条件付き確率

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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ 高卒・大学初年度
*** 単元 ***
数と式不等式二次関数二次不等式三角比三角比と図形集合・命題・証明順列・組合せ確率整数の性質

※高校数学Ａの確率について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　が現在地です．
↓約数の個数，約数の総和（入試問題）

↓確率の基本
↓確率の加法定理，余事象の確率
↓独立試行の確率，反復試行の確率

↓期待値
↓条件付き確率

↓確率の乗法定理

↓センター問題(1)
↓同(2)
↓同(3)
↓同(4)

↓ベイズの定理
↓条件付き確率（入試問題）

仮説検定

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** 条件付き確率 **

■　全事象のどの要素が起こることも「同様に確からしい」とき，
事象Ａの起こる確率Ｐ(Ａ)は，「全体に対する部分の比」で定義されます。

全体集合Ｕの要素の個数をｎ(Ｕ)，集合Ａの要素の個数をｎ(Ａ)で表わすとき，確率は全体に対する比になります。

■　これに対して，
事象Ａが起こったときに事象Ｂが起こる確率
(事象Ａが起こったことが分かっているときに事象Ｂが起こる確率)
条件付き確率Ｐ_A(Ｂ)は，「部分に対する部分の比」で定義されます。

条件付き確率は部分に対する比になります。

【例1】　～個数が見える例～
　あるクラス40人の生徒の男女別、芸術選択科目の人数は右図の通りであった。この中から１人を抽出して芸術選択科目を尋ねる場合、抽出されたのが女子であったとき、その女子が音楽を選択している確率

女子の人数　ｎ(Ａ)=21
女子で音楽を選択している人数　ｎ(Ａ∩Ｂ)=8
P_A(B)=

【例2】　
～時間の経過に沿って確率が絞り込まれると考えると分かりやすい例～

　５本のくじの中に当りくじが2本入っている。このくじをＡ，Ｂの順に引き，引いたくじは戻さない場合，Ａが当たったときにＢも当たる確率

◎(考え方１)　

Ａが当たったとき，残りくじは4本で、そのうち当りくじは1本になっているので条件付き確率は　

(考え方２)　原則通りに個数を数えるとき

Ａが当り、Ｂも当たる場合の数は 2×1 Ａが当り、Ｂの起こりうるすべての場合の数は 2×4 集合の要素の数で示せば、
条件付き確率は　

※参考：Ｂが当たる確率
Ａが当たってＢも当たる確率+ＡがはずれてＢが当たる確率 P(B)

　は、Ａが当たる確率と同じ。

【例3】　～時間をさかのぼって原因を考える例～

　病気(かぜなど)に罹った人100人に協力してもらって、ある薬(かぜ薬など)を服用した人、服用しなかった人に分かれて、１日以内に症状の改善が見られたかどうかをテストしたとき、右のような結果が得られたものとする。(数字は、説明のために作ったものです。)
　１日以内に症状の改善が見られた人を選んだとき、その人が薬を服用していた確率

1日以内に症状の改善が見られた：Ａ、その薬を服用した：Ｂとする。ｎ(Ａ)=45
ｎ(Ａ∩Ｂ)=30 P_A(B)=

※　確率は未来に向かって投げかけられた可能性と考えるのが自然ですが、確率、条件付き確率は「集合の要素数の比」で定義されており時間は含まれていません。だから、この例のように、内容的に過去にさかのぼっている確率もあります。（このような確率は「原因の確率」と呼ばれます．）

※次の各問に答えてください．解答は下の選択肢から正しいと思うものをクリック．解答すれば採点結果と解説が出ます．

≪問題1≫
あるクラス40人の生徒の男女別、芸術選択科目の人数は次の図の通りであった．この中から１人を抽出する場合、抽出されたのが音楽選択者であったとき、その人が女子である確率を求めよ．

