双曲線関数

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※高卒から大学初年度レベルの「関数」について，このサイトには次の教材があります．
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↓合成関数
↓逆関数

↓逆三角関数
↓双曲線関数-現在地

↓数列,関数の極限
関数の連続性

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※高校数学Ⅲの「関数・グラフ」について，このサイトには次の教材があります．
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↓グラフの平行移動

↓分数関数
↓分数不等式

↓累乗根と分数指数
↓無理関数のグラフ
↓無理不等式の解き方

↓合成関数
↓逆関数

↓関数の極限
関数の連続，極限関数

== 双曲線関数 ==

I【双曲線関数の定義】
　指数関数を使って次のように定義される関数を双曲線関数といいます．

sinhx=.

ex−e−x2nnnnn …(1)

coshx=.

ex+e−x2nnnnn …(2)

tanhx=.

ex−e−xex+e−xnnnnn …(3)

◇覚え方◇
オイラーの公式から
e ix=cosx+isinx , e −ix=cosx−isinx
だから

cosx=.

eix+e−ix2nnnnnn…(2') , sinx=.

eix−e−ix2innnnnn…(1')

(1)と(1'),(2)と(2')の関係を見ると，次のように覚えたらよいことが分かります
「hを付けたらiがなくなる」

II【双曲線関数の性質＜相互関係＞】
　三角関数（円関数）と比較すると，全体的には似ていますが，少しだけ違う部分があります．

　まず，記号の約束として，(sinx)2, (cosx)2, (tanx)2のことを，各々sin2x , cos2x , tan2xなどと書くのと同様に，(sinhx)2, (coshx)2, (tanhx)2のことを，各々sinh2x , cos2x , tanh2xなどと書きます．

≪三角関数≫	≪双曲線関数≫
cos2x+sin2x=1	cosh2x−sinh2x=1…(4)
tanx=.sinxcosxnnnn	tanhx=.sinhxcoshxnnnnn…(5)
1+tan2x=.1cos2xnnnn	1−tanh2x=.1cosh2xnnnnn…(6)
.1tan2xnnnn+1=.1sin2xnnnn	.1tanh2xnnnnn−1=.1sinh2xnnnnn…(7)

（解説）
(4)←
cosh2x−sinh2x=( .

ex+e−x2nnnnn)2−(.

ex−e−x2nnnnn)2

= .

e2x+2+e−2x4nnnnnnnnn− .

e2x−2+e−2x4nnnnnnnnn

= 1

※２乗の和は，1にはならず，.

e2x+e−2x2nnnnnnすなわちcosh2xになります．

(5)←
　(1)式の各辺を(2)式の各辺で割ると得られます．

(6)←
　(4)の各辺をcosh2xで割ると

1−.

sinh2xcosh2xnnnnn=.

1cosh2xnnnnn

　(5)式を用いて第２項を書き換えると

1−tanh2x=.

1cosh2xnnnnn

(7)←
　(4)の各辺をsinh2xで割ると

cosh2xsinh2xnnnnn−1=.

1sinh2xnnnnn

　(5)式を用いて第２項を書き換えると

1tanh2xnnnnn−1=.

1sinh2xnnnnn

※双曲線関数は通常，次のように読まれます．
　sinhx : ハイパボリックサイン
　coshx : ハイパボリックコサイン
　tanhx : ハイパボリックタンジェント

※「双曲線関数」という名称

　三角関数は円関数とも呼ばれ，x=cosθ , y=sinθとなる点(x , y)は円周上の点に対応しています．
cos2θ+sin2θ=1

x2+y2=1

　x=coshθ , y=sinhθとなる点(x , y)は双曲線上の点に対応しています．
cosh2θ−sinh2θ=1

x2−y2=1

（ただし，このθは，動径OPがx軸となす角には対応しません．）

※双曲線関数に関する，その他の記号

(Ｉ)　次の関数は，各々(1)(2)(3)の逆数［分母と分子を逆にしたもの］として定義されます．

(*1) ハイパボリック・コセカントはハイパボリック・サインの逆数

cosechx=.

