![]() ![]() *** 科目 *** 数Ⅰ・A数Ⅱ・B数Ⅲ高卒・大学初年度 *** 単元 *** 数と式不等式二次関数二次不等式三角比三角比と図形集合・命題・証明順列・組合せ確率整数の性質 ※高校数学Aの確率について,このサイトには次の教材があります.
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■センター試験問題 場合の数・確率
【センター試験 2006年度:数学I・A(本試験) 第4問】
袋A, B, C, Dがあり,それぞれに4枚のカードが入っている.各袋のカードには,1から4までの番号がつけられてる.袋A, B, C, Dからカードを1枚ずつ取り出し,出た数をそれぞれa, b, c, dとする. (1) a, b, c, dの最大の数が3以下である場合はアイ通りあり,最大の数が4である場合はウエオ通りある. アHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 イHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ウHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 エHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 オHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
(2) a, b, c, dについて,a<b<cとなる場合はカキ通りある.
カHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 キHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
(3) 出た数a, b, c, dによって,次のように得点を定める.
a≦b≦c≦dのときは,(d−a+1)点
それ以外のときは,0点
(i) 得点が1点となる確率は
確率は![]() ![]() クHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ケHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 コHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 サHELP↓ − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 シHELP↓ − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 スHELP↓ − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 セHELP↓ − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
(ii) 得点の期待値は
![]() ソHELP↓ − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 タHELP↓ − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 チHELP↓ − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ツHELP↓ − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 テHELP↓ − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 |
【センター試験 2007年度:数学I・A(本試験) 第4問】
1辺の長さ1の正六角形があり,その頂点の1つをAとする.一つのさいころを3回投げ,点Pを次の(a),(b),(c)にしたがって,この正六角形の辺上を反時計回りに進める.
(a) 頂点Aから出発して,1回目に出た目の数の長さだけ点Pを進める.
(b) 1回目で点Pがとまった位置から出発して,2回目に出た目の数の長さだけ点Pを進める. (c) 2回目で点Pがとまった位置から出発して,3回目に出た目の数の長さだけ点Pを進める. (1) 3回進めたとき,点Pが正六角形の辺上を1周して,ちょうど頂点Aに到達する目の出方はアイ通りである. 3回進める間に,点Pが1回も頂点Aにとまらない目の出方はウエオ通りである. アHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 イHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ウHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 エHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 オHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
(2) 3回進める間に,点Pが3回とも頂点Aにとまる確率は
![]() は ![]() カHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 キHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 クHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ケHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 コHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 サHELP↓ − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 シHELP↓ − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
3回進める間に,点Pがちょうど1回だけ頂点Aにとまる
確率は ![]() スHELP↓ − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 セHELP↓ − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ソHELP↓ − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 タHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
(3) 3回進める間に,点Pが頂点Aにとまる回数の期待値は
は ![]() チHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ツHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 |
【センター試験 2008年度:数学I・A(本試験) 第4問】
さいころを3回投げ,次の規則にしたがって文字の列を作る.ただし,何も書かれていないときや文字が1つだけのときも文字の列と呼ぶことにする. 1回目は次のようにする.
(1) 文字の列がAAAとなるさいころの目の出方はア通りである. 文字の列がABとなるさいころの目の出方はイ通りである. アHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 イHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
(2) 文字の列がAとなる確率は
![]() いない文字の列となる確率は ![]() ウHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 エHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 オHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 カHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 キHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 クHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
(3) 文字の列の字数が3となる確率は
![]() となる確率は ![]() ケHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 コHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 サHELP↓ − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 シHELP↓ − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 スHELP↓ − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 セHELP↓ − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
また,文字の列の字数の期待値
は ![]() 0とする. ソHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 タHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 チHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ![]() ![]() |
【センター試験 2009年度:数学I・A(本試験) 第4問】
さいころを繰り返し投げ,出た目の数を加えていく.その合計が4以上になったところで投げることを終了する.
(1) 1の目が出たところで終了する目の出方はア通りである.
