条件付き確率（入試問題）

...(�ｰ�｣迚�)繝｡繝九Η繝ｼ縺ｫ謌ｻ繧�
*** 遘醍岼 ***
謨ｰ竇�繝ｻ�｡謨ｰ竇｡繝ｻ�｢謨ｰ竇｢鬮伜穀繝ｻ螟ｧ蟄ｦ蛻晏ｹｴ蠎ｦ
*** 蜊伜� ***
謨ｰ縺ｨ蠑�荳咲ｭ牙ｼ�莠梧ｬ｡髢｢謨ｰ莠梧ｬ｡荳咲ｭ牙ｼ�荳芽ｧ呈ｯ�荳芽ｧ呈ｯ斐→蝗ｳ蠖｢髮�粋繝ｻ蜻ｽ鬘後�險ｼ譏�鬆��繝ｻ邨�粋縺�遒ｺ邇�謨ｴ謨ｰ縺ｮ諤ｧ雉ｪ

窶ｻ鬮俶�｡謨ｰ蟄ｦ�｡縺ｮ遒ｺ邇�↓縺､縺�※�後％縺ｮ繧ｵ繧､繝医↓縺ｯ谺｡縺ｮ謨呎攝縺後≠繧翫∪縺呻ｼ�
縺薙�鬆√∈Google繧ШAHOO ! 縺ｪ縺ｩ縺ｮ讀懃ｴ｢縺九ｉ逶ｴ謗･譚･縺ｦ縺励∪縺｣縺溘�縺ｧ縲悟燕謠舌→縺ｪ縺｣縺ｦ縺�ｋ蜀�ｮｹ縺悟�縺九ｉ縺ｪ縺�阪→縺�≧蝣ｴ蜷医ｄ縲後％縺ｮ鬆√�蛻�°縺｣縺溘′繧ゅ▲縺ｨ蠢懃畑蝠城｡後ｒ隕九◆縺�阪→縺�≧蝣ｴ蜷医��御ｻ悶�鬆√ｒ隕九※縺上□縺輔＞��縲縺檎樟蝨ｨ蝨ｰ縺ｧ縺呻ｼ�
竊�邏�焚縺ｮ蛟区焚�檎ｴ�焚縺ｮ邱丞柱�亥�隧ｦ蝠城｡鯉ｼ�

竊�遒ｺ邇��蝓ｺ譛ｬ
竊�遒ｺ邇��蜉�豕募ｮ夂炊�御ｽ吩ｺ玖ｱ｡縺ｮ遒ｺ邇�
竊�迢ｬ遶玖ｩｦ陦後�遒ｺ邇�ｼ悟渚蠕ｩ隧ｦ陦後�遒ｺ邇�

竊�譛溷ｾ�､
竊�譚｡莉ｶ莉倥″遒ｺ邇�
竊�遒ｺ邇��荵玲ｳ募ｮ夂炊

竊�繧ｻ繝ｳ繧ｿ繝ｼ蝠城｡�(1)
竊�蜷�(2)
竊�蜷�(3)
竊�蜷�(4)

竊�繝吶う繧ｺ縺ｮ螳夂炊
竊�譚｡莉ｶ莉倥″遒ｺ邇�ｼ亥�隧ｦ蝠城｡鯉ｼ�

莉ｮ隱ｬ讀懷ｮ�

=== 読者が配色を変更したい場合 ===
◎外側の色を変えるには，次の色をクリック

◎内側の色を変えるには，次の色をクリック

◎標準文字色を変えるには，次の色をクリック

== 条件付き確率（入試問題） ==
難易度の目安

基　本：★☆☆

普　通：★★☆

やや難：★★★

【確率の定義】
　全事象のどの要素が起こることも「同様に確からしい」とき，事象Aの起こる確率P(A)は，「全体に対する部分の比」で定義される．

集合の要素の個数が分かっているとき

全体集合Uの要素の個数をn(U)，集合Aの要素の個数をn(A)で表わすとき，確率は全体に対する比になる

P (A) = \frac{n (A)}{n (U)}

･･･(1)

【条件付き確率の定義】
　事象Aが起こったときに事象Bが起こる確率(事象Aが起こったことが分かっているときに，事象Bが起こる確率)，すなわち，条件付き確率

P_{A} (B)

は，「Aの部分（次の図の赤線の枠）に対する比」で定義される．

P_{A} (B) = \frac{n (A \cap B)}{n (A)}

･･･(2)
　(2)の分子分母をn(U)で割って，(1)を使って変形し，次の形で使うことも多い．

P_{A} (B) = \frac{p (A \cap B)}{p (A)}

･･･(3)

※条件付き確率

P_{A} (B)

の定義において，BであってもAでない部分（上の図の×印の部分）は，分母にも分子に入らないことに注意．
※条件付き確率

P_{A} (B)

を文章で表す場合には「Aであることが分かっているときのBが起こる確率」「Aが起こったときにBが起こる確率」というような言い回しをする．
• 単に「AかつBが起こる確率」といえば