1sinhxnnnnn

(*2) ハイパボリック・セカントはハイパボリック・コサインの逆数

sechx=.

1coshxnnnnn

(*3) ハイパボリック・コタンジェントはハイパボリック・タンジェントの逆数

cothx=.

1tanhxnnnnn

⇒いずれも赤で示した３番目の文字の逆になります．

(ＩＩ)　次の関数は，各々(1)(2)(3)の逆関数として定義されます．［逆関数は逆数とは全く別のものであることに注意］

(**1)
y=sinh−1x ⇔ x=sinhyとして定義され
sinh−1x=log(x+.

√x2+1√nnnni)に等しい．

すなわち，x=.

ey−e−y2nnnnnのとき

ey−e−y=2x
(ey)2−2xey−1=0
ey=x+.

√x2+1√nnnni (>0)
y=log(x+.

√x2+1√nnnni)
となるから
sinh−1x=log(x+.

√x2+1√nnnni)

同様にして
(**2)
y=cosh−1x ⇔ x=coshyとして定義され
cosh−1x=log(x+.

√x2−1√nnnni)に等しい．
（ただし，x≧1．かつ，グラフから分かるようにy=coshxは左右対称となっているが，そのうちの第１象限の側の値とする．）
(**3)
y=tanh−1x ⇔ x=tanhyとして定義され

tanh−1x=.

12nlog(.

1+x1−xnnn ) (−1<x<1)に等しい．

III【双曲線関数の性質＜取り得る値の範囲＞】
y=sinhx , y=coshx , y=tanhxのグラフは次の図のようになり，−∞<x<∞のとき
−∞<sinhx<∞ …(8)
coshx≧1 …(9)
−1<tanhx<1 …(10)
になります．

（解説）

　y=sinhx=.

ex−e−x2nnnnnのグラフのおおよその見当をつけるには，

まずy=exのグラフとy=e−xのグラフを思い浮かべて，次にそれらの差をとります．
　○ 原点を通ります
　x=0のときは，e0=1 , e−0=1となるので，e0−e−0=0です．（したがって，÷２も0となって，原点を通ります．）
　○ 単調増加で，限りなく増加します
　xが増加すると，exは限りなく増加し，e−xは0に近づいて無視できるようになるので，全体として限りなく増加します．（したがって，÷２も限りなく増加します．）
　○ 奇関数で，原点に関して対称になります
　後に述べるように原点に関して対称なグラフになります．

　y=coshx=.

ex+e−x2nnnnnのグラフのおおよその見当をつけるには，

まずy=exのグラフとy=e−xのグラフを思い浮かべて，次にそれらの真中を見ます．
　○ 常にy=coshx≧1です．
　ex=X (>0)とおくと，（相加平均）≧（相乗平均）の関係のときに習ったように

X+.

1Xn2nnnn≧1（等号成立はX=1のとき．すなわちx=0のとき）

だから，coshxの値は，常に1以上になり，これよりも小さな値はとりません．
　○ y軸に関して対称なグラフになります
　つまり，y=coshxの値とy=cosh(−x)の値は等しくなるので，1よりも大きなyの値に対して，それを与えるxの値は，符号が異なる２つずつあります．

　y=tanhx=.

ex−e−xex+e−xnnnnnのグラフのおおよその見当をつけるには，

ex−e−xex+e−xnnnnn=1−2.

e−xex+e−xnnnnnだから，つねに1よりも小さくなる

ことに注意します．

　また，.

ex−e−xex+e−xnnnnn=−1+2.

exex+e−xnnnnnだから，つねに−1よりも大きく

なることに注意します．（1と−1の間だけをとります．）
○ 奇関数で，原点を通り，原点に関して対称になります
　後に述べるように原点に関して対称なグラフになります．

IV【双曲線関数の性質＜偶関数・奇関数＞】

≪三角関数≫	≪双曲線関数≫
sin(−x)= − sinx	sinh(−x)= − sinhx ［奇関数］…(11)
cos(−x)=cosx	cosh(−x)=coshx ［偶関数］…(12)
tan(−x)= − tanx	tanh(−x)= − tanhx ［奇関数］…(13)

偶関数・奇関数の性質は，三角関数の場合と同じです．

（解説）
(11)←

(1)によりsinh(−x)=.

e−x−ex2nnnnn= − sinhx

(12)←

(2)によりcosh(−x)=.

e−x+ex2nnnnn=coshx

(13)←

(3)によりtanh(−x)=.

e−x−exe−x+exnnnnn= − tanhx

【例題１】

sinhx=.

