日常生活で平均と言えば，２個の数字を足して２で割る，３個の数字を足して３で割る，...という相加平均がよく用いられますが，数学的には相加平均以外にも様々な平均があります．この頁では，正の数について相加平均≧相乗平均≧調和平均の関係があることを利用した不等式の証明を扱います．

【相加平均≧相乗平均の関係】（２文字の場合）
a≧0，b≧0のとき

が成り立つ．等号が成立するのはa=bのとき

※高校では，等号付き不等号を≧や≦で表しますが，大学や専門書ではも使われます．この頁では両方の記号を使いますが，同じ意味です．

相加平均≧相乗平均の関係は，大小比較の原則：（左辺）-（右辺）≧０⇒（左辺）≧（右辺）によって証明できますが，いつも大小比較の原則に戻って証明していると長くなるので，相加平均≧相乗平均の関係を定理として覚えて使います．

【例１】
a, b>0のとき，次の不等式が成り立つことを証明してください．また，等号が成り立つ場合を調べてください．
+≧2

【例２】
a, b, c, d>0のとき，次の不等式が成り立つことを証明してください．また，等号が成り立つ場合を調べてください．
(a+b)(c+d)≧4

２つの数の相加平均　x+x=a+b ⇒ x= ３つの数の相加平均　x+x+x=a+b+c ⇒ x=

２つの数の相乗平均　x×x=a×b ⇒ x= ３つの数の相乗平均　x×x×x=a×b×c ⇒ x=

２つの数の調和平均　+=+ ⇒ = ⇒ = ⇒ x= ３つの数の調和平均　++=++ ⇒ ... ⇒... ⇒ x=

２つの数の２乗平均　x2+x2=a2+b2 ⇒ x2= ⇒ x=
３つの数の２乗平均
　x2+x2+x2=a2+b2+c2 ⇒ x2= ⇒ x=

２つの数の３乗平均　x3+x3=a3+b3 ⇒ x3=

【問１】
a, b, c>0のとき，不等式(a+b)(b+c)(c+a)≧8abcが成り立つことを証明してください．また，等号が成り立つ場合を調べてください．

【相加平均≧相乗平均の関係】（３文字以上の場合）
○a, b, c≧0のとき

≧

が成り立つ．等号が成立するのはa=b=cのとき

○a, b, c, d≧0のとき

≧

が成り立つ．等号が成立するのはa=b=c=dのとき


○５文字以上のときも同様

次の(A)の方法で証明することが多いが，この因数分解公式が難しいときには(B)の方法で証明することもできる．ただし，(B)の方法も難しい部分はある．

（補足説明）
対数関数上にあるｎ個の点の重心はグラフよりも下にある
〇２点の場合
はｘ座標の中点
はy座標の中点
⇒この点は右図で赤丸灰生地で示した2という点になる
これに対して

はに対応するグラフ上の点で赤丸白生地で示した点になる．だから

〇３点の場合

と書けることに注意すると，ｘ座標での平均は，ｘ座標の平均とｘ座標を1：2に内分する点になる．
同様にして

そこで青で示した３つの点の重心（ｘ座標の平均とｙ座標の平均を座標とする点）は右図の緑で示した三角形の内部にある．（赤丸灰生地で示した3という点）
これに対して

はに対応するグラフ上の点で赤丸白生地で示した点になる．だから

〇４点の場合
以下同様にして
と変形すると，３点の重心と4番目の点を1：3に内分する点になるから，４点でできる４角形の内部にある．
これに対して，右辺はその点から上に伸ばしてグラフと交わる点のｙ座標になるから