P (A \cap B) = \frac{n (A \cap B)}{n (U)}

という「積事象」A∩Bの確率を表し（分母が全事象Uの要素数n(U)になる），条件付き確率にはならない．

==サイコロの確率==

【問題1】★☆☆
　1つのサイコロを続けて2回振ったときに，1回目の出る目をa，2回目に出る目をbとする．

(ⅰ)　事象\|a−b\|<5の起こる確率は	ア
	イ

である．

(ⅱ)　事象a<5が起こったときに，事象|a−b|<5の

起こる確率は	ウ
	エ

である．

（2014年度明治大政経学部）

［解説を読む］

（個数の比で考える場合の答案）
(ⅰ)

$a ∖ b$	1	2	3	4	5	6
1						×
2
3
4
5
6	×

　右図の×印以外は|a−b|<5に該当する

　確率は

\frac{34}{36} = \frac{17}{18}

(ⅱ)
　a<5を満たすのは，右図の赤枠の内部：24個
　そのうちで，|a−b|<5を満たすのは，23個

　確率は

\frac{23}{24}

→解説を隠す←

【問題2】★☆☆
一般に，事象Aの確率をP(A)で表す．また，事象Aの余事象をAと表し，二つの事象A, Bの積事象をA∩Bと表す．
大小２個のさいころを同時に投げる試行において

Aを「大きいさいころについて，4の目が出る」という事象

Bを「２個のさいころについて，目の和が7である」という事象

Cを「２個のさいころについて，目の和が9である」という事象

とする．
(1)　事象A, B, Cの確率は，それぞれ

P(A)=	ア
	イ

，P(B)=	ウ
	エ

，P(C)=	オ
	カ

である．
(2)　事象Cが起こったときの事象Aが起こる条件付き

確率は	キ
	ク

であり，事象Aが起こったときの事象Cが

起こる条件付き確率は	ケ
	コ

である．

(3)(4)　略

（2018年度センター試験）

［解説を読む］

（個数の比で考える場合の答案）

(1)
　起こり得るすべての場合の数はn(U)=36
　事象Aの場合の数はn(A)=6
　事象Aが起こる確率は

P (A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}

･･･（答）
同様にして

P (B) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}

･･･（答）

P (C) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}

･･･（答）
(2)
　事象Cが起こったとき（=目の和が9であるとき），事象Aが起こる（=大の目が4である）条件付き確率は

P_{C} (A) = \frac{1}{4}

･･･（答）
　事象Aが起こったとき（=大の目が4である），事象Cが起こる（=目の和が9であるとき）条件付き確率は

P_{A} (C) = \frac{1}{6}

･･･（答）
→解説を隠す←

【問題3】★☆☆
　1から6までの目が等しい確率で出るさいころを２回投げる．１回目に出た目をm，２回目に出た目をnとする．
(ⅰ)　略
(ⅱ)　mが1≦m≦4を満たすとき，9≦m+n≦11と

なる条件つき確率は	ウ
	エ

である．

（2016年度上智大法学部･経済学部）

［解説を読む］

（個数の比で考える場合の答案）

m\|n	1	2	3	4	5	6
1
2
3						9
4					9	10
5				9	10	11
6			9	10	11	12

　1≦m≦4を満たすのは，上の表において水色の背景色で示した箇所：24個
　その中で，9≦m+n≦11となるのは：3個
　　

\frac{3}{24} = \frac{1}{8}

･･･（答）
→解説を隠す←

【問題4】★★☆
　3つのサイコロを同時に投げたとき，すべて異なる目が出る事象をA，3つのサイコロのうち少なくとも1つは1の目である事象をBとする．
(1)～(4) 略
(5) 事象Bが起こったときの事象Aの起こる条件付き確率はである．

（2000年度東京理科大薬学部）

［解説を読む］

事象Bの余事象は，1の目が1つも出ないことであるから，その確率は

\frac{5^{3}}{6^{3}}

余事象の定理により

P (B) = 1 - \frac{5^{3}}{6^{3}} = \frac{91}{216}

2～6から2つ選び（

_{5} C_{2}

），これと1で合計3個の異なる数を並べる方法は，

_{5} C_{2} \times 3!

だから，事象A∩Bが起こる確率は

P (A \cap B) = \frac{_{5} C_{2} \times 3!}{6^{3}} = \frac{8}{18}

P_{B} (A) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)} = \frac{5}{18} \div \frac{91}{216} = \frac{60}{91}

･･･（答）
→解説を隠す←

【反復試行の確率】

　1回の試行で事象Aの起こる確率をpとすると，この試行をn回繰り返すとき，Aがr回起こる確率は

_{n} C_{r} p^{r} (1 - p)^{n - r}

【問題5】★★☆
　座標平面上を動く点Pが原点の位置にある．１個のさいころを投げて，１または２の目が出たときには，Pはx軸の正の向きに１だけ進み，他の目が出たときには，Pはy軸の正の向きに２だけ進むことにして，さいころを３回投げる．点Pの座標が(2, 2)である確率は(ス)であり，Pと原点との距離が3以上である確率は(セ)である．Pと原点との距離が3以上という条件の下で，Pが座標軸上にない条件付き確率は(ソ)である．

