![]() ![]() *** 科目 *** 数Ⅰ・A数Ⅱ・B数Ⅲ高卒・大学初年度 *** 単元 *** 数と式不等式二次関数二次不等式三角比三角比と図形集合・命題・証明順列・組合せ確率整数の性質 ※高校数学Aの確率について,このサイトには次の教材があります.
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は,他の頁を見てください. が現在地です. ↓約数の個数,約数の総和(入試問題) ↓確率の基本 ↓確率の加法定理,余事象の確率 ↓独立試行の確率,反復試行の確率 ↓期待値 ↓条件付き確率 ↓確率の乗法定理 ↓センター問題(1) ↓同(2) ↓同(3) ↓同(4) ↓ベイズの定理 ↓条件付き確率(入試問題) ![]() 仮説検定 |
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難易度の目安 基 本:★☆☆
普 通:★★☆
やや難:★★★
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【確率の定義】
全事象のどの要素が起こることも「同様に確からしい」とき,事象Aの起こる確率P(A)は,「全体に対する部分の比」で定義される.
集合の要素の個数が分かっているとき
全体集合Uの要素の個数をn(U),集合Aの要素の個数をn(A)で表わすとき,確率は全体に対する比になる
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【条件付き確率の定義】
※条件付き確率事象Aが起こったときに事象Bが起こる確率(事象Aが起こったことが分かっているときに,事象Bが起こる確率),すなわち,条件付き確率 (2)の分子分母をn(U)で割って,(1)を使って変形し,次の形で使うことも多い. ![]() ※条件付き確率 • 単に「AかつBが起こる確率」といえば という「積事象」A∩Bの確率を表し(分母が全事象Uの要素数n(U)になる),条件付き確率にはならない. |
==サイコロの確率==
【問題1】★☆☆
[解説を読む]1つのサイコロを続けて2回振ったときに,1回目の出る目をa,2回目に出る目をbとする.
である.
(ⅱ) 事象a<5が起こったときに,事象|a−b|<5の
である.
(2014年度明治大 政経学部)
(個数の比で考える場合の答案)
(ⅰ)
確率は (ⅱ) a<5を満たすのは,右図の赤枠の内部:24個 そのうちで,|a−b|<5を満たすのは,23個 確率は |
【問題2】★☆☆
[解説を読む]一般に,事象Aの確率をP(A)で表す.また,事象Aの余事象をAと表し,二つの事象A, Bの積事象をA∩Bと表す. 大小2個のさいころを同時に投げる試行において
Aを「大きいさいころについて,4の目が出る」という事象
Bを「2個のさいころについて,目の和が7である」という事象
Cを「2個のさいころについて,目の和が9である」という事象
とする.(1) 事象A, B, Cの確率は,それぞれ
である. (2) 事象Cが起こったときの事象Aが起こる条件付き
であり,事象Aが起こったときの事象Cが
である.
(3)(4) 略 (2018年度センター試験)
(個数の比で考える場合の答案)
![]() 起こり得るすべての場合の数はn(U)=36 事象Aの場合の数はn(A)=6 事象Aが起こる確率は 同様にして (2) 事象Cが起こったとき(=目の和が9であるとき),事象Aが起こる(=大の目が4である)条件付き確率は 事象Aが起こったとき(=大の目が4である),事象Cが起こる(=目の和が9であるとき)条件付き確率は |
【問題3】★☆☆
[解説を読む]1から6までの目が等しい確率で出るさいころを2回投げる.1回目に出た目をm,2回目に出た目をnとする. (ⅰ) 略 (ⅱ) mが1≦m≦4を満たすとき,9≦m+n≦11と
である.