43nのとき，coshx , tanhxの値を求めてください．

（解答）
(4)式に代入

cosh2x−(.

43n)2=1

cosh2x=.

259nn

coshx=±.

53n

coshx≧1>0だから

coshx=.

53n…（答）

tanhx=.

sinhxcoshxnnnnn=.

45n…（答）

（Excelを使って解くには）
　Excelのワークシート関数で，sinhx, coshx, tanhxは各々SINH(), COSH(), TANH()です．
　また，sinh−1x, cos−1x, tanh−1xは各々ASINH(), ACOSH(), ATANH()です．
　そこで，例えばセルA1にsinhxの値.

43nを=4/3と書きこみます．

　次に，セルA2に =ASINH(A1) とすると，xの値が計算されますので，
　さらに，セルA3に =ACOSH(A2) とすると,coshxの値が計算されますが，そのままでは小数なのでこれを分数になおすために，書式→セル→分数→1桁増加　とすると，1 2/3 と表示され，これが帯分数の1+2/3すなわち5/3を表すことになります．
　同様にして，セルA4に =ATANH(A2) とすると，tanhxの値が計算され，上記と同様に分数表示にすると 4/5 になります．

【例題２】

tanhx= − .

√3√ni2nnのとき，sinhx , coshxの値を求めてください．

（解答）
※（注）
　(5)式に代入すると，sinhxとcoshxの比しかわからず，各々の値は求まらないことに注意してください．また，tanhxの分母と分子がそのままで，sinhxとcoshxに対応しているといった初歩的なミスをしてはいけません．与えられた比となる分数は幾らでもあり

√3√ni3nn.

23nnnn=.

√3√ni4nn.

24nnnn=.

√3√ni5nn.

25nnnn= ...などはすべて.

√3√ni2nnに等しくなります．

(6)式に代入

1−( − .

√3√ni2nn )2=.

1cosh2xnnnnn

1− .

34n=.

1cosh2xnnnnn

14n=.

1cosh2xnnnnn

cosh2x=4
coshx≧1>0だから
coshx=2
sinhx=tanhx×cosh= − .

√3√ni

(7)を用いて，sinhxを先に求めてもよい.その場合は，tanhx<0のときはsinhx<0を使って符号を決めます．

（Excelを使って解くには）
　例えばセルA1にtanhxの値− .

√3√ni2nnを=-SQRT(3)/2と書きこみます．

　次に，セルA2に =ATANH(A1) とすると，xの値が計算されますので，
　さらに，セルA3に =ACOSH(A2) とすると,coshxの値が計算されます．（整数で表示されます）
　同様にして，セルA4に =ASINH(A2) とすると，sinhxの値が計算され，-1.732050808という小数になります．
　これは，− .

√3√niを表す根号なので，分数表示に直しても近似値になるだけです．「富士山麓オーム鳴く」という語呂合わせを覚えていれば，あああれのことかと見当が付きますが，そうでなければこのような場合に，どのような無理数に対応しているのかを必ず言い当てる方法はないと思います．
　ただし，この問題については =A4^2 により，正確に 3 という値が得られますので，セルA4が− .

√3√niを表すことは確かめられます．

　正しい番号を選択してください．

［問題１］

sinhx= .

158nnのとき，coshx , tanhxの値を求めてください．

1coshx= .

817nn, tanhx= .

1715nn

2coshx= .

178nn, tanhx= .

1517nn

3coshx= .

1213nn, tanhx= .

513nn

4coshx= .

513nn, tanhx= .

1213nn

HELP

(4)式に代入

cosh2x−(.

158nn)2=1

cosh2x=.

28964nnn

coshx=±.

178nn

coshx≧1>0だから

coshx=.