（2021年度慶應義塾大看護医療学部）

［解説を読む］

　原点から右図のイ(2, 2)に達するルートは３種類あり，その確率の小計は

_{3} C_{2} (\frac{1}{3})^{2} (\frac{2}{3})^{1} = 3 \times \frac{1}{9} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{9}

→(ス)
　Pと原点との距離が3以上となるのは，右図のイ以外の場合で，その確率は余事象の定理から計算できる

1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}

→(セ)
　イ以外，すなわちアウエのうちで，Pが座標軸上にないのはウの場合
ウとなる確率は

_{3} C_{1} (\frac{1}{3})^{1} (\frac{2}{3})^{2} = \frac{4}{9}

求める条件付確率は

\frac{\frac{4}{9}}{\frac{7}{9}} = \frac{4}{7}

→(ソ) →解説を隠す←

【問題6】★☆☆
　コインを繰り返し８回投げ，n回目（1≦n≦8）が表なら1を，裏なら0をn桁目とする10進数Nをつくる．このとき，Nが8桁の数である確率を求めよ．また，Nが8桁の数であるとき，それが3の倍数である条件付き確率を求めよ．

（2021年度東京都市大理工学部）

［解説を読む］

第8桁が0でなければ（1であれば）Nは8桁の数になる

p = \frac{1}{2}

･･･（答）
各位の数の和が3の倍数であるとき，Nは3の倍数になるから，第8桁がであるとき，残り7桁の内で2個もしくは5個が1であれば，Nは3の倍数になる

p = \frac{_{7} C_{2} +_{7} C_{5} 1}{2^{7}} = \frac{42}{128} = \frac{21}{64}

･･･（答）
→解説を隠す←

==赤玉，白玉の問題==

【問題7】★☆☆
　箱の中に，赤玉が5個，青玉が4個，白玉が3個入っている．それぞれの玉の大きさは同じで，1個あたりの重さは，赤玉が100g，青玉が45g，白玉が30gである．このとき以下の問いに答えよ．ただし，取り出した玉は重さを量ったあとで，箱の中にもどすものとする．

(1)

　無作為に箱から玉を1個取り出して空の袋に入れ，重さを量ったとする．このとき袋の中身の重さが40g以上であるという条件のもとで，袋の中身が赤玉である確率を求めよ．

(2)

　無作為に箱から玉を2個取り出して空の袋に入れ，重さを量ったとする．このとき袋の中身の重さが100g以上であるという条件のもとで，袋の中身が2個とも赤玉である確率を求めよ．

(3)

　無作為に箱から玉を3個取り出して空の袋に入れ，重さを量ったとする．このとき袋の中身の重さが150g以上であるという条件のもとで，袋の中身が3個とも赤玉である確率を求めよ．

（2014年度九州大工学部）

［解説を読む］

(1)　1個の重さが40g以上となるのは，赤玉と青玉だから

\frac{5}{9}

･･･（答）
(2)　2個の重さが100g以上となるのは
ア) 赤玉2個の場合

n_{1} =_{5} C_{2} = 10

イ) 赤玉1個と青玉1個の場合

n_{2} =_{5} C_{1} \times_{4} C_{1} = 20

ウ) 赤玉1個と白玉1個の場合

n_{3} =_{5} C_{1} \times_{3} C_{1} = 15

以上から

\frac{n_{1}}{n_{1} + n_{2} + n_{3}} = \frac{10}{45} = \frac{2}{9}

･･･（答）
(3)　3個の重さが150g以上となるのは

余事象から求めてもよい
3個とる方法は全部で

_{12} C_{3} = 220

通り
該当しない組は，青と白だけの組

_{7} C_{3} = 35

通り
確率は

1 - \frac{35}{220} = \frac{2}{37}

ア) 赤玉3個の場合

n_{1} =_{5} C_{3} = 10

イ) 赤玉2個,青玉1個の場合

n_{2} =_{5} C_{2} \times_{4} C_{1} = 40

ウ) 赤玉2個,白玉1個の場合

n_{3} =_{5} C_{2} \times_{3} C_{1} = 30

エ) 赤玉1個,青玉2個の場合

n_{4} =_{5} C_{1} \times_{4} C_{2} = 30

オ) 赤玉1個,青玉1個,白玉1個の場合

n_{5} =_{5} C_{1} \times_{4} C_{1} \times_{3} C_{1} = 60

カ) 赤玉1個,白玉2個の場合

n_{6} =_{5} C_{1} \times_{3} C_{2} = 15

以上から

\frac{n_{1}}{n_{1} + n_{2} + n_{3} + n_{4} + n_{5}} = \frac{10}{185} = \frac{2}{37}