(2016年度上智大 法学部・経済学部)
(個数の比で考える場合の答案)
その中で,9≦m+n≦11となるのは:3個 |
【問題4】★★☆
[解説を読む]3つのサイコロを同時に投げたとき,すべて異なる目が出る事象をA,3つのサイコロのうち少なくとも1つは1の目である事象をBとする. (1)~(4) 略 (5) 事象Bが起こったときの事象Aの起こる条件付き確率はである. (2000年度東京理科大 薬学部)
事象Bの余事象は,1の目が1つも出ないことであるから,その確率は
余事象の定理により 2~6から2つ選び( |
【反復試行の確率】
1回の試行で事象Aの起こる確率をpとすると,この試行をn回繰り返すとき,Aがr回起こる確率は
【問題5】★★☆
[解説を読む]座標平面上を動く点Pが原点の位置にある.1個のさいころを投げて,1または2の目が出たときには,Pはx軸の正の向きに1だけ進み,他の目が出たときには,Pはy軸の正の向きに2だけ進むことにして,さいころを3回投げる.点Pの座標が(2, 2)である確率は(ス)であり,Pと原点との距離が3以上である確率は(セ)である.Pと原点との距離が3以上という条件の下で,Pが座標軸上にない条件付き確率は(ソ)である. (2021年度慶應義塾大 看護医療学部)
![]() Pと原点との距離が3以上となるのは,右図のイ以外の場合で,その確率は余事象の定理から計算できる イ以外,すなわちアウエのうちで,Pが座標軸上にないのはウの場合 ウとなる確率は 求める条件付確率は |
【問題6】★☆☆
[解説を読む]コインを繰り返し8回投げ,n回目(1≦n≦8)が表なら1を,裏なら0をn桁目とする10進数Nをつくる.このとき,Nが8桁の数である確率を求めよ.また,Nが8桁の数であるとき,それが3の倍数である条件付き確率を求めよ. (2021年度東京都市大 理工学部)
第8桁が0でなければ(1であれば)Nは8桁の数になる
各位の数の和が3の倍数であるとき,Nは3の倍数になるから,第8桁がであるとき,残り7桁の内で2個もしくは5個が1であれば,Nは3の倍数になる |
==赤玉,白玉の問題==
【問題7】★☆☆
[解説を読む]箱の中に,赤玉が5個,青玉が4個,白玉が3個入っている.それぞれの玉の大きさは同じで,1個あたりの重さは,赤玉が100g,青玉が45g,白玉が30gである.このとき以下の問いに答えよ.ただし,取り出した玉は重さを量ったあとで,箱の中にもどすものとする. (1)
無作為に箱から玉を1個取り出して空の袋に入れ,重さを量ったとする.このとき袋の中身の重さが40g以上であるという条件のもとで,袋の中身が赤玉である確率を求めよ.
(2)
無作為に箱から玉を2個取り出して空の袋に入れ,重さを量ったとする.このとき袋の中身の重さが100g以上であるという条件のもとで,袋の中身が2個とも赤玉である確率を求めよ.
(3)
無作為に箱から玉を3個取り出して空の袋に入れ,重さを量ったとする.このとき袋の中身の重さが150g以上であるという条件のもとで,袋の中身が3個とも赤玉である確率を求めよ.
(2014年度九州大 工学部)
![]() (2) 2個の重さが100g以上となるのは ア) 赤玉2個の場合 イ) 赤玉1個と青玉1個の場合 ウ) 赤玉1個と白玉1個の場合 以上から (3) 3個の重さが150g以上となるのは
余事象から求めてもよい
ア) 赤玉3個の場合3個とる方法は全部で 該当しない組は,青と白だけの組 確率は イ) 赤玉2個,青玉1個の場合 ウ) 赤玉2個,白玉1個の場合 エ) 赤玉1個,青玉2個の場合 オ) 赤玉1個,青玉1個,白玉1個の場合 カ) 赤玉1個,白玉2個の場合 以上から |
【問題8】★★☆
[解説を読む]袋がひとつあり,はじめに赤玉3個と白玉3個が入っている.このとき,以下の操作(*)を考える. (*)
袋からひとつの玉を取り出して色を確認した後,その玉は袋に戻さず,別に用意してある白玉をひとつ袋に入れる.
次の問いに答えよ. (1) 操作(*)を2回行ったとき,2回目に取り出した玉が赤玉である確率を求めよ. (2) 操作(*)を3回行ったとき,2回目までに取り出した赤玉が1個以上であるという条件のもとで,3回目に取り出した玉が赤玉である条件付き確率を求めよ. (3) 操作(*)を4回行ったとき,4回目に取り出した玉が赤玉であるという条件のもとで,3回目までに取り出した赤玉が2個以上である条件付き確率を求めよ. (2018年度横浜国立大 理工学部)
赤玉3個:●●●
(1)白玉3個:○○○ からスタートして,赤玉が出たら赤玉が1つ減り,白玉が1つ増える. 白玉が出たときは,赤白の数は変わらない. 赤赤と出る場合 白赤と出る場合 排反事象の加法定理により (2) 2回目までに取り出した赤玉が1個以上(A),かつ,3回目に取り出した玉が赤玉(B)である確率:P(A∩B)
ア) 赤赤|赤
イ) 赤白|赤 ウ) 白赤|赤 排反事象の加法定理により
ア’) 赤赤
イ’) 赤白 ウ’) 白赤 排反事象の加法定理により 求める条件付き確率は (3)
(1)(2)と同様に「ていねいに計算すれば」(3)もできるはずであるが,150分で5題=大1問当たり30分の時間配分では,厳しい?!