178nn

tanhx=.

sinhxcoshxnnnnn=.

1517nn

→2

［問題２］

tanhx= .

√7√ni4nnのとき，sinhx , coshxの値を求めてください．

1sinhx= .

34n, coshx= .

√7√ni4nn

2sinhx= .

√7√ni4nn, coshx= .

34n

3sinhx= .

43n, coshx= .

√7√ni3nn

4sinhx= .

√7√ni3nn, coshx= .

43n

HELP

(6)式に代入

1−( .

√7√ni4nn )2=.

1cosh2xnnnnn

1− .

716nn=.

1cosh2xnnnnn

916nn=.

1cosh2xnnnnn

cosh2x= .

169nn
coshx≧1>0だから

coshx= .

43n
sinhx=tanhx×coshx= .

√7√ni3nn

→4

V【双曲線関数の性質＜加法定理＞】三角関数との符号の比較

≪三角関数≫	≪双曲線関数≫	符号
sin(α+β) =sinα cosβ+cosαsinβ sin(α−β) =sinα cosβ−cosαsinβ	sinh(α+β) =sinhαcoshβ+coshαsinhβ …(14) sinh(α−β) =sinhαcoshβ−coshαsinhβ …(15)	同じ
cos(α+β) =cosαcosβ−sinαsinβ cos(α−β) =cosαcosβ+sinαsinβ	cosh(α+β) =coshαcoshβ+sinhαsinhβ …(16) cosh(α−β) =coshαcoshβ−sinhαsinhβ …(17)	符号が逆
tan(α+β) =.tanα+tanβ1−tanαtanβnnnnnnnnnn tan(α−β) =.tanα−tanβ1+tanαtanβnnnnnnnnnn	tanh(α+β) =.tanhα+tanhβ1+tanhαtanhβnnnnnnnnnnnn …(18) tanh(α−β) =.tanhα−tanhβ1−tanhαtanhβnnnnnnnnnnnn …(19)	分母の符号が逆

♪～cosh(α±β)の符号が逆なので，
tanh(α±β)の分母も逆になる～♪

（解説）
(14)←

sinh(α+β)=.

eα+β−e−α−β2nnnnnnnn

sinhα coshβ+coshα sinhβ

=.

eα−e−α2nnnnnn.

eβ+e−β2nnnnnn+.

eα+e−α2nnnnnn.

eβ−e−β2nnnnnn

eα+β+eα−β−eβ−α−e−α−β4nnnnnnnnnnnnnnnnn+.

eα+β−eα−β+eβ−α−e−α−β4nnnnnnnnnnnnnnnnn

2(eα+β−e−α−β)4nnnnnnnnnnn=.

eα+β−e−α−β2nnnnnnnn

したがって，sinh(α+β)=sinhα coshβ+coshα sinhβ

(15)←
sinh(α+(−β))=sinhα cosh(−β)+coshα sinh(−β)
偶関数・奇関数の性質(11)(12)により
cosh(−β)=coshβ, sinh(−β)=sinhβ
だから，これは
sinhα coshβ−coshα sinhβに等しい．

(16)←

cosh(α+β)=.

eα+β+e−α−β2nnnnnnnn

coshα coshβ+sinhα sinhβ

=.

eα+e−α2nnnnnn.

eβ+e−β2nnnnnn+.

eα−e−α2nnnnnn.

eβ−e−β2nnnnnn

eα+β+eα−β+eβ−α+e−α−β4nnnnnnnnnnnnnnnnn+.

eα+β−eα−β−eβ−α+e−α−β4nnnnnnnnnnnnnnnnn

2(eα+β+e−α−β)4nnnnnnnnnnn=.

eα+β+e−α−β2nnnnnnnn

したがって，cosh(α+β)=coshα coshβ+sinhα sinhβ

(17)←
cosh(α+(−β))=coshα cosh(−β)+sinhα sinh(−β)
偶関数・奇関数の性質(11)(12)により
cosh(−β)=coshβ, sinh(−β)=sinhβ
だから，これは
coshα coshβ−sinhα sinhβに等しい．

(18)←

tanh(α+β)=.

