分数式の和・差

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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ 高卒・大学初年度
*** 単元 ***
式と証明点と直線円軌跡と領域三角関数
指数関数対数関数微分不定積分定積分
高次方程式数列漸化式と数学的帰納法
平面ベクトル空間ベクトル確率分布

※高校数学Ⅱの「式と証明」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　が現在地です．

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↓割り算の原理
↓複雑な無理数の代入

↓分数式の約分
↓分数式の和差

↓繁分数式
↓オイラーの分数式・繁分数式

↓恒等式
↓等式の証明

↓不等式の証明
↓絶対不等式
↓相加平均・相乗平均
２乗比較

== 分数式の和・差 == 【解説】
■分母が等しいとき

　２つの分数式の分母が等しいとき，

______.

ACn + .

BCn= .

A+BCnnn , .

ACn−.

BCn= .

A-BCnnn

　３つ以上の分数式の場合も同様

______.

ADn−.

BDn + .

CDn= .

A-B+CDnnnnn

例：（数字だけの）分数の場合

1)__.

27n+.

37n = .

2+37nnn= .

57n

2)__.

58n−.

28n= .

5−28nnn= .

38n

3)__.

27n−.

17n+ .

37n= .

47n

例：分数式の場合

1) .

3x+2x+4nnnn+.

x+3x+4nnn

= .

3x+2+(x+3)x+4nnnnnnnnnn

= .

4x+5x+4nnnn

2) .

3x+2x+4nnnn−.

x+3x+4nnn

= .

3x+2−_(x+3)x+4nnnnnnnnnn

= .

2x−1x+4nnnn

3) .

2xn−.

1xn+ .

3xn= .

4xn

■分母が等しくないとき

　分母の最小公倍数を共通分母として通分する．

______.

ABn+.

CDn= .

ADBDnn+.

BCBDnn= .

AD+BCBDnnnnnnn

　差，３つ以上のときも同様

例：（数字だけの）分数の場合

__.

27n+.

38n= .

16+2156nnnnn= .

3756nn

例：分数式の場合

2x+3nnn+.

3x+4nnn

= .

2(x+4)_+_3(x+3)(x+3)(x+4)nnnnnnnnnnnnnnn

= .

5x+17(x+3)(x+4)nnnnnnnnnn

■［よくある間違い１］
　次の式を計算せよ．

x+1x+2nnn−.

x+3x+4nnn= .

(x+1)(x+4)(x+2)(x+4)nnnnnnnnnn−.

(x+3)(x+2)(x+2)(x+4)nnnnnnnnnn

= .

(x+1)(x+4)−(x+3)(x+2)(x+2)(x+4)nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn = ?

［⇒危険な落とし穴］
　ここまでの変形で間違う生徒は少ない．間違いは，この後で起こる．

××間違い答案 ⇒ 分子を因数分解せずに約分してしまう

____? = .

(x+1)_(x+4)−(x+3)(x+2)(x+2)(x+4)nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn = ??

○○正しくは次のように行う

__________= .

(x2+5x+4)−(x2+5x+6)(x+2)(x+4)nnnnnnnnnnnnnnnnnnnn←分子を展開した

__________= .

−2(x+2)(x+4)nnnnnnnnn

■［よくある間違い２］
　次の式を計算せよ．

x+5x2+4x+3nnnnnnn−.

x+4x2+5x+6nnnnnnn= .

x+5(x+1)(x+3)nnnnnnnnn- .

x+4(x+2)(x+3)nnnnnnnnn

= .

(x+5)(x+2)(x+1)(x+3)(x+2)nnnnnnnnnnnnn- .

(x+1)(x+4)(x+1)(x+2)(x+3)nnnnnnnnnnnnn

= .

(x+5)(x+2)−(x+1)(x+4)(x+1)(x+3)(x+2)nnnnnnnnnnnnnnnnnnn←　この分子は「因数分解」できていない

［⇒危険な落とし穴］
　ここまでの変形で間違う生徒は少ない．間違いは，この後で起こる．

××間違い答案 ⇒ 分子を因数分解せずに約分してしまう

____= .

(x+5)(x+2)−(x+1)(x+4)(x+1)(x+3)(x+2)nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn= .