･･･（答）
→解説を隠す←

【問題8】★★☆
　袋がひとつあり，はじめに赤玉3個と白玉3個が入っている．このとき，以下の操作(＊)を考える．

(＊)

袋からひとつの玉を取り出して色を確認した後，その玉は袋に戻さず，別に用意してある白玉をひとつ袋に入れる．

次の問いに答えよ．
(1) 操作(＊)を2回行ったとき，2回目に取り出した玉が赤玉である確率を求めよ．
(2) 操作(＊)を3回行ったとき，2回目までに取り出した赤玉が1個以上であるという条件のもとで，3回目に取り出した玉が赤玉である条件付き確率を求めよ．
(3) 操作(＊)を4回行ったとき，4回目に取り出した玉が赤玉であるという条件のもとで，3回目までに取り出した赤玉が2個以上である条件付き確率を求めよ．

（2018年度横浜国立大理工学部）

［解説を読む］

　　赤玉3個：●●●
　　白玉3個：○○○
からスタートして，赤玉が出たら赤玉が1つ減り，白玉が1つ増える．
白玉が出たときは，赤白の数は変わらない．

(1)
赤赤と出る場合

\frac{3}{6} \times \frac{2}{6} = \frac{1}{6}

白赤と出る場合

\frac{3}{6} \times \frac{3}{6} = \frac{1}{4}

排反事象の加法定理により

\frac{1}{6} + \frac{1}{4} = \frac{5}{12}

･･･（答）

(2)
2回目までに取り出した赤玉が1個以上(A)，かつ，3回目に取り出した玉が赤玉(B)である確率:P(A∩B)

ア）赤赤|赤

\frac{3}{6} \times \frac{2}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}

イ）赤白|赤

\frac{3}{6} \times \frac{4}{6} \times \frac{2}{6} = \frac{1}{9}

ウ）白赤|赤

\frac{3}{6} \times \frac{3}{6} \times \frac{2}{6} = \frac{1}{12}

排反事象の加法定理により

P (A \cap B) = \frac{1 + 4 + 3}{36}

= \frac{8}{36} = \frac{2}{9}

ア’）赤赤

\frac{3}{6} \times \frac{2}{6} = \frac{1}{6}

イ’）赤白

\frac{3}{6} \times \frac{4}{6} = \frac{1}{3}

ウ’）白赤

\frac{3}{6} \times \frac{3}{6} = \frac{1}{4}

排反事象の加法定理により

P (A) = \frac{2 + 4 + 3}{12}

= \frac{9}{12} = \frac{3}{4}

求める条件付き確率は

P_{A} (B) = \frac{P (A \cap B)}{P (A)} = \frac{2}{9} \times \frac{4}{3} = \frac{8}{27}

･･･（答）

(3)

(1)(2)と同様に「ていねいに計算すれば」(3)もできるはずであるが，150分で5題=大1問当たり30分の時間配分では，厳しい?!

※4回目に赤を出すには「3回目までに赤が3個出てはいけないこと」に注意

4回目に取り出した玉が赤玉であって(C)，かつ，3回目までに取り出した赤玉が2個以上である(D)確率

ア）赤赤白|赤

\frac{3}{6} \times \frac{2}{6} \times \frac{5}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{5}{6^{3}}

イ）赤白赤|赤

\frac{3}{6} \times \frac{4}{6} \times \frac{2}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{4}{6^{3}}

ウ）白赤赤|赤

\frac{3}{6} \times \frac{3}{6} \times \frac{2}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{3}{6^{3}}

エ）赤白白|赤

\frac{3}{6} \times \frac{4}{6} \times \frac{4}{6} \times \frac{2}{6} = \frac{16}{6^{3}}

オ）白赤白|赤

\frac{3}{6} \times \frac{3}{6} \times \frac{4}{6} \times \frac{2}{6} = \frac{12}{6^{3}}

カ）白白赤|赤

\frac{3}{6} \times \frac{3}{6} \times \frac{3}{6} \times \frac{2}{6} = \frac{9}{6^{3}}

キ）白白白|赤

\frac{3}{6} \times \frac{3}{6} \times \frac{3}{6} \times \frac{3}{6} = \frac{1}{16}

排反事象の加法定理により

P (C) = \frac{49}{6^{3}} + \frac{1}{16} = \frac{125}{432}

ア’）赤赤白|赤

\frac{3}{6} \times \frac{2}{6} \times \frac{5}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{5}{6^{3}}

イ’）赤白赤|赤

\frac{3}{6} \times \frac{4}{6} \times \frac{2}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{4}{6^{3}}

ウ’）白赤赤|赤

\frac{3}{6} \times \frac{3}{6} \times \frac{2}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{3}{6^{3}}

排反事象の加法定理により

P (C \cap D) = \frac{12}{216} = \frac{1}{18}

求める条件付き確率は

P_{C} (D) = \frac{P (C \cap D)}{P (C)} = \frac{1}{18} \times \frac{432}{125} = \frac{24}{125}

