a>b, x>yのとき，次の不等式が成り立つことを証明してください．
ax+by>ay+bx

【問１】
a>b, x>yのとき，次の不等式が成り立つことを証明してください．
a+x>b+y

大小比較の原則により（左辺）−（右辺）を作ります．
(a+x)−(b+y)
この後，まだ結論（>0）を示さずに，変形だけでつないでいくと上記のような答案になります

【問２】
a>b, x>yのとき，次の不等式が成り立つことを証明してください．
(a+b)(x+y)>2(ay+bx)

(1)　大小比較の原則により（左辺）−（右辺）を作ります．
(a+b)(x+y)−2(ay+bx)
この後，まだ結論（>0）を示さずに，変形だけでつないでいくと上記のような答案になります

(2)　共通因数(x−y)でくくると
(a−b)(x−y)
になります．

【例２】
a<b<cのとき，次の不等式が成り立つことを証明してください．
a<<c

【問３】
a<b<cのとき，次の不等式が成り立つことを証明してください．
<<

連なり型不等式A<B<Cは，２つの不等式A<BとB<Cの連立不等式になる． (1)　大小比較の原則により（第2辺）−（第1辺）を作ります．
−

(2)　仮定a<b<c→b−a>0, c−b>0, (c−a>0)を使わないと問題は解けないのだから，b−a>, c−b>0, (c−a>0)が登場するように式を変形します．
=

(3)　大小比較の原則により（第3辺）−（第2辺）を作ります．
−

(4)　　仮定a<b<c→b−a>0, c−b>0, (c−a>0)を使わないと問題は解けないのだから，b−a>, c−b>0, (c−a>0)が登場するように式を変形します．
=

【例３】
a>b, c>dのとき，次の不等式は「つねに成り立つ」「必ずしも成り立たない」「絶対成り立たない」のいずれであるか答えてください．
ac−bd>bc−ad

成り立つ例（a>b, c>dかつc+d>0となる例を示せばよい）
a=2>b=1, c=1>d=0のとき，ac−bd=2, bc−ad=1
成り立たない例（a>b, c>dかつc+d≤0となる例を示せばよい）
a=2>b=1, c=0>d=−1のとき，ac−bd=1, bc−ad=2

【問４】
a>b, c>dのとき，次の不等式は「つねに成り立つ」「必ずしも成り立たない」「絶対成り立たない」のいずれであるか答えてください．
a+c>b+d

仮定によりa−b>0, c−d>0
このとき(a+c)−(b+d)=(a−b)+(c−d)>0は成り立つ．

【問５】
a>b, c>dのとき，次の不等式は「つねに成り立つ」「必ずしも成り立たない」「絶対成り立たない」のいずれであるか答えてください．
ac>bd

仮定によりa−b>0, c−d>0
このときac−bd=ac−ad+ad−bd=a(c−d)+d(a−b)の符号を考えると
a−b>0, c−d>0だからa, dの符号によって結果が変わる．
1) a>0, d>0の場合の例：a=2>b=1, c=3>d=2ならばac=6>bd=2
2) a<0, d<0の場合の例：a=−1>b=−2, c=0>d=−1ならばac=0<bd=2
以上により，必ずしも成り立たない．

【問６】
a<b<cのとき，次の不等式は「つねに成り立つ」「必ずしも成り立たない」「絶対成り立たない」のいずれであるか答えてください．
a2+b2<ab+bc

ab+bc−(a2+b2)=ab+bc−a2−b2
=a(b−a)+b(c−b)の符号を考えると
b−a>0, c−b>0だからa, bの符号によって結果が変わる．
1) a, b>0の場合の例：a=1<b=2<c=3ならばa2+b2=5<ab+bc=8で成立
2) a, b<0の場合の例：a=−2<b=−1<c=0ならばa2+b2=5>ab+bc=2で不成立
以上により，必ずしも成り立たない．

【問７】
a<b<c<dのとき，次の不等式は「つねに成り立つ」「必ずしも成り立たない」「絶対成り立たない」のいずれであるか答えてください．
ac+bd>ab+cd

ac+bd−(ab+cd)=ac+bd−ab−cd
=a(c−b)+d(b−c)=a(c−b)−d(c−b)=(a−d)(c−b)の符号を考えると
a−d<0, c−b>0だから(a−d)(c−b)<0
以上により，絶対成り立たない．