2の目が出たところで終了する目の出方はイ通りである. 3の目が出たところで終了する目の出方はウ通りである. 4の目が出たところで終了する目の出方はエ通りである. アHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 イHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ウHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 エHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
(2) 投げる回数が1回で終了する確率は
![]() 終了する確率は ![]() オHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 カHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 キHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 クHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ケHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
終了するまでに投げる回数が
最も多いのはコ回であり,投げる回数がコ回で終了する確率 は ![]() コHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 サHELP↓ − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 シHELP↓ − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 スHELP↓ − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 セHELP↓ − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
終了するまでに投げる回数の期待値
は ![]() ソHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 タHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 チHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ツHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 テHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 トHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 |
【センター試験 2010年度:数学I・A(本試験) 第4問】
袋の中に赤玉5個,白玉5個,黒玉1個の合計11個の玉が入っている.赤玉と白玉にはそれぞれ1から5までの数字が一つずつ書かれており,黒玉には何も書かれていない.なお,同じ色の玉には同じ数字は書かれていない.この袋から同時に5個の玉を取り出す. 5個の玉の取り出し方はアイウ通りある. アHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 イHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ウHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
取り出した5個の中に同じ数字の赤玉と白玉の組が2組あれば得点は2点,1組だけあれば得点は1点,1組もなければ得点は0点とする.
(1) 得点が0点となる取り出し方のうち,黒玉が含まれているのはエオ通りであり,黒玉が含まれていないのはカキ通りである. エHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 オHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 カHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 キHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
得点が1点となる取り出し方のうち,黒玉が含まれているのはクケコ通りであり,黒玉が含まれていないのはサシス通りである.
クHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ケHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 コHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 サHELP↓ − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 シHELP↓ − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 スHELP↓ − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 セHELP↓ − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
(2) 得点が1点である確率は
![]() は ![]() ソHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 タHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 チHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ツHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 テHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 トHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
また,得点の期待値は
![]() ナHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ニHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ヌHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ネHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ![]() ![]() |
【センター試験 2011年度:数学I・A(本試験) 第4問】
1個のさいころを投げるとき,4以下の目が出る確率p は ![]() ![]() アHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 イHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ウHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 エHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
以下では,1個のさいころを8回繰り返して投げる.
(1) 8回の中で4以下の目がちょうど3回出る確率は
オカp3q5である. オHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 カHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
第1回目に4以下の目が出て,さらに次の7回の中で4以下の目がちょうど2回出る確率はキクp3q5である.
キHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 クHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 第1回目に5以上の目が出て,さらに次の7回の中で4以下の目がちょうど3回出る確率はケコp3q5である. ケHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 コHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
(2) 次の0~7のうちオカに等しいものはサとシである.ただし,サ
とシは解答の順序を問わない.
07C2×7C3 18C1×8C2 27C2+7C3 38C1+8C2 47C4×7C5 58C6×8C7 67C4+7C5 78C6+8C7 ※問題文では「サとシは解答の順序を問わない」となっていますが,コンピュータで採点する都合上,ここではサ<シとなるように答えてください.
サHELP↓− ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 シHELP↓ − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
(3) 得点を次のように定める.
8回の中で4以下の目がちょうど3回出た場合,
n=1,2,3,4,5,6について,第n回目に初めて4以下の目が出たとき,得点はn点とする.
また,4以下の目が出た回数がちょうど3回とならないときは,得点を0点とする.
このとき,得点が6点となる確率はpスqセであり,得点が3点となる確率はソタpスqセである. スHELP↓ − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 セHELP↓ − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ソHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 タHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
また,得点の期待値
は
![]() チHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ツHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 テHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 トHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ナHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ニHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 |
【センター試験 2012年度:数学I・A(本試験) 第4問】
1から9までの数字が一つずつ書かれた9枚のカードから5枚のカードを同時に取り出す.このようなカードの取り出し方は
アイウ通りある. アHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 イHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ウHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
(1) 取り出した5枚のカードの中に5と書かれたカードがある取り出し方はエオ通りであり,5と書かれたカードがない取り出し方はカキ通りである.
エHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 オHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 カHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 キHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
(2) 次のように得点を定める.
クHELP
![]() − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ケHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 得点が1点となる確率は ![]() コHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 サHELP↓ − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 シHELP↓ − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 スHELP↓ − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 得点が2点となる確率は ![]() セHELP↓ − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ソHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 タHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 得点が3点となる確率は ![]() チHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ツHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 また,得点の期待値は ![]() テHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 トHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ![]() ![]() |
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