【問２】
a>0のとき，不等式
a++1≧3
が成り立つことを証明してください．また，等号が成り立つ場合を調べてください．

【問３】
a, b, c>0のとき，不等式
++≧3
が成り立つことを証明してください．また，等号が成り立つ場合を調べてください．

【例４】
a, b>0のとき(2a+)(b+)≧9

この不等式の証明を次のように行うと間違いになります．
2a, >0だから2a+≧2>0…(1) b, >0だからb+≧2>0…(2) 辺々掛けて
(2a+)(b+)≧22=8…(3) ※元の不等式が≧9であることの証明を求めているのに対して，より「弱い」≧8を示しても証明にはなりません．
そもそも，○≧□＞０と●≧■＞０から○●≧□■となるのは，２つの不等式で「両方との等号が成り立つ場合」ですが，上の答案において
2a=となるのは2ab=1の場合で
b=となるのはab=2の場合なので
等号が２つとも成り立つことはありません．(1)も(2)の仮定して(3)を導くと元の条件よりも弱い条件になっています．だから，≧8というのは，述べていること自体は間違ってはいませんが≧9の証明にはなっていないのです．

【例５】
a, b, c>0のときbc(b+c)+ca(c+a)+ab(a+b)≧6abc

高校生が答案を書くときに「黙って使ってよい」のは「教科書に載っている公式」です．教科書に載っていない公式は，仮にあなたが知っていても黙って使うのは問題があります．
相加平均と相乗平均の関係で教科書に載っているのは２文字の場合までです．（３文字の場合はよく登場するのでギリギリセーフという解釈もできますが，４文字以上の場合はその公式を示す必要があります．）

bc(b+c)+ca(c+a)+ab(a+b)

=b2c+bc2+c2a+ca2+a2b+ab2
≧6

=6=6abc

【例６】
a, b, c>0のとき(a+)(b+)(c+)≧8

【例７】
a, b, c>0のとき++≧

a, b, c>0のとき, , >0だから，
相加平均と相乗平均の関係により
++≧3…(1)
さらに
(a+b)+(b+c)+(c+a)≧3>0だから
2(a+b+c)≧3>0
≧…(2)
(1)(2)より ++≧
等号が成り立つのは，a+b=b+c=c+aすなわちa=b=cのとき

a＞bのときa＞（a+b/２）などの普通に不等式の証明をする問題と、a＞0のときa+(1/a)≧2などの相加・相乗平均を利用する問題の解き方の区別（どういう時に相加・相乗平均を使うのか）が分かりません。見分け方はありますか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．
授業や教科書レベルの問題で練習している場合に，相加相乗の関係を利用できるのは「登場する文字が正（または０以上）」の場合です．正負の符号が分からない問題について相加相乗の関係を適用することはできません．
しかし，「登場する文字が正（または０以上）」の場合でもすべて相加相乗の関係で解けるとは限りません． 見かけだけでは「あれかこれか」の区別ができるとは限りませんが，普通の証明になる場合も相加相乗の関係を使う場合も，「大小比較は差の符号で判断する」（大小比較の原則）という一段上の原則にまとめることができます．大小比較の原則に戻って証明すると，次のようになります． ※相加相乗の関係は，証明済みの結果から出発できるので早くできるというだけのことです．だから無理に見分ける必要はないとも言えます．

下記の欄の数式に誤りがあると考えます。 ”■相加平均.相乗平均.調和平均 ” ↓ ”【相加平均≧相乗平均の関係】（３文字以上の場合）” ↓ ”(C)” ↓ ”対数関数は上に凸だから”の2行目左辺に”log(...)”が無いと考えます。 PS,資料がとても分かりやすく感謝しています。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．ご指摘の通り，抜けていましたので訂正しました．（読んでくれている人がいるようなので，凸関数の重心について補足説明も追加する予定）

相加相乗平均でa>0.b>0を言っているならば a+b≧2(ab)^1/2 >0 の最後の>0は本当に必要ですか？ チャートなどの問題集や参考書にも記述が省かれていると思うのですが。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．単発でそれで終了なら構わない場合もありますが，さらに組み合わせて使う場合には，言わなければならない場合があります． などとは言えません．（のような場合がある）
は言えます．このように大きいもの2個の積と小さいもの2個の積とを「安全に比較できるのは」全部正の数の場合です．（負の数が混じっていると怪しくなる）
そこで などとは言えませんが は言えます．