??x+3nnn= ??

○○正しくは次のように行う

____= .

(x2+7x+10)−(x2+5x+4)(x+1)(x+3)(x+2)nnnnnnnnnnnnnnnnnnn　←分子を展開した

____= .

2x+6(x+1)(x+3)(x+2)nnnnnnnnnnnnn　←分子を因数分解する

____= .

2(x+3)(x+1)(x+3)(x+2)nnnnnnnnnnnnn　←約分の準備ができた

____= .

2(x+1)(x+2)nnnnnnnnn　←答

■例題１
　次の式を計算せよ．
.

1x−3nnn + .

1x+3nnn = .

(x+3)(x−3)(x+3)nnnnnnnnnn+ .

(x−3)(x−3)(x+3)nnnnnnnnnn

■= .

(x+3)+_(x−3)(x−3)(x+3)nnnnnnnnnnn ←まだ約分できない：じっと我慢

= .

2x(x−3)(x+3)nnnnnnnnn

［通分で失敗しないためには］
　通分した後　→　分子の展開　→　分子の因数分解　が済むまで
　じっと我慢して約分に手を出さないことが重要．

♪　気をつけよう，甘い誘惑，破滅の道
♪　■じっと我慢の子であった（通分約分は，大五郎とおしんに学べ）

■例題２
　次の式を計算せよ．
.

x+2x2−3x+2nnnnnnnnn − .

x−6x2−5x+6nnnnnnnn = .

x+2(x−1)(x−2)nnnnnnnnnn − .

x−6(x−2)(x−3)nnnnnnnnnn

= .

(x+2)(x−3)(x−1)(x−2)(x−3)nnnnnnnnnnnnnnnn − .

(x−1)(x−6)(x−1)(x−2)(x−3)nnnnnnnnnnnnnnnn

■__= .

(x+2)(x−3)_−_(x−1)(x−6)(x−1)(x−2)(x−3)nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn ←まだ約分できない：じっと我慢

■__= .

(x2−x−6)−(x2−7x+6)(x−1)(x−2)(x−3)nnnnnnnnnnnnnnnnnnnn ←まだ約分できない：じっと我慢

■__= .

6x−12(x−1)(x−2)(x−3)nnnnnnnnnnnnnnnn ←まだ約分できない：じっと我慢

= .

6(x−2)(x−1)(x−2)(x−3)nnnnnnnnnnnnnnnn ←約分できる

= .

6(x−1)(x−3)nnnnnnnnn 　←（答）特に展開する必要はない

※暗算ではできないので，計算用紙が必要【問題１】　次の式を計算せよ．［やさし目の問題］

[ 第1問 / 全4問中 ]

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【問題２】　次の式を計算せよ．［むずかし目の問題］

[ 第1問 / 全5問中 ]

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■［個別の頁からの質問に対する回答］[分数式の和・差について／17.6.15］

いつも参考にさせて頂いてます。よくある間違い1の間違い答案のところで分子の(x+3)と分母の(x+2)を約分しています。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．Web画面上で分数式を表示して，取り消し線に色を付けるという術に集中していたため，数学の話が飛んでいたようです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[分数式の和・差について／17.3.8］

問題2の(5)の解説で、 =x2(c－b+a－c+b－a)+x{(c+b)(c－b)+(a+c)(a－c)+(b+a)(b－a)}+bc(c－b)+ac(a－c)+ab(b－a) の +x{(c+b)(c－b)+… は、どうして、 -x{(c+b)(c－b)+… こうならないんでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．どうやら１次の符号が逆のようですので訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[分数式の和・差について／17.2.7］

チャート式で、この単元に部分分数分解があるので、このページでも解説をしてほしいです。分子が定数のタイプです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．チャート式はとてもメジャーな参考書ですが，その構成に合わせて記述するというのは著作権的にグレーに近づいてきます．当教材では，実際に部分分数分解が必要となる項目数列の和，不定積分で解説しています．

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質問に対する回答の中学版はこの頁，高校版はこの頁にあります