･･･（答）
→解説を隠す←

【問題9】★★☆
（一部引用）
　赤玉3個，黒玉5個，白玉7個が入った袋から3個の玉を同時に取り出す．赤玉，黒玉，白玉が1個ずつ取り出され

る確率は	セ	である．取り出された玉の色が2種類で
	ソタ

あったとき，その中に赤玉が2個入っている確率は

チ	である．
ツテ

（2021年度杏林大医学部）

［解説を読む］

　合計15個の玉から3個の玉を取り出す組み合わせは

_{15} C_{3} = 455

通り．
　赤玉，黒玉，白玉が1個ずつ取り出される組み合せは

_{3} C_{1} \times_{5} C_{1} \times_{7} C_{1} = 105

通り．
　確率は

\frac{_{3} C_{1} \times_{5} C_{1} \times_{7} C_{1}}{_{15} C_{3}} = \frac{3 \times 5 \times 7}{455} = \frac{3}{13}

　取り出された玉の色が1種類となる組合せは

_{3} C_{3} \times_{5} C_{3} \times_{7} C_{3} = 46

通りだから，取り出された玉の色が2種類となる組合せは

455 - (46 + 105) = 304

通り
　取り出された玉の色が2種類であったとき，その中に赤玉が2個入っているのは，
ア）赤2個，黒1個の場合

_{3} C_{2} \times_{5} C_{1} = 15

通り
イ）赤2個，白1個の場合

_{3} C_{2} \times_{7} C_{1} = 21

通り
求める条件付き確率は

\frac{15 + 21}{304} = \frac{36}{304} = \frac{9}{76}

→解説を隠す←

【問題10】★★★
　二つの袋Ａ，Ｂと１つの箱がある．Ａの袋には赤球2個と白球1個が入っており，Ｂの袋には赤球3個と白球1個が入っている．また，箱には何も入っていない．
(1) Ａ，Ｂの袋から球をそれぞれ1個ずつ同時に取り出し，球の色を調べずに箱に入れる．
　(ⅰ) 箱の中の2個の球のうち少なくとも1個が赤球であ

る確率は	アイ	である．
	ウエ

　(ⅱ) 箱の中をよくかき混ぜてから球を1個取り出すと

き，取り出した球が赤球である確率は	オカ	であり，
	キク

取り出した球が赤球であったときに，それがＢの袋に入

っていたものである条件付き確率は	ケ	である．
	コサ

(2) Ａ，Ｂの袋から球をそれぞれ2個ずつ同時に取り出し，球の色を調べずに箱に入れる．
　(ⅰ) 箱の中の4個の球のうち，ちょうど2個が赤球であ

る確率は	シ	である．また，箱の中の4個の球のうち，
	ス

ちょうど3個が赤球である確率は	セ	である．
	ソ

　(ⅱ) 箱の中をよくかき混ぜてから球を2個同時に取り

出すとき，どちらの球も赤球である確率は	タチ	である.
	ツテ

また，取り出した2個の球がどちらも赤球であったときに，それらのうちの1個のみがＢの袋に入っていたもの

である条件付き確率は	トナ	である.
	ニヌ

（2021年度共通テスト）

［解説を読む］

(1)(ⅰ)
2球とも白球である場合の余事象の確率を求めると

1 - \frac{1}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{11}{12}

･･･（答）→アイ/ウエ
(ⅱ)
ア） A:白球1個，B:赤球1個から赤球を取り出す確率は

\frac{1}{3} \times \frac{3}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}

イ） A:赤球1個，B:白球1個から赤球を取り出す確率は

\frac{2}{3} \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{12}

ウ） A:赤球1個，B:赤球1個から赤球を取り出す確率は

\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times 1 = \frac{1}{2}

アイウ）から排反事象の加法定理を用いると

\frac{1}{8} + \frac{1}{12} + \frac{1}{2} = \frac{17}{24}

･･･（答）→オカ/キク
上記のうちで，赤球がＢから出たものであるのはアの場合，ウでＢの赤球を取り出す場合だから

\frac{\frac{1}{8} + \frac{1}{4}}{\frac{17}{24}} = \frac{3}{8} \times \frac{24}{17} = \frac{9}{17}

･･･（答）→ケ/コサ

(2)(ⅰ)
2個ずつ同時に取り出し，ちょうど2個が赤球となるのは
A:赤球1個と白球1個，B:赤球1個と白球1個となる場合だから

\frac{2 \times 1}{_{3} C_{2}} \times \frac{_{3} C_{2} \times 1}{_{4} C_{2}} = \frac{1}{3}

･･･（答）→シ/ス
2個ずつ同時に取り出し，ちょうど3が赤球となるのは
ア）A:赤球2個，B:赤球1個と白球1個となる場合

\frac{_{2} C_{2}}{_{3} C_{2}} \times \frac{_{3} C_{1} \times 1}{_{4} C_{2}} = \frac{1}{3}

