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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ高卒・大学初年度
*** 単元 ***
式と証明点と直線円軌跡と領域三角関数
指数関数対数関数微分不定積分定積分
高次方程式数列漸化式と数学的帰納法
平面ベクトル空間ベクトル確率分布

※高校数学Ⅱの「式と証明」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　 が現在地です．
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↓多項式の割り算
↓割り算の原理
↓複雑な無理数の代入
↓分数式の約分
↓分数式の和差
↓繁分数式
↓オイラーの分数式・繁分数式
↓恒等式
↓等式の証明
↓不等式の証明
↓絶対不等式
↓相加平均・相乗平均
２乗比較

【実数の平方の性質】
実数aについて
a2≧0が成り立つ． …(1)
（等号＝が成り立つのはa=0のとき）

a2+b2≧0 …(2)
a2+（正の数）>0 …(3)
（正の数）×a2≧0 …(4)
（正の数）×a2+（正の数）×b2≧0 …(5)
（負の数）×a2≦0 …(6)
（負の数）×a2+（負の数）×b2≦0 …(7)
（負の数）×a2+（負の数）<0 …(8)

　この頁では「絶対不等式」を多く扱います．
　他の頁で扱った不等式は条件付き不等式と呼ばれ，何らかの条件（仮定）のもとに成り立つもので，条件（仮定）を変形して（使って）不等式を証明します．
　これに対して，絶対不等式は何も条件がなくても成立する不等式で，利用すべき条件（仮定）がありません．･･･実際には，登場する文字がすべて実数の場合ということが条件になりますが「この単元を習うときには，通常，複素数を習っていないため文字が実数という条件はないのと同じ」「一般に，とくに断りがなければ，不等式で用いられる文字は実数だと考えてよい」ので，文字がどんな実数であっても成り立つ不等式ということになります．

平方完成の変形　⇒　（　　）2の形を作ること
が鍵になります．

【例１】 ←上記(1)の例
a2+9≧6aとなることを証明してください．
また，等号が成り立つ場合を調べてください．

【問１】
不等式a2−2a+9≧8a−16が成り立つことを証明してください．また，等号が成り立つ場合を調べてください．

【例２】 ←上記(2)の例
x2+y2≧2(x+y−1)となることを証明してください．
また，等号が成り立つ場合を調べてください．

x2+y2−2(x+y−1)
=x2+y2−2x−2y+2
=x2−2x+1+y2−2y+1
=(x−1)2+(y−1)2≧0
（等号が成り立つのは，x−1=0かつy−1=0すなわちx=y=1のとき）

【問２】
不等式x2+y2≧4(2y−x−5)が成り立つことを証明してください．また，等号が成り立つ場合を調べてください．

【例３】 ←上記(3)の例
x2+5>2xとなることを証明してください．

【問３】
不等式x2+5>4xが成り立つことを証明してください．

【例４】 ←上記(5)の例
x2+3y2≧3xyとなることを証明してください．
また，等号が成り立つ場合を調べてください．

【問４】
不等式x2+4xy+7y2−6y+3≧0が成り立つことを証明してください．また，等号が成り立つ場合を調べてください．

【例５】 ←上記(8)の例
−2x2+3x−2<0となることを証明してください．

【問５】
不等式−3x2+6x−5<0が成り立つことを証明してください．

○２つの文字の積xyの項がないとき
⇒ xの項，yの項に分けて，それぞれ平方完成するとよい．定数項は最後にxの項，yの項から出てくる定数項と合わせて差し引き計算する．

x2+y2−4x+6y+13
=(x2−4x)+(y2+6y)+13
={(x−2)2−4}+{(y+3)2−9}+13
=(x−2)2−4+(y+3)2−9+13
=(x−2)2+(y+3)2≧0
等号が成立するのはx−2=0かつy+3=0
すなわちx=2かつy=−3のとき

2x2+3y2+4x−6y+6
=(2x2+4x)+(3y2−6y)+6
=2(x2+2x)+3(y2−2y)+6
=2{(x+1)2−1}+3{(y−1)2−1}+6
=2(x+1)2−2+3(y−1)2−3+6
=2(x+1)2+3(y−1)2+1>0

【問６】
不等式x2+y2+20≧4(2x−y)が成り立つことを証明してください．また，等号が成り立つ場合を調べてください．

○２つの文字の積xyの項があるとき
⇒ (1) はじめに全体をxについて整理し，平方完成する．
（xについて整理するとはyは定数・係数と見なすということ）
⇒ (2) 次に，残りの部分についてyについて平方完成する．

x2−4xy+5y2
=x2−4yx+5y2
=(x−2y)2−(2y)2+5y2
=(x−2y)2+y2≧0
等号が成立するのはx−2y=0かつy=0
すなわちx=0かつy=0のとき

x2+2y2+2xy+2x+8y+10
=x2+2(y+1)x+2y2+8y+10
={x+(y+1)}2−(y+1)2+2y2+8y+10
={x+y+1}2+y2+6y+9
={x+y+1}2+(y+3)2≧0
等号が成立するのはx+y+1=0かつy+3=0
すなわちx=2かつy=−3のとき

【問７】
不等式x2+y2≧xyが成り立つことを証明してください．また，等号が成り立つ場合を調べてください．

【問８】
不等式x2+4xy+6y2+2x+3≧0が成り立つことを証明してください．また，等号が成り立つ場合を調べてください．