sinh(α+β)cosh(α+β)nnnnnnnnn=.

sinhαcoshβ+coshαsinhβcoshαcoshβ+sinhαsinhβnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

tanhα+tanhβ1+tanhαtanhβnnnnnnnnnnnn=.

sinhαcoshαnnnnn+.

sinhβcoshβnnnnn1+.

sinhαcoshαnnnnn.

sinhβcoshβnnnnnnnnnnnnnnnnnn

=.

sinhαcoshβ+coshαsinhβcoshαcoshβ+sinhαsinhβnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

したがってtanh(α+β)=.

tanhα+tanhβ1+tanhαtanhβnnnnnnnnnnnn

(19)←

tanh(α+(−β))=.

tanhα+tanh(−β)1+tanhαtanh(−β)nnnnnnnnnnnnnnn

偶関数・奇関数の性質(13)により
tanh(−β)= − tanhβ
だから，これは

tanhα−tanhβ1−tanhαtanhβnnnnnnnnnnnnに等しい．

［問題３］

sinhα= .

34n, sinhβ= .

12nのとき，sinh(α+β)の値を求めてください．

√5√ni+58nnnnnn 2.

√5√ni−58nnnnnn

3.

√3√ni+38nnnnnn 4.

√3√ni−38nnnnnn

HELP

sinhα=.

34nからcosh2α=1+.

916nn=.

2516nn

coshα=.

54n (≧1>0)

sinhβ=.

12nからcosh2β=1+.

14n=.

54n

coshβ=.

√5√ni2nn (≧1>0)
したがって，

sinh(α+β)=sinhα coshβ+coshα sinhβ=.

34n.

√5√ni2nn+.

54n.

12n

√5√ni+58nnnnnn

→1

［問題４］

coshα= .

32n (α>0), coshβ= .

√5√ni2nn (β>0)のとき，

cosh(α−β)の値を求めてください．

1.

12n 2.

√3√ni2nn 3.

√5√ni2nn 4.

√7√ni2nn

HELP

coshα=.

32nからsinh2α=.

94n−1=.

54n

sinhα=.

√5√ni2nn (>0)

coshβ=.

√5√ni2nnからsinh2β=.

54n−1=.

14n

sinhβ=.

12n (>0)

したがって，
cosh(α−β)=coshα coshβ−sinhα sinhβ

32n.

√5√ni2nn−.

√5√ni2nn.

12n=.

√5√ni4nnn=.

√5√ni2nn

→3

たまたま，α−β=βになっています．

VI【双曲線関数の性質＜２倍角公式，３倍角公式＞】三角関数との符号の比較

≪三角関数≫	≪双曲線関数≫	符号
sin2x=2sinxcosx cos2x=cos2x−sin2x =2 cos2x−1 =1−2 sin2x	sinh2x =2sinhxcoshx …(20) cosh2x =cosh2x+sinh2x =2 cosh2x−1 =1+2 sinh2x …(21)	sinh2xの符号が逆
tan2x=.2tanx1−tan2xnnnnnnn	tanh2x=.2tanhx1+tanh2xnnnnnnnn …(22)	sinh2xの符号が逆
sin3x=3sinx−4sin3x cos3x=4cos3x−3cosx tan3x=.3tanx−tan3x1−3tan2xnnnnnnnnnnn	sinh3x =3sinhx+4sinh3x …(23) cosh3x =4cosh3x−3coshx …(24) tanh3x =.3tanhx+tanh3x1+3tanh2xnnnnnnnnnnnnn …(25)	sinh2xの符号が逆

※全部覚えるのは無理なので，必要になったときに加法定理から作ればよい．

（解説）
(20)←
　加法定理(14)：sinh(α+β)=sinhα coshβ+coshα sinhβにおいてα=x, β=xとおくと
sinh2x=sinhxcoshx+coshxsinhx=2sinhxcoshx

(21)←
　加法定理(16)：cosh(α+β)=coshα coshβ+sinhα sinhβにおいてα=x, β=xとおくと
cosh2x=cosh2x+sinh2x
さらに，cosh2x=1+sinh2xおよびsinh2x=cosh2x−1を代入すると残りの式が得られます．

(22)←

　加法定理(18)：tanh(α+β)=.

tanhα+tanhβ1+tanhαtanhβnnnnnnnnnnnn

においてα=x, β=xとおくと

　tanh2x=.