イ）A:赤球1個と白球1個，B:赤球2個となる場合

\frac{2 \times 1}{_{3} C_{2}} \times \frac{_{3} C_{2}}{_{4} C_{2}} = \frac{1}{6}

アイ）から排反事象の加法定理を用いると

\frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2}

･･･（答）→セ/ソ
(ⅱ)
ア）箱に4個のうち2個赤球が入っていて，その中から2個同時に取り出したとき，赤球が2個出る場合
　A:赤1白1，B:赤1白1→赤2となる確率は

\frac{2 \times 1}{_{3} C_{2}} \times \frac{3 \times 1}{_{4} C_{2}} \times \frac{_{2} C_{2}}{_{4} C_{2}} = \frac{2}{3} \times \frac{3}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{18}

イ）箱に4個のうち3個赤球が入っていて，その中から2個同時に取り出したとき，赤球が2個出る場合
　A:赤2白1，B:赤1白1→赤2となる確率は

\frac{_{2} C_{2}}{_{3} C_{2}} \times \frac{3 \times 1}{_{4} C_{2}} \times \frac{_{3} C_{2}}{_{4} C_{2}} = \frac{1}{3} \times \frac{3}{6} \times \frac{3}{6} = \frac{1}{12}

　A:赤1白1，B:赤2白1→赤2となる確率は

\frac{2 \times 1}{_{3} C_{2}} \times \frac{_{3} C_{2}}{_{4} C_{2}} \times \frac{_{3} C_{2}}{_{4} C_{2}} = \frac{2}{3} \times \frac{3}{6} \times \frac{3}{6} = \frac{1}{6}

ウ）箱に4個のうち4個赤球が入っていて，その中から2個同時に取り出したとき，赤球が2個出る場合
　A:赤2，B:赤2→赤2となる確率は

\frac{_{2} C_{2}}{_{3} C_{2}} \times \frac{_{3} C_{2}}{_{4} C_{2}} = \frac{1}{3} \times \frac{3}{6} = \frac{1}{6}

これらを加えると

\frac{1}{18} + \frac{1}{12} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{17}{36}

･･･（答）→タチ/ツテ

上記のア）～ウ）のうちで，それらのうちの1個のみがＢの袋に入っていたものである確率を求める

ア）は全部該当

\frac{1}{18}

イ）

\frac{_{2} C_{2}}{_{3} C_{2}} \times \frac{3 \times 1}{_{4} C_{2}} \times \frac{2 \times 1}{_{4} C_{2}}

= \frac{1}{3} \times \frac{3}{6} \times \frac{2}{6} = \frac{1}{18}

\frac{2 \times 1}{_{3} C_{2}} \times \frac{_{3} C_{2}}{_{4} C_{2}} \times \frac{1 \times 2}{_{4} C_{2}}

= \frac{2}{3} \times \frac{3}{6} \times \frac{2}{6} = \frac{1}{9}

ウ）

\frac{_{2} C_{2}}{_{3} C_{2}} \times \frac{_{3} C_{2}}{_{4} C_{2}} \times \frac{2 \times 2}{_{4} C_{2}} = \frac{1}{9}

これらを加えると

\frac{1}{18} + \frac{1}{18} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9} = \frac{1}{3}

• ていねいに計算すれば，正解にたどり着けるが，
　70分で4題≒1題当たり約18分でこの問題を解くことは，結構厳しいかも！

よって，条件付き確率は

\frac{\frac{1}{3}}{\frac{17}{36}} = \frac{1}{3} \times \frac{36}{17} = \frac{12}{17}

･･･（答）→トナ/ニヌ
→解説を隠す←

==くじ引き・不良品の問題==

【問題11】★★☆
　当たりくじ5本を含む13本のくじがあり．このくじを，A, B, C, Dの4人がこの順に1本ずつ引くとし，引いたくじはもとに戻さないとする．このとき，以下の確率を既約分数で求めよ．
(ⅰ)　4人のうち少なくとも1人が当たる確率P1
(ⅱ)　4人のうち少なくとも2人が当たる確率P2
(ⅲ)　4人のうち少なくとも1人が当たりくじを引いたとわかっているとき，Dが当たる条件付き確率P3

（2016年度大阪府立大工学部）

［解説を読む］

(ⅰ)

余事象の方が計算しやすいとき
P(少なくとも1人が当たる)=1−P(全員外れる)

全員外れる確率は

\frac{8}{13} \times \frac{7}{12} \times \frac{6}{11} \times \frac{5}{10} = \frac{14}{143}

余事象の確率により，少なくとも1人当たる確率は

P_{1} = 1 - \frac{14}{143} = \frac{129}{143}

･･･（答）
(ⅱ)

余事象の方が計算しやすいとき
P(少なくとも2人が当たる)
=1−{P(全員外れる)+P(1人だけ当たる)}

上記のように，全員外れる確率は，

\frac{14}{143}

１人だけ当たる確率は
Aだけ当たる：

\frac{5}{13} \times \frac{8}{12} \times \frac{7}{11} \times \frac{6}{10}

Bだけ当たる：

\frac{8}{13} \times \frac{5}{12} \times \frac{7}{11} \times \frac{6}{10}

Cだけ当たる：

\frac{8}{13} \times \frac{7}{12} \times \frac{5}{11} \times \frac{6}{10}

Dだけ当たる：

\frac{8}{13} \times \frac{7}{12} \times \frac{6}{11} \times \frac{5}{10}

合計で

\frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{13 \times 12 \times 11 \times 10} = \frac{56}{143}

