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== 関数の極限1 ==
○ いわゆる「不定形の極限」とは,式が見かけ上,
∞−∞, .nn, 0×, .00n
のように相反する向きに引っ張り合っているような場合をいい,結果が不定になるということではありません。
  
→→ 不定形の極限では,式を変形して強弱が分かる形に直してから極限を求めます。

○ これに対して,式が見かけ上,
∞+∞×.0nn
のように大きくなるものばかりのときや,
0×0,.0nn
のように小さくなるものばかりの組合せのときは不定形とはいいません。
  →→ そのままの形で直ちに極限が求まります。
■ 不定形の例
limx驕カ螂�スソ�ス1limii.x2−1x−1nnnnn は .00n形になっているので

変形しないと判断できない。

limx驕カ螂�スソ�ス∞limii..x+1√nnni.x√ninnnnnn  は .nn 形になっているので

変形しないと判断できない。

limx驕カ螂�スソ�ス∞limii(.x+1√nnni.x√ni)  は ∞−∞形になっている

ので変形しないと判断できない。

■ 不定形ではないもの
limx驕カ螂�スソ�ス∞limii(x2+x) は ∞+∞形だから,
そのままの形でと分かる。

limx驕カ螂�スソ�ス∞limii.x√ni(.x+1√nnni+.x√ni) は ∞(∞+∞)形だから,
そのままの形でと分かる。

limx驕カ螂�スソ�ス∞limii(.1.x√ninnn.1.x+1√nnninnnnnn) は 0-0形だから,
そのままの形で0と分かる。

■即答問題 次のうち,いわゆる「不定形の極限」となっているものを選びなさい。
(複数回答:該当するものすべてにチェックをつける)

limx驕カ螂�スソ�ス0limii.x+1xnnn limx驕カ螂�スソ�ス2limii.x2−4x−2nnnn limx驕カ螂�スソ�ス2limii(.x2+2√nnnni−x)

limx驕カ螂�スソ�ス1limii.1(x−1)2nnnnn limx驕カ螂�スソ�ス∞limii.2xx+1nnnn limx驕カ螂�スソ�ス∞limii(.x2+1√nnnni−x)

limx驕カ螂�スソ�ス∞limii(2x+1).x2+1√nnnni limx驕カ螂�スソ�ス∞limiix(.1.2x√nninnnn+.1.x√ninnn)




【解説】
limx驕カ螂�スソ�スlimii .n次式m次式nnnnn の形の極限は,分母と分子の次数で決まり,

  ア) 分母の次数 > 分子の次数 ならば 0
  イ) 分母の次数 < 分子の次数 ならば (符号に応じて)+∞または-∞
  ウ) 分母の次数 = 分子の次数 ならば 最高次の項の係数の比


となります.

(考え方)
ア) limx驕カ螂�スソ�スlimii.x2x4nn

のように分母の次数が高いときは,約分すると分母だけに x が残り,
分母→∞で,結果は0となります.

  limx驕カ螂�スソ�スlimii.x2x4nn = limx驕カ螂�スソ�スlimii.1x2nn = 0

イ) limx驕カ螂�スソ�スlimii.2x4x2nnn

のように分子の次数が高いときは,約分すると分子だけに x が残り
ます.この場合,係数の符号に応じて±∞のいずれかになります.

  limx驕カ螂�スソ�スlimii.2x4x2nnn = limx驕カ螂�スソ�スlimii(2x2) = ∞

  limx驕カ螂�スソ�スlimii.-_3x4x2nnnn = limx驕カ螂�スソ�スlimii(- 3x2) =−∞

ウ) limx驕カ螂�スソ�スlimii.2x35x3nnn

のように分母分子の次数が等しいときは,約分で係数だけが残り
ますので,係数の比になります.

  limx驕カ螂�スソ�スlimii .2x35x3nnn=.25n

  limx驕カ螂�スソ�スlimii.3x7−4x3+x2−76x4+3x2+8nnnnnnnnnnnnn

のように,分母分子が多項式になっているときは,「各々の最大項でくくる」と,左の考え方に帰着できます.

