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【約数の個数】
(解説)正の整数Nの(正の)約数の個数は,Nを素因数分解することにより求めることができる. すなわち,p, q, rを素数とし,a, b, cを正の整数とするとき,Nの素因数分解が N=paqbrc
になるとき,Nの(正の)約数の個数は,
(a+1)(b+1)(c+1)個になる.
例えば,12=2231の約数は,1と12自身も含めて, 1=2030, 2=2130, 4=2230,
の6個になる.これは,12=2231の約数が
3=2031, 6=2131, 12=2231 2m3n
の形で表され,m=0, 1, 2およびn=0, 1という形で各指数が0の場合を1通りとして数えるからである.(2+1)(1+1)=6個になる.
※約数の個数は,素因数分解したときの,素数p, q, rではなく,その指数a, b, cによって決まることに注意
【約数の総和】
(解説)正の整数Nの素因数分解が N=paqbrc
になるとき,Nの(正の)約数の総和は,
(1+p+・・・+pa)(1+q+・・・+qb)(1+r+・・・+rc)
になる.この公式は,数学Bの等比数列の和の公式を使えば,次の形に書ける. 例えば,12=2231に対して (20+21+22)(30+31+31)
という式を展開したものを考えると2030+2130+2230
となって「約数の総和」が得られる.(自分で思いつくのは,難しいかもしれないが,言われれば分かる話である)+2031+2131+2231 一般に, (1+p+・・・+pa)(1+q+・・・+qb)(1+r+・・・+rc)
を展開すると,![]() そこで,この式が約数の総和に等しい. 【例1】 18=2132の約数の総和は (1+2)(1+3+9)=39
【例2】 72=2332の約数の総和は(1+2+4+8)(1+3+9)=195
【例3】 8=23の約数の総和は1+2+4+8=15
※大学入試では,この公式に数字を入れるだけで答が出るような問題は,めったに出ない.
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【問題1】
[解答を見る]2016の正の約数は全部で ア 個あり,それらの平均は イ である. (2016年度慶応義塾大理工学部)
(解答)
ア ← 2016=25×32×7
だから,約数は全部で(1+5)(1+2)(1+1)=36個あるイ ← 約数の総和は (1+2+4+8+16+32)(1+3+9)(1+7) =63×13×8 になるから,[ア]の結果を使って平均を求めると 63×13×8÷36=182 |
【問題2】
[解答を見る]2016の正の約数の中で,偶数であるものの個数は 1 個で,これらすべての和は 2 である. (2016年度福岡大医.理.工学部)
(解答)
2016=25×32×7だから, 偶数の約数は,2×(2a×3b×7c) (a=0~4, b=0~2, c=0~1) の形に書ける. (1+4)(1+2)(1+1)=30個ある 偶数の約数の和は 2×(1+2+4+8+16)(1+3+9)(1+7)=6448 |
【問題3】
[解答を見る]12nの正の約数の個数が28個となるような自然数nは,n= ク である. (2014年度慶応義塾大看護医療学部)
(解答)
12n=22n×3nだから,その約数の個数は (2n+1)(n+1)=28個 ここで,2n+1>n+1に注意すると,次の組合せが候補になる.
(2n+1)(n+1)=28を方程式として解く 2n2+3n−27=0 (2n+9)(n−3)=0 n=3 (>0) |
【問題4】
[解答を見る](1) 約数の個数が18である最小の自然数mを求めよ. (2) 自然数nの約数の個数が60で,かつ1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10がnの約数であるとき,nを求めよ. (2000年度産業医大)
(解答)
(1) 18=21×32 他方で,正の整数m=2a3b5cの約数の個数は (1+a)(1+b)(1+c) であるから,次の組合せが約数の個数が18個となる候補になる.