結局

P_{3} = 1 - (\frac{14}{143} - \frac{56}{143}) = \frac{73}{143}

･･･（答）
(ⅲ)

非復元試行の場合に，Dが当たる確率は，順序に依存しないことは通常教科書に書かれており，その結果を使ってもよい

• Dが当たる確率は

\frac{5}{13}

• 少なくとも1人当たる確率は，(ⅰ)の結果から，

\frac{129}{143}

•

P_{3} = \frac{5}{13} \div \frac{129}{143} = \frac{55}{129}

･･･（答）
→解説を隠す←

【問題12】★☆☆
　ある製品を製造する４つの機械X, Y, Z, Wがあり，Xの製品には1%，Yの製品には2%，Zの製品には1%，Wの製品には2%の不良品がそれぞれ含まれている．Xの製品200個とYの製品300個とZの製品300個とWの製品200個を混ぜた中から１個を選び出す．選び出された製品が不良品であったときに，それが機械Wの製品である確率はキである．

（2016年度産業医科大）

［解説を読む］

　不良品である事象をB(=Bad)で，Wの製品である事象をWで表すことにする．また，1000個の製品はどれも同じ確からしさで選ばれるものとする．

（個数の比で考える場合の答案）
　不良品の総数は

n(B)=200×0.01+300×0.02

+300×0.01+200×0.02=15

　Wの製品，かつ，不良品の総数は

n(W∩B)=200×0.02=4

　求める条件付き確率は

P_{B} (W) = \frac{n (B \cap W)}{n (B)} = \frac{4}{15}

･･･（答）

（確率の比で考える場合の答案）
　不良品が出る確率は

P (B) = \frac{200 \times 0.01 + 300 \times 0.02 + 300 \times 0.01 + 200 \times 0.02}{1000}

=0.015
　Wの製品，かつ，不良品である確率は

P_{W} (B) = P (W) P_{W} (B) = \frac{200}{1000} \times 0.02 = 0.004

　求める条件付き確率は

P_{B} (W) = \frac{P (B \cap W)}{P (B)} = \frac{0.004}{0.015} = \frac{4}{15}

･･･（答） →解説を隠す←

【問題13】★★★
　ある臓器にできる腫瘍しゅようXは悪性と良性の２つの型に分けられ，同時に両方の型であることはない．実際に，Xである人とない人の割合は3%と97%であり，Xがある人のうち，悪性の人と良性の人の割合は1:2である．そして，腫瘍Xがあるかないかを調べる検査Yについて，次の事が知られている．

(ⅰ) 悪性のXがある人にYが用いられると，95%の確率でXがあると判定される．
(ⅱ) 良性のXがある人にYが用いられると，80%の確率でXがあると判定される．
(ⅲ) Xがない人にYが用いられると，90%の確率でXがないと正しく判定される．

ある人が，この検査Yを受けることになった．このとき，次の確率を求めよ．

(1) この人にXがあると判定される確率
(2) Xがあると判定されたとき，悪性のXが実際にある確率
(3) 悪性のXが実際にないとき，Xがないと判定される確率

（2018年度旭川医科大）

［解説を読む］

Yによって，Xがあると判定される確率は
　悪性のXがある人→0.95
　良性のXがある人→0.80
　Xがない人→0.10
であるから
(1)　Xがあると判定される確率は

0.01×0.95+0.02×0.8+0.97×0.1=0.1225=

\frac{49}{400}

(答)
(2)　Xがあると判定されたとき，悪性のXが実際にある（条件付き）確率は
　

\frac{0.0095}{0.1225} = \frac{19}{245}

･･･(答)
(3)
• 良性であってXがないと判定される確率は，
0.02×0.2=0.004
• Xがない人がXがないと判定される確率は，
0.97×0.9=0.873
• 悪性のXがない確率は，
0.004+0.873=0.877
　

\frac{0.877}{0.99} = \frac{877}{990}

･･･(答)
→解説を隠す←

==原因の確率==

【問題14】★☆☆
　Aの袋には白玉2個，赤玉4個の計6個の玉が，Bの袋には白玉，赤玉ともに3個ずつの計6個の玉が入っている．２つの袋A，Bのうちどちらかを選び，その袋から玉を１個取り出す．取り出した玉が白玉であったとき，選んだ袋がAであった確率はいくらか．

(1)

\frac{1}{5}

(2)

\frac{2}{5}

(3)

\frac{3}{5}

(4)

\frac{4}{5}

(5) 上の４つの答えはどれも正しくない.