\frac{1}{2}

\frac{1}{3}

\frac{2}{3}

\frac{2}{5}

\frac{3}{5}

\frac{2}{7}

\frac{4}{7}

\frac{2}{15}

\frac{4}{15}

\frac{8}{15}

\frac{2}{17}

\frac{4}{17}

\frac{8}{17}

解説

音楽選択者(Aとする)が17人、そのうち女子(A∩Bとする)が8人です。

p_{A} (B) = \frac{n (A \cap B)}{n (A)} = \frac{8}{17}

≪問題2≫
さいころを2回振って出た目の和を調べる。１回目に6の目が出たとき、２回の目の和が10以上になる確率を求めよ．

\frac{1}{2}

\frac{1}{3}

\frac{2}{3}

\frac{2}{5}

\frac{3}{5}

\frac{2}{7}

\frac{4}{7}

\frac{2}{15}

\frac{4}{15}

\frac{8}{15}

\frac{2}{17}

\frac{4}{17}

\frac{8}{17}

解説

２回目に4以上の目が出ればよく、右図のようになります。

\frac{3}{6} = \frac{1}{2}

≪問題3≫
ある家庭に２人の子どもがいて、そのうち少なくとも１人は女子であることが分かっているとき、２人とも女子である確率を求めよ．　(男女の出生比率はここでは１：１とします．)

\frac{1}{2}

\frac{1}{3}

\frac{2}{3}

\frac{2}{5}

\frac{3}{5}

\frac{2}{7}

\frac{4}{7}

\frac{2}{15}

\frac{4}{15}

\frac{8}{15}

\frac{2}{17}

\frac{4}{17}

\frac{8}{17}

解説

「２人とも男子ということはない」ということで，右図の黄色で示した３つの場合で考えます。このうち２人とも女子である場合は１通りです。

\frac{1}{3}

※この問題は一人が女子であることが分かると、もう一人が女子である確率が減ることを意味しているのではありません。「一人目に女子が生まれたとき、２人目に女子が生まれる確率」は、この図の２行目から２分の１になります。これに対して、「少なくとも1人が女子であることが分かっているとき」には、図の１行２列目の「１人目に男子が生まれて、２人目に女子が生まれる場合」が分母として含まれるところがポイントです。

≪問題4≫
ある家庭に２人の子どもがいて、玄関で１人を呼んだら女子が出てきたとき、もう１人も女子である確率を求めよ．　(男女の出生比率はここでは１：１とします．)