ア) limx驕カ螂�スソ�スlimii.6x4+3x2+83x7−4x3+x2−7nnnnnnnnnnnnn


=limx驕カ螂�スソ�スlimii.6x4(1+.36x2nnn+.86x4nnn)3x7(1−.43x4nnn+.13x5nnn.73x7nnn)nnnnnnnnnnnnnnnnnnn =limx驕カ螂�スソ�スlimii.6x43x7nnn=0




イ) limx驕カ螂�スソ�スlimii.3x7−4x3+x2−76x3+3x2+8nnnnnnnnnnnnn



=limx驕カ螂�スソ�スlimii.3x7(1−.43x4nnn+.13x5nnn.73x7nnn)6x4(1+.36x2nnn+.86x4nnn)nnnnnnnnnnnnnnnnnnn =limx驕カ螂�スソ�スlimii.3x76x4nnn=




ウ) limx驕カ螂�スソ�スlimii.6x4+3x2+83x4−4x3+x2−7nnnnnnnnnnnnn


=limx驕カ螂�スソ�スlimii.6x4(1+.36x2nnn+.86x4nnn)3x4(1−.43xnn+.13x2nnn.73x4nnn)nnnnnnnnnnnnnnnnnnn =limx驕カ螂�スソ�スlimii.6x43x4nnn=2




  ※ 上の式で,( )内は1になります.
以上により,(参考)の初めに青字でまとめたア)~ウ)がいえます.これらを用いて以下のような問題を解くことができます.

■問題1 次の空欄を埋めなさい。

(1)limx驕カ螂�スソ�ス2limii.x−2xnnnn =
採点するやり直す

(2)limx驕カ螂�スソ�ス1limii.x3−1x2−1nnnn = .nnn
採点するやり直す

(3)limx驕カ螂�スソ�ス2limii.x2+x−6x2−x−2nnnnnnnn = .nnn
採点するやり直す

(4)limx驕カ螂�スソ�ス∞limii .x+1x2+1nnnnn =
採点するやり直す

(5)limx驕カ螂�スソ�ス∞limii .x2+1x−1nnnnn =
採点するやり直す

(6)limx驕カ螂�スソ�ス∞limii .2x2−x+3x2+x−1nnnnnnn =
採点するやり直す

例 1

limx驕カ螂�スソ�ス∞limii(.x2+2x√nnnnni−x )

= limx驕カ螂�スソ�ス∞limii.(x2+2x)−x2.x2+2x√nnnnni+xnnnnnnnnnnn

= limx驕カ螂�スソ�ス∞limii.2x.x2+2x√nnnnni+xnnnnnnnnnnn

= limx驕カ螂�スソ�ス∞limii.2.1+.2xn√nnnni+1nnnnnnnnnn

= .22n = 1


【要点】 無理関数の極限 → 「分子」の有理化も考える
次の空欄を埋めなさい。
問1

limx驕カ螂�スソ�ス∞limii .x√ni ( .x+1√nnni.x√ni )

= limx驕カ螂�スソ�ス∞limii .x√ni(.1.x+1√nnni+.x√ninnnnnnnnnn)

= limx驕カ螂�スソ�ス∞limii .1.1+.1xn√nnnni+nnnnnnnnn

= .1nn


例 2

limx驕カ螂�スソ�ス-∞limii (.x2+2√nnnni +x )

= lims驕カ螂�スソ�ス∞limii ( .s2+2√nnnni −s )

= lims驕カ螂�スソ�ス∞limii.(s2+2)−s2.s2+2√nnnni+snnnnnnnnnn

= lims驕カ螂�スソ�ス∞limii.2.s2+2√nnnni+_snnnnnnnnnn

= 0
(∵分子→2,分母→)

【要点】 x→−∞ のときx =−s とおくと s
問 2
limx驕カ螂�スソ�ス-∞limii ( .x2+x√nnnni +x )