2tanhx1+tanh2xnnnnnnnn

(23)←
　加法定理(14)：sinh(α+β)=sinhα coshβ+coshα sinhβにおいてα=2x, β=xとおくと
sinh3x=sinh2xcoshx+cosh2xsinhx
さらに２倍角公式の結果を適用すると
=2sinhxcosh2x+(1+2sinh2x)sinhx
cosh2x=1+sinh2xを代入
=2sinhx(1+sinh2x)+(1+2sinh2x)sinhx
=3sinhx+4sinh3x

(24)←
　加法定理(16)：cosh(α+β)=coshα coshβ+sinhα sinhβにおいてα=2x, β=xとおくと
cosh3x=cosh2xcoshx+sinh2xsinhx
さらに２倍角公式の結果を適用すると
=(2cosh2x−1)coshx+2sinh2xcoshx
sinh2x=cosh2x−1を代入
=(2cosh2x−1)coshx+2(cosh2x−1)coshx
=4cosh3x−3coshx

(25)←

　加法定理(18)：tanh(α+β)=.

tanhα+tanhβ1+tanhαtanhβnnnnnnnnnnnn

においてα=2x, β=xとおくと

　tanh3x=.

tanh2x+tanhx1+tanh2xtanhxnnnnnnnnnnnnn

分母及び分子に２倍角公式の結果を適用すると

（分子）=.

2tanhx1+tanh2xnnnnnnnn+tanhx

2tanhx+tanhx+tanh3x1+tanh2xnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

3tanhx+tanh3x1+tanh2xnnnnnnnnnnnnn

［問題５］

sinhx= .

13nのとき，sinh2xの値を求めてください．

√10√nni3nnn 2.

√2√ni9nnn 3.

√10√nni9nnnn 4.

2027nn

HELP

cosh2x−sinh2x=1にsinhx= .

13nを代入すると

cosh2x=.

19n+1=.

109nn

coshx=.

√10√nni3nnn (≧1>0)

sinh2x=2sinhxcoshx=2×.

13n×.

√10√nni3nnn=.

√10√nni9nnnn

→3

［問題６］

tanhx= .

35nのとき，tanh2xの値を求めてください．

158nn 2.

513nn 3.

817nn 4.

1517nn

HELP

　tanh2x=.

2tanhx1+tanh2xnnnnnnnn=.

2×.

65n1+.

925nnnnnn=.

65n.

3425nnnn=.

65n×.

2534nn=.

1517nn

→4

Excelで計算するには：=ATANH(3/5)でxが求まるから，
=TANH(2*ATANH(3/5))として，２桁の分数表示にすればよい

VII【双曲線関数の性質＜積和の公式，和積の公式＞】三角関数の符号との比較

≪三角関数≫	≪双曲線関数≫	符号
sinαcosβ =.12n{sin(α+β)+sin(α−β)} cosαsinβ =.12n{sin(α+β)−sin(α−β)} cosαcosβ =.12n{cos(α+β)+cos(α−β)} sinαsinβ =−.12n{cos(α+β)−cos(α−β)}	sinhαcoshβ =.12n{sinh(α+β)+sinh(α−β)} …(26) coshαsinhβ =.12n{sinh(α+β)−sinh(α−β)} …(27) coshαcoshβ =.12n{cosh(α+β)+cosh(α−β)} …(28) sinhαsinhβ =.12n{cosh(α+β)−cosh(α−β)} …(29)	最後の式の符号が逆
sinA+sinB =2sin.A+B2nnncos.A−B2nnn sinA−sinB =2cos.A+B2nnnsin.A−B2nnn cosA+cosB =2cos.A+B2nnncos.A−B2nnn cosA−cosB =−2sin.A+B2nnnsin.A−B2nnn	sinhA+sinhB =2sinh.A+B2nnncosh.A−B2nnn …(30) sinhA−sinhB =2cosh.A+B2nnnsinh.A−B2nnn …(31) coshA+coshB =2cosh.A+B2nnncosh.A−B2nnn …(32) coshA−coshB =2sinh.A+B2nnnsinh.A−B2nnn …(33)	最後の式の符号が逆