\frac{1}{2}

\frac{1}{3}

\frac{2}{3}

\frac{2}{5}

\frac{3}{5}

\frac{2}{7}

\frac{4}{7}

\frac{2}{15}

\frac{4}{15}

\frac{8}{15}

\frac{2}{17}

\frac{4}{17}

\frac{8}{17}

解説

玄関から出てきたという事柄は、生まれたというのと同じように考えることができます。

\frac{1}{2}

≪問題5≫
Ａ，Ｂの２人が１回だけジャンケンをするときの手の出し方と勝敗の約束は次のとおりとします。Ａがチョキ(はさみ)を出したとき，Ａが勝つ確率を求めよ．

\frac{1}{2}

\frac{1}{3}

\frac{2}{3}

\frac{2}{5}

\frac{3}{5}

\frac{2}{7}

\frac{4}{7}

\frac{2}{15}

\frac{4}{15}

\frac{8}{15}

\frac{2}{17}

\frac{4}{17}

\frac{8}{17}

解説

Ａがチョキを出す場合が3通り，そのうちＡが勝つ場合が1通り．

\frac{1}{3}

≪問題6≫
Ａ，Ｂの２人が１回だけジャンケンをしてＡが勝ったときに，Ａの手がチョキである確率を求めよ．

\frac{1}{2}

\frac{1}{3}

\frac{2}{3}

\frac{2}{5}

\frac{3}{5}

\frac{2}{7}

\frac{4}{7}

\frac{2}{15}

\frac{4}{15}

\frac{8}{15}

\frac{2}{17}

\frac{4}{17}

\frac{8}{17}

解説

Ａが勝つ場合が3通り、そのうちＡの手がチョキである場合が１通り。

\frac{1}{3}

≪問題7≫
Ａ，Ｂの２人がさいころを１回ずつ振って出た目の大きい方を勝ちとし，同じ目なら引き分けとする。Ａの目が３のとき，Ａが勝つ確率を求めよ．

\frac{1}{2}

\frac{1}{3}

\frac{2}{3}

\frac{2}{5}

\frac{3}{5}

\frac{2}{7}

\frac{4}{7}

\frac{2}{15}

\frac{4}{15}

\frac{8}{15}

\frac{2}{17}

\frac{4}{17}

\frac{8}{17}

解説

右図の通りAが３であるとき，Bが１または２となるのは

\frac{2}{6} = \frac{1}{3}

≪問題8≫
Ａ，Ｂの２人がさいころを１回ずつ振って出た目の大きい方を勝ちとし，同じ目なら引き分けとする．Ａが勝ったとき，Ａの目が３である確率を求めよ．

\frac{1}{2}

\frac{1}{3}

\frac{2}{3}

\frac{2}{5}

\frac{3}{5}

\frac{2}{7}

\frac{4}{7}

\frac{2}{15}

\frac{4}{15}

\frac{8}{15}

\frac{2}{17}

\frac{4}{17}

\frac{8}{17}

解説

右図のようにAが勝つ15通りのうちで，Aが3を出して勝つのは2通りあるから

\frac{2}{15}

≪問題9≫（確率の比で考えられるもの）[各々既約分数で答えなさい。]

ある高校の学園祭で、Ａ組の演劇のパンフレットを見た生徒と実際にＡ組の演劇に来た生徒の割合は、次のとおりであった。Ａ組の演劇に来た生徒を１人抽出したとき、その生徒がパンフレットを見た確率を求めよ．

\frac{1}{2}

\frac{1}{3}

\frac{2}{3}

\frac{2}{5}

\frac{3}{5}

\frac{2}{7}

\frac{4}{7}

\frac{2}{15}

\frac{4}{15}

\frac{8}{15}

\frac{2}{17}

\frac{4}{17}

\frac{8}{17}

解説

演劇に来た(A)確率=0.6，演劇に来てかつパンフレット(A∩B)を見た確率は0.2

p_{A} (B) = \frac{p (A \cap B)}{p (A)} = \frac{0.2}{0.6} = \frac{1}{3}

≪問題10≫

あるクラスでＡというテレビ番組とＢというテレビ番組について、見たかどうかを調査したところ、両方とも見た生徒は20％、Ａだけ見た生徒は10％、Ｂだけ見た生徒は40％、どちらも見なかった生徒は30％であった。Ａを見なかった生徒を１人抽出したとき、その生徒がＢを見た確率を求めよ．

\frac{1}{2}

\frac{1}{3}

\frac{2}{3}

\frac{2}{5}

\frac{3}{5}

\frac{2}{7}

\frac{4}{7}

\frac{2}{15}

\frac{4}{15}

\frac{8}{15}

\frac{2}{17}

\frac{4}{17}

\frac{8}{17}

解説

Ａを見なかった確率=0.7，Ａを見ずＢを見た確率=0.4

p_{\bar{A}} (B) = \frac{p (\bar{A} \cap B)}{p (\bar{A})} = \frac{0.4}{0.7} = \frac{4}{7}

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■［個別の頁からの質問に対する回答］[条件付き確率について／17.8.17］

とても理解しやすかったです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[条件付き確率について／17.4.8］

n(A∩B)とは何なのかの説明がありませんよ。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．必要なことを学習してからその頁を読んでください．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[条件付き確率について／17.1.4］

シンプルかつわかりやすくて苦手分野のところは助かります。活用していきたい。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[条件付き確率について／16.12.12］

とてもわかりやすくてよかったです。ありがとうございます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[条件付き確率について／16.12.2］

わかりやすかった！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[条件付き確率について／16.11.20］

いい問題がありましたね。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

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