※4回目に赤を出すには「3回目までに赤が3個出てはいけないこと」に注意4回目に取り出した玉が赤玉であって(C),かつ,3回目までに取り出した赤玉が2個以上である(D)確率
ア) 赤赤白|赤
イ) 赤白赤|赤 ウ) 白赤赤|赤 エ) 赤白白|赤 オ) 白赤白|赤 カ) 白白赤|赤 キ) 白白白|赤 排反事象の加法定理により
ア’) 赤赤白|赤
イ’) 赤白赤|赤 ウ’) 白赤赤|赤 排反事象の加法定理により 求める条件付き確率は |
【問題9】★★☆
[解説を読む](一部引用) 赤玉3個,黒玉5個,白玉7個が入った袋から3個の玉を同時に取り出す.赤玉,黒玉,白玉が1個ずつ取り出され
あったとき,その中に赤玉が2個入っている確率は
(2021年度杏林大 医学部)
合計15個の玉から3個の玉を取り出す組み合わせは
赤玉,黒玉,白玉が1個ずつ取り出される組み合せは 確率は 取り出された玉の色が1種類となる組合せは 取り出された玉の色が2種類であったとき,その中に赤玉が2個入っているのは, ア)赤2個,黒1個の場合 イ)赤2個,白1個の場合 求める条件付き確率は |
【問題10】★★★
[解説を読む]二つの袋A,Bと1つの箱がある.Aの袋には赤球2個と白球1個が入っており,Bの袋には赤球3個と白球1個が入っている.また,箱には何も入っていない. (1) A,Bの袋から球をそれぞれ1個ずつ同時に取り出し,球の色を調べずに箱に入れる. (ⅰ) 箱の中の2個の球のうち少なくとも1個が赤球であ
(ⅱ) 箱の中をよくかき混ぜてから球を1個取り出すと
取り出した球が赤球であったときに,それがBの袋に入
(2) A,Bの袋から球をそれぞれ2個ずつ同時に取り出し,球の色を調べずに箱に入れる. (ⅰ) 箱の中の4個の球のうち,ちょうど2個が赤球であ
(ⅱ) 箱の中をよくかき混ぜてから球を2個同時に取り
また,取り出した2個の球がどちらも赤球であったときに,それらのうちの1個のみがBの袋に入っていたもの
(2021年度共通テスト)
(1)(ⅰ)
2球とも白球である場合の余事象の確率を求めると (ⅱ) ア) A:白球1個,B:赤球1個から赤球を取り出す確率は イ) A:赤球1個,B:白球1個から赤球を取り出す確率は ウ) A:赤球1個,B:赤球1個から赤球を取り出す確率は アイウ)から排反事象の加法定理を用いると 上記のうちで,赤球がBから出たものであるのはアの場合,ウでBの赤球を取り出す場合だから (2)(ⅰ) 2個ずつ同時に取り出し,ちょうど2個が赤球となるのは A:赤球1個と白球1個,B:赤球1個と白球1個となる場合だから 2個ずつ同時に取り出し,ちょうど3が赤球となるのは ア)A:赤球2個,B:赤球1個と白球1個となる場合 イ)A:赤球1個と白球1個,B:赤球2個となる場合 アイ)から排反事象の加法定理を用いると (ⅱ) ア)箱に4個のうち2個赤球が入っていて,その中から2個同時に取り出したとき,赤球が2個出る場合 A:赤1白1,B:赤1白1→赤2となる確率は イ)箱に4個のうち3個赤球が入っていて,その中から2個同時に取り出したとき,赤球が2個出る場合 A:赤2白1,B:赤1白1→赤2となる確率は A:赤1白1,B:赤2白1→赤2となる確率は ウ)箱に4個のうち4個赤球が入っていて,その中から2個同時に取り出したとき,赤球が2個出る場合 A:赤2,B:赤2→赤2となる確率は これらを加えると 上記のア)~ウ)のうちで,それらのうちの1個のみがBの袋に入っていたものである確率を求める
ア)は全部該当
イ) ウ) これらを加えると
• ていねいに計算すれば,正解にたどり着けるが,
70分で4題≒1題当たり約18分でこの問題を解くことは,結構厳しいかも! よって,条件付き確率は |
==くじ引き・不良品の問題==
【問題11】★★☆
[解説を読む]当たりくじ5本を含む13本のくじがあり.このくじを,A, B, C, Dの4人がこの順に1本ずつ引くとし,引いたくじはもとに戻さないとする.このとき,以下の確率を既約分数で求めよ. (ⅰ) 4人のうち少なくとも1人が当たる確率P1 (ⅱ) 4人のうち少なくとも2人が当たる確率P2 (ⅲ) 4人のうち少なくとも1人が当たりくじを引いたとわかっているとき,Dが当たる条件付き確率P3 (2016年度大阪府立大 工学部)