※全部覚えるのは無理なので，必要になったときに加法定理から作ればよい．

（解説）
　加法定理を２つずつ足す，または引くとよい
(26)←
sinh(α+β)=sinhα coshβ+coshα sinhβ…(14)
+)sinh(α−β)=sinhα coshβ−coshα sinhβ…(15)

sinh(α+β)+sinh(α−β)=2sinhαcoshβ
両辺を２で割ると

sinhαcoshβ=.

12n{ sinh(α+β)+sinh(α−β) }

(27)(28)も同様

(29)←［符号が逆になる］
cosh(α+β)=coshα coshβ+sinhα sinhβ…(16)
−)cosh(α−β)=coshα coshβ−sinhα sinhβ…(17)

cosh(α+β)−cosh(α−β)=2sinhαsinhβ
両辺を２で割ると

sinhαsinhβ=.

12n{ cosh(α+β)−cosh(α−β) }

(30)～(33)
積和の公式において
α+β=A, α−β=B
すなわち

α=.

A+B2nnn, β=.

A−B2nnnと置けばよい

(30)←

sinhαcoshβ=.

12n{ sinh(α+β)+sinh(α−β) }

において，

α=.

A+B2nnn, β=.

A−B2nnn(α+β=A, α−β=B)と置くと

sinh.

A+B2nnncosh.

A−B2nnn=.

12n{ sinhA+sinhB }

したがって

sinhA+sinhB=2sinh.

A+B2nnncosh.

A−B2nnn

(29)の符号が三角関数の公式とは逆なので(33)の公式も三角関数とは逆になる

［問題７］

次のうちで「正しいもの」を選んでください．

1sinh5xcosh2x=.

12n(sinh7x+sinh3x)

2cosh3xsinh4x=.

12n(sinh7x−sinhx)

3cosh3xcosh4x=.

12n(cosh7x−coshx)

4sinhxsinh6x=.

12n(cosh7x+cosh5x)

HELP

sinh(−x)= − sinhx , cosh(−x)=coshxにより，2, 3, 4は，右辺かっこ内の第２項の符号が逆です．

→1

［問題８］

次のうちで「間違っているもの」を選んでください．

1sinhx+sinh8x=2sinh.

92nx cosh.

72nx

2sinh2x−cosh7x=2cosh.

92nx sinh.

52nx

3cosh3x+cosh6x=2cosh.

92nx cosh.

32nx

4cosh4x−cosh5x= − 2sinh.

92nx sinh.

12nx

HELP

2の左辺は，和積の公式にはありません．

→2

［問題９］

次のうちで「正しいもの」を選んでください．

1sinh(2x+y)sinh(2x−y)=.

12n(sinh2x−sinhy)

2sinh(2x+y)cosh(2x−y)=.

12n(sinh2x+sinhy)

3cosh(2x+y)sinh(2x−y)=.

12n(sinh4x+sinh2y)

4cosh(2x+y)cosh(2x−y)=.

12n(cosh4x+cosh2y)

HELP

(2x+y)+(2x−y)=4x , (2x+y)−(2x−y)=2yを使って，積和の公式を適用します．

→4

［問題10］

次のうちで「正しいもの」を選んでください．

1(sinhx+sinh2x+sinh3x+...+sinhnx)sinh.

x2n

12n{sinh(n+.

12n)x−sinh.

x2n}

2(sinhx+sinh2x+sinh3x+...+sinhnx)cosh.

x2n

12n{sinh(n+.

12n)x+sinh.

x2n}

3(coshx+cosh2x+cosh3x+...+coshnx)sinh.

x2n

12n{sinh(n+.

12n)x−sinh.

x2n}

4(coshx+cosh2x+cosh3x+...+coshnx)cosh.

x2n

12n{cosh(n+.