【願望と現実との取り違え】
　証明問題では他の単元よりも零点答案が多く見かけられます．答案を見ると，それは「仮定と結論のもつれ」「願望と現実の取り違え」「言いたいことと言えていることの混同」になっているためです．
　生徒の「思い」としては「願望と現実の取り違え」がない場合でも，書かれた答案の「表現」としては「言えていること」から「言いたいことを」示す形になっていなくて，「結論」を仮定した答案になっていることが多いのです．
　証明の文章は特に逆に読むという接続詞が書いてなければ，前から後ろへ，上から下へ読みます．
　例えば，a>bならばa+c>b+cとなることを証明しなさいという問題において
a+c>b+c
a>b
という答案があれば，これは「a+c>b+cを変形すれば（仮定すれば），cの移項によりa>bが言える」という答案になります．これは零点答案です．
　難しい問題の場合には，結論の方からも歩み寄らないと証明しにくいことはありますが，その書き方は上のような「書き方」とは違うのです．
　「（･･･を示すためには･･･を示せばよい）などのように仮定と結論を逆順に指定する言葉を入れる」とか，「(a+c)−(b+c)はどうなるか分からないが調べてみよう」といったスタイルで書き，結論を使わない形に書く必要があります．
(a+c)−(b+c) …（差を調べてみようという書き方にする）
=a+c−b−c …（まだ結論は書かない）
=a−b …（まだ結論は書かない）
>0 …（仮定から言えること）
a+c>b+c …（結論は最後に書く）

【宣言的知識と手続き的知識】
　証明問題について，多くの生徒が疑問に思うこととして「誰か偉い専門家が証明したのなら，それは真理なのだから，自分は覚えるだけでよいのではないか．自分のような初心者がなぜ専門家が証明したことをもう一度証明しなければならないのか，意味が分からない」ということがあります．つまり「証明問題をやることは無駄だという感情」が学習意欲を妨げるようなのです．
　誰かが正しいことを証明して覚えたら済むような知識は「宣言的知識」と呼ばれますが，多くの生徒は世の中が宣言的知識だけで成り立っていると考えている節があります．実際には，社会生活においてそれぞれの人が解決しなければならない具体的な問題は，置かれた状況の数・人の数だけあり，それぞれの人が解決しなければならない個々の場合を網羅することはできません．
　例えばあなたが，コンピュータで処理するときに，幾つかの例から「Ａのときにはほとんどの場合Ｂになるようだ」という印象をもっているとします．１つの処理に数時間かかるとして，Ａならば必ずＢになるという証明ができて，ＡであってかつＢでないときの処理が不要になる場合は，両方の準備をする場合と比較すると大きな時間の節約ができることになります．
　また，あなたが何らかのイベント企画担当者であっても同様に，ＡであってかつＢでないときの処理が不要になる場合は，両方の準備をしてそれぞれ警備員を雇う場合と比較すると大きな経費の節約ができることになります．
　証明の仕方のようなものは，「手続き的知識」と呼ばれ手順を踏んで処理するの仕方を実技科目のように身に付けなければならないものです．

【悪循環の構図･･･個人的印象】
　不等式に限らず，数学で証明問題はここ数十年の間にだんだん教えにくくなってきたという印象があります．それは，高校には単位認定制度があって，その人の年間総得点があまり低いと単位認定ができない仕組みになっていることと関係があります．
　授業で教えたことは特別な事情がなければ定期試験で達成度を試験しなければなりませんが，上で述べたような事情もあって，証明問題を出題すると数学を苦手とする生徒は答案の形にならず零点答案を書いてしまいます．極端に言えば，全員できなければ進級には差し支えないとも言えますが，できない人だけができないとその人が進級できません．このようにして教える側が証明問題を出題することをだんだんと避けるようになるようです．
　証明問題を扱う時期が１学期の初めの方であれば，仮に零点となってもまだ２学期，３学期に挽回するチャンスがありますが，やさしいものから難しいものへと単元を並べると，どうしても証明問題を扱う時期が２学期以降になってしまいます．このようにして，証明問題を扱うと「一発アウト」となる人が出やすくなり，あまりに危険なので教える側も証明問題を避けるようになり，結局，証明問題をだんだん教えなくなる．こうして「できない」→「教えない」→「さらにできなくなる」という悪循環を生じているという印象があります．