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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ高卒・大学初年度
*** 単元 ***
式と証明点と直線円軌跡と領域三角関数
指数関数対数関数微分不定積分定積分
高次方程式数列漸化式と数学的帰納法
平面ベクトル空間ベクトル確率分布

※高校数学Ⅱの「式と証明」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　 が現在地です．
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↓多項式の割り算
↓割り算の原理
↓複雑な無理数の代入
↓分数式の約分
↓分数式の和差
↓繁分数式
↓オイラーの分数式・繁分数式
↓恒等式
↓等式の証明
↓不等式の証明
↓絶対不等式
↓相加平均・相乗平均
２乗比較

（1次式）
　上の(A) の解は，x=5 で，この方程式が成立する x の値はただ１つである．
　一般に，１次方程式の解は多くとも1個である．（解が存在しないときを０個と数えると，0個または1個になる．）

　これに対して，2個以上の異なる x の値について成立する１次の等式は，実はどんな x の値についても成立し，以下に述べる恒等式になる．

（2次式）
　上の(B) の解は，x=2 , 3 で，この方程式が成立する x の値は２つである．
　一般に，２次方程式の解は多くとも2個である．（解が存在しないときを０個と数え，重解を１個と数えると，２次方程式の解は，0個，1個または2個になる．）


　これに対して，3個以上の異なる x の値について成立する２次の等式は，実はどんな x の値についても成立し，以下に述べる恒等式になる．
　解が3個以上ある２次の等式の例：0x2+0x+0=0

== ■要点■ == 　xの（他の文字の場合もある）特定の値についてだけ成立するのが方程式．方程式については解を求めることが多い．
【方程式の例】

　左辺を変形すれば右辺になるような場合が恒等式．恒等式はそこに登場するxの（他の文字の場合もある）値についてでも成立するので解を求めるようなことはめったにない．何かの都合で，実際には恒等式となっている等式について解を求めようとすると，「解は無限にある」ことになる．
　恒等式について，「解を求めよ」という形で問題が出されることはめったになく，恒等式となるように「係数を定めよ」という形の問題が出される．
【恒等式の例】

（次の定理は当然の話のように見えるが，この定理を覚えていないと実際に問題を解くときに困る．）
■定理Ｉ
【 恒等式となるための条件Ｉ 】（係数比較法に使う）
a,b,c,… が定数のとき
(1)　ax+b=0 が恒等式　⇔　a=b=0
(2)　ax2+bx+c=0 が恒等式　⇔　a=b=c=0
(3)　ax3+bx2+cx+d=0 が恒等式　⇔　a=b=c=d=0

---

(1)’　ax+b=a’x+b’ が恒等式　⇔　a=a’ , b=b’
(2)’　ax2+bx+c=a’x2+b’x+c’ が恒等式
__________　⇔　a=a’ , b=b’ , c=c’
(3)’　ax3+bx2+cx+d=a’x3+b’x2+c’x+d’ が恒等式
__________　⇔　a=a’ , b=b’ , c=c’ , d=d’

【例題１】
　3x2+ax+4=bx2−2x+c が恒等式となるように係数 a,b,c の値を定めよ．

【例題２】 　a(x+1)2+b(x+1)+c=2x+1 が恒等式となるように係数 a,b,c の値を定めよ．

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■定理Ⅱ
【 恒等式となるための条件IＩ 】（数値代入法に使う）
○ ｎ次式の値が異なるｎ+1個の x について等しい　⇔　x の恒等式
【例】
異なる2個の x について，１次式 ax+b=0 が成り立つ
_____　⇔　 ax+b=0 は x の恒等式 …(1)
異なる3個の x について，２次式 ax2+bx+c=0 が成り立つ
_____　⇔　 ax2+bx+c=0 は x の恒等式 …(2)
…… 異なる2個の x について，１次式 ax+b=a’x+b’ が成り立つ
_____　⇔　 ax+b=a’x+b’ は x の恒等式 …(1)’
異なる3個の x について，２次式 ax2+bx+c=a’x2+b’x+c’ が成り立つ
_____　⇔　 ax2+bx+c=a’x2+b’x+c’ は x の恒等式 …(2)’
……