12n)x+cosh.

x2n}

HELP

次の図のように，位相が+x/2と−x/2ずれたものの差で表すと，総和の中間項が消えることを利用します．

(29)よりsinhαsinhβ=.

12n{ cosh(α+β)−cosh(α−β) }

だから

sinhxsinh.

x2n=.

12n{ cosh(1+.

12n)x−cosh.

12nx }

sinh2xsinh.

x2n=.

12n{ cosh(2+.

12nx)−cosh(1+.

12n)x }

……

sinhnxsinh.

x2n=.

12n{ cosh(n+.

12n)x−cosh(n−.

12n)x }

したがって

Σsinhkxsinh.

x2n=.

12n{ cosh(n+.

12n)x−cosh.

x2n } →×

(26)よりsinhαcoshβ= .

12n{ sinh(α+β)+sinh(α−β) }

だから

sinhxcosh.

x2n=.

12n{ sinh(1+.

12n)x+sinh.

x2n }

sinh2xcosh.

x2n=.

12n{ sinh(2+.

12nx)+sinh(1+.

12n)x }

……

sinhnxcosh.

x2n=.

12n{ sinh(n+.

12n)x+sinh(n−.

12n)x }

したがって

Σsinhkxsinh.

x2nの中間項は消えません →×

(27)によりcoshαsinhβ= .

12n{ sinh(α+β)−sinh(α−β) }

だから

coshxsinh.

x2n=.

12n{ sinh(1+.

12n)x−sinh.

x2n }

cosh2xsinh.

x2n=.

12n{ sinh(2+.

12nx)−sinh(1+.

12n)x }

……

coshnxsinh.

x2n=.

12n{ sinh(n+.

12n)x−sinh(n−.

12n)x }

したがって

Σcoshkxsinh.

x2n=.

12n{ sinh(n+.

12n)x−sinh.

x2n } →○

(28)によりcoshαcoshβ= .

12n{ cosh(α+β)+cosh(α−β) }

だから

coshxcosh.

x2n=.

12n{ cosh(1+.

12n)x+cosh.

x2n }

cosh2xcosh.

x2n=.

12n{ cosh(2+.

12nx)+cosh(1+.

12n)x }

……

coshnxcosh.

x2n=.

12n{ cosh(n+.

12n)x+cosh(n−.

12n)x }

したがって

Σcoshkxcosh.

x2nの中間項は消えません →×

→3

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■［個別の頁からの質問に対する回答］[双曲線関数について／18.9.19］

冒頭にオイラーの公式がのっていますがそこのところで質問です。e^(-ix)=cosx-isinxとなっていて、e^(-ix)の指数マイナスがありますが、マイナス乗すると数は無理数になるではないですか。それで、私は、e オイラーの公式e^(ix)=cosx+isinxをマイナス乗したら、e^(-ix)=(e^(ix))^-=√(cosx+isinx)になるのかなと思ったんですが、この変形はダメなんでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．マイナス乗と無理数とは何の関係もありません．逆数（分母と分子が逆）になります．だから，あなたの変形はダメです．
$a^{-x}=\frac{1}{a^x}\hspace{10}(a\ne 0)$
この変形を使うのなら
$e^{-ix}=\frac{1}{e^{ix}}=\frac{1}{\cos x+ i\sin x}$
$=\frac{\cos x-i\sin x}{\cos^2 x-i^2\sin^2x}=\cos x-i\sin x$
しかし，その教材では途中経過なしで一瞬で変形していることから分かるように，そのような遠回りの変形はしていません．次のようにやっています．
$e^{ix}=\cos x+ i\sin x$
という公式の $x$ に $-x$ を代入すると
$e^{-ix}=\cos (-x)+ i\sin (-x)=\cos x-i\sin x$
［∵ $\cos (-x)=\cos x,\hspace{5}\sin (-x)=-\sin x$ ］

■［個別の頁からの質問に対する回答］[双曲線関数について／16.12.21］

第１ページ右側に　x=sinθ,y=cosθとありますが、x,yが逆ではないでしょうか？同様にその下も　x=sinhθ,y=coshθとあるのもx,yが逆になっていると思われます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．逆でしたので訂正しました．

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