(ⅰ)
余事象の方が計算しやすいとき
全員外れる確率はP(少なくとも1人が当たる)=1−P(全員外れる) 余事象の確率により,少なくとも1人当たる確率は (ⅱ)
余事象の方が計算しやすいとき
上記のように,全員外れる確率は,P(少なくとも2人が当たる) =1−{P(全員外れる)+P(1人だけ当たる)} 1人だけ当たる確率は Aだけ当たる: Bだけ当たる: Cだけ当たる: Dだけ当たる: 合計で 結局 (ⅲ)
非復元試行の場合に,Dが当たる確率は,順序に依存しないことは通常教科書に書かれており,その結果を使ってもよい
• Dが当たる確率は• 少なくとも1人当たる確率は,(ⅰ)の結果から, • |
【問題12】★☆☆
[解説を読む]ある製品を製造する4つの機械X, Y, Z, Wがあり,Xの製品には1%,Yの製品には2%,Zの製品には1%,Wの製品には2%の不良品がそれぞれ含まれている.Xの製品200個とYの製品300個とZの製品300個とWの製品200個を混ぜた中から1個を選び出す.選び出された製品が不良品であったときに,それが機械Wの製品である確率はキである. (2016年度産業医科大)
不良品である事象をB(=Bad)で,Wの製品である事象をWで表すことにする.また,1000個の製品はどれも同じ確からしさで選ばれるものとする.
![]() 不良品の総数は
n(B)=200×0.01+300×0.02
+300×0.01+200×0.02=15
Wの製品,かつ,不良品の総数は
n(W∩B)=200×0.02=4
求める条件付き確率は(確率の比で考える場合の答案) 不良品が出る確率は =0.015 Wの製品,かつ,不良品である確率は 求める条件付き確率は |
【問題13】★★★
[解説を読む]ある臓器にできる
(ⅰ) 悪性のXがある人にYが用いられると,95%の確率でXがあると判定される.
ある人が,この検査Yを受けることになった.このとき,次の確率を求めよ.(ⅱ) 良性のXがある人にYが用いられると,80%の確率でXがあると判定される. (ⅲ) Xがない人にYが用いられると,90%の確率でXがないと正しく判定される.
(1) この人にXがあると判定される確率
(2) Xがあると判定されたとき,悪性のXが実際にある確率 (3) 悪性のXが実際にないとき,Xがないと判定される確率 (2018年度旭川医科大)
![]() 悪性のXがある人→0.95 良性のXがある人→0.80 Xがない人→0.10 であるから (1) Xがあると判定される確率は 0.01×0.95+0.02×0.8+0.97×0.1=0.1225= (2) Xがあると判定されたとき,悪性のXが実際にある(条件付き)確率は (3) • 良性であってXがないと判定される確率は, 0.02×0.2=0.004 • Xがない人がXがないと判定される確率は, 0.97×0.9=0.873 • 悪性のXがない確率は, 0.004+0.873=0.877 |
==原因の確率==
【問題14】★☆☆
[解説を読む]Aの袋には白玉2個,赤玉4個の計6個の玉が,Bの袋には白玉,赤玉ともに3個ずつの計6個の玉が入っている.2つの袋A,Bのうちどちらかを選び,その袋から玉を1個取り出す.取り出した玉が白玉であったとき,選んだ袋がAであった確率はいくらか.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5) 上の4つの答えはどれも正しくない.
(2018年度防衛医科大学校)
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【問題15】★☆☆
[解説を読む]赤球6個,白球4個が入った袋Aが2つと,赤球4個,白球6個が入った袋Bが1つある.これら3つの袋から無作為に1つの袋を選び,その袋の中から3個の球を取り出したとき,赤球2個,白球1個であった.このとき,選んだ袋がAであった確率は次のどれか.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h) 以上のどれでもない.
(2018年度防衛大学校)
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