 ...（携帯版）メニューに戻る...(ＰＣ版)メニューに戻る*** 科目 *** 数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ高卒・大学初年度 *** 単元 *** 式と証明点と直線円軌跡と領域三角関数 指数関数対数関数微分不定積分定積分 高次方程式数列漸化式と数学的帰納法 平面ベクトル空間ベクトル確率分布 ※高校数学Ⅱの「式と証明」について，このサイトには次の教材があります．
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根号が付いている式のように，そのままでは大小を比較しにくい場合には「両方とも正の数」である限り，元の２数に代えて２乗してしたもので大小を比較することができます．
【２乗比較】
（解説）a>0, b>0のとき， a2>b2ならばa>b a2−b2=(a+b)(a−b) だから，a>0, b>0のときa+b>0だから a>bならばa2>b2…(1) a2>b2ならばa>b…(2) のいずれも成り立ちます． 特に(2)を利用すると，元の式の大小を直接比較しにくいときに，それぞれの式の２乗で比較することができます． （ただし，この2乗比較が使えるのは，「２数とも正」という前提が満たされているときに限ります．負の数については，２乗が大きくても元の数が小さい場合があります．）
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【例１】
a, b>0のとき，次の不等式が成り立つことを証明してください．  √a+√b>√a+b
このままでは根号が付いているため引き算しても簡単になりませんので，２乗して比較することを考えます．
（証明）２乗比較するためには，はじめ，途中または最後のいずれかの段階で「元の式の両辺とも正であること」を述べる必要があります．下記の(※)の部分 ( √a+√b)2−(√a+b)2=a+2√ab+b−(a+b)=2√ab>0だから ( √a+√b)2>(√a+b)2√a+√b>0, √a+b>0だから …(※)√a+√b>√a+b （証明終り） |
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※以下の問題は暗算ではできません．手元に計算用紙を置いて，きっちり証明してから答えてください.
【問１】
（解答）…正しいものを選んでください．Help
a>b>0のとき，次の不等式は「つねに成り立つ」「必ずしも成り立たない」「絶対成り立たない」のいずれであるか答えてください． √a−√b>√a−b
両辺とも正だから２乗比較できる．
( √a−√b)2−(√a−b)2=a+b−2√ab−(a−b)=2b−2 √ab=2√b(√b−√a)=Iとおくa>b>0だから √b>0, √b−√a<0ゆえにI<0 もとの不等式は「絶対成り立たない」…（答） |
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【問２】
（解答）…正しいものを選んでください．解説
a>0, b>0のとき，次の不等式は「つねに成り立つ」「必ずしも成り立たない」「絶対成り立たない」のいずれであるか答えてください． = (b+1)a2−b2(a+1)(a+1)a2=a2b−ab2+a2−b2(a+1)a2= ab(a−b)+(a+b)(a−b)(a+1)a2=(ab+a+b)(a−b)(a+1)a2=Iとおくa>0, b>0だからab+a+b, a2, a+1>0であるがa−bの符号は条件次第となる． (1) a>bならばI>0 (2) a=bならばI=0 (3) a<bならばI<0 ゆえに，もとの不等式は「必ずしも成り立たない」（成り立つときと成り立たないときがある）…（答） |
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【問３】
（解答）…正しいものを選んでください．解説
a>b>0のとき，次の不等式は「つねに成り立つ」「必ずしも成り立たない」「絶対成り立たない」のいずれであるか答えてください． 2 √a+√b>√4a+b
両辺とも正だから２乗比較できる．
(2 √a+√b)2−(√4a+b)2=4a+4√ab+b−(4a+b)=4 √ab>0ゆえに，もとの不等式は「つねに成り立つ」…（答） |
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【問４】
（解答）…正しいものを選んでください．解説
a>0, b>0のとき，次の不等式は「つねに成り立つ」「必ずしも成り立たない」「絶対成り立たない」のいずれであるか答えてください． √a+√b>√2(a+b)
両辺とも正だから２乗比較できる．
( √a+√b)2−(√2(a+b))2=a+b+2√ab−2(a+b)=−a+2 √ab−b=−(a−2√ab+b)=−(√a−√b)2≦0ゆえに，もとの不等式は「絶対成り立たない」…（答） |
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【問５】
（解答）…正しいものを選んでください．解説
a>0, b>0のとき，次の不等式は「つねに成り立つ」「必ずしも成り立たない」「絶対成り立たない」のいずれであるか答えてください． √a+√b>√a+b+2
両辺とも正だから２乗比較できる．
( √a+√b)2−(√a+b+2)2=a+2√ab+b−(a+b+2)=2( √ab−1)=Iとおく(1) ab>1ならばI>0 (2) ab=1ならばI=0 (3) ab<1ならばI<0 ゆえに，もとの不等式は「必ずしも成り立たない」（成り立つときと成り立たないときがある）…（答） |
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【問６】
（解答）…正しいものを選んでください．解説
a>1, b>1のとき，次の不等式は「つねに成り立つ」「必ずしも成り立たない」「絶対成り立たない」のいずれであるか答えてください． √ab+1>√a+√b
両辺とも正だから２乗比較できる．
( √ab+1)2−(√a+√b)2=ab+2√ab+1−(a+b+2√ab)=ab+1−a−b=(a−1)(b−1)=Iとおくと a>1, b>1だからI>0 ゆえに，もとの不等式は「つねに成り立つ」…（答） |
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【問７】
（解答）…正しいものを選んでください．解説
0<a<1のとき，次の不等式は「つねに成り立つ」「必ずしも成り立たない」「絶対成り立たない」のいずれであるか答えてください． 1−a< √1−a2
0<a<1のとき，両辺とも正だから２乗比較できる．
( √1−a2)2−(1−a)2=1−a2−(1−2a+a2)=2a−2a2=2a(1−a)=Iとおくと 0<a<1だから a>0, 1−a>0 したがって，I>0 ゆえに，もとの不等式は「つねに成り立つ」…（答） |
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【問８】
（解答）…正しいものを選んでください．解説
a>0のとき，次の不等式は「つねに成り立つ」「必ずしも成り立たない」「絶対成り立たない」のいずれであるか答えてください． a+1< √2(a2+1)
両辺とも正だから２乗比較できる．
( √2(a2+1))2−(a+1)2=2(a2+1)−(a2+2a+1)=a2−2a+1=(a−1)2=Iとおく (1) 0<a<1ならばI>0 (2) a=1ならばI=0 (3) a>1ならばI>0 ゆえに，もとの不等式は「必ずしも成り立たない」（成り立つときと成り立たないときがある）…（答） |
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