(2) 1, 2, 3, 22, 5, 2×3, 7, 23, 32, 5×2が約数であるには 23×32×51×71 の倍数でなければならない. 約数の個数が60=22×3×5=(1+1)(1+1)(1+2)(1+4)であるには,求める整数は 24×32×51×71 の形をしていればよい. 24×32×51×71=5040 |
【問題5】
[解答を見る](1) 108の正の約数の個数を求めよ. (2) a, b, c, dを自然数とし,a≧cとする.m=2a3b, n=2c3dについて,m, nの正の約数の個数がそれぞれ80, 72で,mとnの正の公約数の個数が45であるという.このとき,a, b, c, dを求めよ. (2005年度群馬大教育学部)
(解答)
(1) 108=22×33だからその約数の個数は3×4=12個 (2) ![]() (a+1)(b+1)=80=16×5・・・① (c+1)(d+1)=72=8×9・・・② 公約数の3の指数はbかdであるが,dと仮定すると②が72であることと矛盾するから,公約数の3の指数はb これを踏まえて書き直すと ![]() (a+1)(b+1)=80=16×5・・・① (c+1)(d+1)=72=8×9・・・② (c+1)(b+1)=45=9×5・・・③
b+1=5, c+1=9, a+1=16, d+1=8
b=4, c=8, a=15, d=7・・・(答) |
【問題6】
[解答を見る]nを正の整数とする.10nの正の約数すべての積は イ である. (2011年度早稲田大商学部)
(解答)
10n=2n×5nの正の約数は次の表の通り
同様にして,どの列にも50, 51, 52, ・・・, 5nがあるから,50, 51, 52, ・・・, 5nはn+1回登場する 以上により |
(参考) 自然数nの(正の)約数の総和をS(n)で表すとき,
• S(n)=2nとなるときnを完全数という.
【例】 n=6, 28, 496, 8128, ... は完全数である.• S(n)>2nとなるときnを過剰数という. • S(n)<2nとなるときnを不足数という. 約数の和は(1+2)+(3+6)=12
約数の和は(1+2+4)+(7+14+28)=56
約数の和は
(1+2+4+8+16)+(31+62+124+248+496)=992 約数の和は
一般に(1+2+4+8+16+32+64)+(127+254+508+1013+2032+4064+8128)=16256 オイラーは,偶数の完全数は上記の形のものだけであることを証明した(1772) • • mが素数であって, • 奇数の完全数は見つかっていない.あるかないかも証明されていない. |
==高校数学で♪~楽しく~♪解けそうな問題== 「完全数,過剰数,不足数」の定義を簡単に示しておけば,次の各問題は大学入試に出題可能なレベルです.
【追加問題1】
p, qを異なる素数とするとき,N=pqの形に書ける完全数を求めてください. (筆者作成・・・間違いがあればお知らせください)
(解答)N=pqにおいて,p, qは素数であるから,約数の総和は (1+p)(1+q) これが完全数であるには (1+p)(1+q)=2pq 1+p+q+pq=2pq (p−1)(q−1)=2 p, qの対称式だから,p<qと仮定してもよい このとき p−1=1, q−1=2 p=2, q=3 N=pq=6
【追加問題2】
(筆者作成・・・間違いがあればお知らせください)
(解答)約数の総和は よって,Nは完全数 |
【追加問題3】・・・上記【問題5】の類似問題
(解答)偶数の完全数 「初等整数論9章」Lames J.Tattersall原著
小松尚夫訳 / 森北出版 P.132 このとき,nの約数は であるから,それらの積は |
【追加問題4】
(解答)奇数の不足数や偶数の不足数が無数に存在することを示せ. 「初等整数論9章」Lames J.Tattersall原著
小松尚夫訳 / 森北出版 P.131 奇数の素数が無限に存在することは既知とする. 奇数の素数p (>2)の約数は1, pであるから,それらの約数の総和は,1+pになり, 2p−S(p)=2p−(p+1)=p−1>0 だから,pは不足数である.したがって,奇数の不足数は無数に存在する. 奇数の素数p (>5)に対して,n=2pという偶数を考えると,その約数は,1, 2, p, 2pであるから,それらの約数の総和は,S(n)=1+2+p+2p=3p+3=3(p+1)になり, 2n−S(n)=4p−3(p+1) =p−3>0 であるから,nは不足数である. したがって,偶数の不足数も無数に存在する. |
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