= lims驕カ螂�スソ�ス∞limii ( .s2−s√nnnni −s )

= lims驕カ螂�スソ�ス∞limii.(s2−s)−s2.s2−s√nnnni+_snnnnnnnnn

= lims驕カ螂�スソ�ス∞limii.−s.s2−s√nnnni+_snnnnnnnn

= lims驕カ螂�スソ�ス∞limii .−1.1−.1sn√nnnni+nnnnnnnnnnn

= .−1nn


例 3

limx驕カ螂�スソ�ス1limii .x−1.x√ni_−1nnnnn

= limx驕カ螂�スソ�ス1limii .(x−1)(.x√ni+_1)(x−1)nnnnnnnnnnnn

= limx驕カ螂�スソ�ス1limii(.x√ni+1)

= 2


【要点】 分母が見かけ上0となるとき → 「約分によって,0となる原因を取り除く」
問 3
limx驕カ螂�スソ�ス1limii .x−1.3x√ni−1nnnnn

= limx驕カ螂�スソ�ス1limii .(x−1)(.3x2√nni+.3x√ni+1)(.3x√ni−1)(.3x2√nni+.3x√ni+1)nnnnnnnnnnnnnnnnnnn
= limx驕カ螂�スソ�ス1limii.(x−1)(.3x2√nni+.3x√ni+1)(x−1)nnnnnnnnnnnnnnnnnn

= limx驕カ螂�スソ�ス1limii (.3x2√nni+.3x√ni+1)

=


[注]直前にPC版から入られた場合は,自動転送でスマホ版に来ていますので,ブラウザの[戻るキー]では戻れません(堂々巡りになる).下記のリンクを使ってメニューに戻ってください.
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■[個別の頁からの質問に対する回答][関数の極限1について/18.9.26]
大学卒業にあたり,数学3の極限分野の知識が必要になった.そこで使わせていただいたが,非常に要点を得てまとめられていたので,復習に役立った.統一の取れたサイト構成でしたので,今後も利用していきたい.
=>[作者]:連絡ありがとう.
■[個別の頁からの質問に対する回答][関数の極限について/17.5.9]
不定形の極限のところが分かりやすくとても良いと思う
=>[作者]:連絡ありがとう.
■[個別の頁からの質問に対する回答][関数の極限1について/17.3.7]
三角関数の極限を載せてほしい
=>[作者]:連絡ありがとう.三角関数の極限の頁を見てください.こちら
■[個別の頁からの質問に対する回答][関数の極限1について/17.2.9]
復習になりました ありがとうございます☺
=>[作者]:連絡ありがとう.
■[個別の頁からの質問に対する回答][関数の極限について/17.1.21]
いつも分かりやすい説明で、よく利用させてもらっています。 このページで、いくつかの問題を解く際に、答え欄をクリックしても反応しないために解答できなかった問題が3つほどありました。私はMac OSを使っていて、Safariを重荷利用していますが、たまに他のサイトを利用する際にSafariでは動かなくても、Google chlome では動く場合があり、こちらのページもGoogle Chlomeでも試してみましたが、やはり動きませんでした。(厳密に言うと、即答問題の上列左から2番目と4番目をクリックできないことと、問題1の(6)に答えを入力できないことです。)あまり支障をきたすわけではないのですが、気になったのでコメントしました^^ でも、基本的にどのトピックも分かりやすい説明で、とても助かっています。ありがとうございます。
=>[作者]:連絡ありがとう.ブラウザによってはチェックボックスや入力欄が左の関数の陰に入ってしまって下敷きになっていたようですので訂正しました.

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驍オ�イ�ス�ス 驛「�ァ�ス�「驛「譎「�ス�ウ驛「�ァ�ス�ア驛「譎「�ス�シ驛「譎会ス」�ッ�つ€遶擾スス�ス�ソ�ス�。 驍オ�イ�ス�ス
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