【例題３】
　x3=ax(x−1)(x−2)+bx(x−1)+cx+d が恒等式となるように係数 a,b,c,d の値を定めよ．

【例題４】
　ax(x−1)+b(x−1)(x−2)+cx(x−2)=x が恒等式となるように係数 a,b,c の値を定めよ．

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　分母が0となる値以外のすべての x について成立するとき，分数式の恒等式という．
（一般に，その式が定義できる範囲で等しければ，恒等式といってよい．類似の事柄は，無理式 .√ax+b√nnnni　を含む恒等式などでも起こり，この場合は根号内が0以上となる値について恒等式であればよい．）

【例題５】
　 .axn + .bx+1nnn= .1x(x+1)nnnnnn

が恒等式となるように係数 a,b の値を定めよ．

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例
　ax2+bxy+cy2=0 が x , y についての恒等式であるように，定数 a , b , c の値を定めよ．

【例題６】
　(2x+y)a+(x+y)b+(y−2x)=0 が x , y についての恒等式であるように，定数 a , b の値を定めよ．

【※例題７】
　(2k+1)x+(1−k)y−(k+2)=0 がどんな k の値についても成立するように，x , y の値を定めよ．

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(1)の定理の証明でxに0と1を代入して証明していますがこれだけでは「←」が示されたとは言えないと思います。全ての実数についてこの定理が成り立つような証明をしてもらいたいです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．「←」は，明らかだから明らかと書いているのです．証明は不要です．（0+0が0になることを証明する必要はない）

ワークにこのような問題が乗っていて、↑の例題を見ても解き方がよく分かりません。お手数ですが、解答いただけると嬉しいです。 「　x^2=ax(x-1)+bx(x+1)+c(x-1)(x+1) が x についての恒等式となるような、定数 a、b、c を求めよ。　」 というものです。 よろしくお願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．PC版では，下に解説がありますのでそれを読んでください．
　問題を解いてしまうとあなたのやるべき問題がなくなってしまいますので，類似問題で答えます．
2x2+4=ax(x−1)+bx(x+1)+c(x−1)(x+1)
が恒等式となるように，定数a, b, cの値を定めよ．
（定数比較法による答案）
右辺を展開して係数を比較する
2x2+4=(a+b+c)x2+(−a+b)x−c
2=a+b+c
0=−a+b
4=−c
この連立方程式を解くと，a=3, b=3, c=−4
- - -
（代入法による答案）
どんなxについても成り立つならば，x=0, 1, −1のときにも成り立つ．（この値は，右辺の係数が２つずつ消える都合の良い形をしているから，それに合わせて選んだもの）
x=0を代入すると4=−c
x=1を代入すると6=2b
x=−1を代入すると6=2a
したがって，a=3, b=3, c=−4が必要条件になる．
しかし，２次式が異なる３つの値に等しいなら，恒等式であるから，十分条件も満たす．よってこれが解答．

例題２の係数比較している部分が違うような
＝＞［作者］：連絡ありがとう．確かに途中経過に怪しい式がありましたので訂正しました．

例題３で、x＝０、１、２を代入するのは式を見てｄがある、（x-１）がある、(x-２）があるからでしょう か？　それは恒等式となるための条件Ⅱで解説してあるならば、その説明は判りにくいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．未知数がa,b,c,dの４個あるので，異なる４個の値を代入して４個の連立方程式を作らなければなりません．x=3,4,5,6などとするのも自由ですが，やってみるとx=0,1,2以外では煩雑になるという勘が働くはずです．条件Ⅱは必要な方程式の「個数」について述べており，あなたが判ろうとしているかもしれない「xに代入する値」のことはそもそも書いてありません．

「次の問題」のボタンに「忘れずに！」の吹き出しが重なっていて押しにくいので、もう少しずらしてほしいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．昔はなかったブラウザのEdgeが昨年あたりから増えてきて，上下方法のずれ方がFirefoxと同じになるようです．対応しました．（この問題は「忘れずに！」の吹き出しがあるどの頁でも起こりますが，頁数が多過ぎて前もって訂正できませんので，要望が出た頁を直すようにします）