（2018年度防衛医科大学校）

［解説を読む］

　玉を取り出したとき白玉が出るという事象をW，Aから取り出された事象をAで表すとき
　白玉が出る確率は

P (W) = P_{A} (W) + P_{B} (W)

= \frac{1}{2} \times \frac{2}{6} + \frac{1}{2} \times \frac{3}{6} = \frac{5}{12}

　Aから取り出されて，かつ白玉である確率は

P (A \cap W) = \frac{1}{2} \times \frac{2}{6} = \frac{1}{6}

　求める確率は

P_{W} (A) = \frac{P (A \cap W)}{P (W)} = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{5}{12}} = \frac{2}{5}

→(2)･･･（答） →解説を隠す←

【問題15】★☆☆
　赤球6個，白球4個が入った袋Aが２つと，赤球4個，白球6個が入った袋Bが１つある．これら3つの袋から無作為に1つの袋を選び，その袋の中から3個の球を取り出したとき，赤球2個，白球1個であった．このとき，選んだ袋がAであった確率は次のどれか．

(a)

\frac{1}{2}

(b)

\frac{2}{3}

(c)

\frac{3}{4}

(d)

\frac{3}{5}

(e)

\frac{5}{8}

(f)

\frac{10}{13}

(g)

\frac{8}{15}

(h) 以上のどれでもない.

（2018年度防衛大学校）

［解説を読む］

3個の球を取り出したとき，赤球2個と白球1個が出て来る確率は

\frac{1}{3} \times \frac{_{6} C_{2} \times_{4} C_{1}}{_{10} C_{3}} \times 2 + \frac{1}{3} \times \frac{_{4} C_{2} \times_{6} C_{1}}{_{10} C_{3}}

= \frac{1}{3} \times \frac{15 \times 4}{120} \times 2 + \frac{1}{3} \times \frac{6 \times 6}{120}

= \frac{1}{3} + \frac{1}{10} = \frac{13}{30}

そのうちで，Aの袋2つから出て来る確率は

= \frac{1}{3}

求める条件付き確率は

\frac{1}{3} \div \frac{13}{30} = \frac{10}{13}

→(f)･･･（答）
→解説を隠す←

下記のリンクを使ってメニューに戻ってください．

...（携帯版）メニューに戻る

...（PC版）メニューに戻る

髫ｨ�ｽ�ｿ�ｽ驍ｵ�ｺ髦ｮ蜻ｻ�ｿ�ｽ驛｢�ｧ�ｽ�ｵ驛｢�ｧ�ｽ�､驛｢譏懶ｽｺ�･�ｽ�ｽ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｮGoogle髫ｶﾂ隲幢ｿｽ�ｽ�ｴ�ｽ�｢髫ｨ�ｽ�ｿ�ｽ

髫ｨ�ｽ�ｽ�ｳ驍ｵ�ｺ髦ｮ蜻ｻ�ｿ�ｽ驛｢譎擾ｽ｣�ｹ�ｽ�ｽ驛｢�ｧ�ｽ�ｸ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｮ髯ｷ閧ｲ�｣�ｯ�ｽ�ｽ�ｽ�ｭ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｫ髫ｰ魃会ｽｽ�ｻ驛｢�ｧ鬩ｫﾂ霎滂ｽ｡驍ｵ�ｲ�ｽ�ｽ驛｢�ｧ�ｽ�｢驛｢譎｢�ｽ�ｳ驛｢�ｧ�ｽ�ｱ驛｢譎｢�ｽ�ｼ驛｢譎会ｽ｣�ｯ�つ遶擾ｽｽ�ｽ�ｿ�ｽ�｡驍ｵ�ｲ�ｽ�ｽ
… 驍ｵ�ｺ髦ｮ蜻ｻ�ｿ�ｽ驛｢�ｧ�ｽ�｢驛｢譎｢�ｽ�ｳ驛｢�ｧ�ｽ�ｱ驛｢譎｢�ｽ�ｼ驛｢譎冗樟�ｽ�ｽ髫ｰ�ｨ陷ｻ蜿夜ｧ�垈�ｾ�ｽ�ｹ髯懈ｻゑｽｿ�ｽ�ｽ�ｽ髯ｷ�ｿ郢ｧ迺ｰﾂ�ｽ�ｽ遶企豪�ｸ�ｺ髴域喚髮ｷ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｦ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｽ隨ｳ�ｽ�ｸ�ｺ�ｽ�ｽ驍ｵ�ｺ鬮ｦ�ｪ遶擾ｽｪ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｽ

髫ｨ�ｽ�ｿ�ｽ驍ｵ�ｺ髦ｮ蜻ｻ�ｿ�ｽ鬯ｯ�ｽ�ｽ遶企豪�ｸ�ｺ�ｽ�､驍ｵ�ｺ�ｽ�ｽ遯ｶ�ｻ�ｽ�ｽ霑ｹ螢ｽ�ｽ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｽ陜ｨ謚ｵ�ｿ�ｽ隴ｴ�ｧ邵ｺ讙趣ｽｸ�ｺ�ｽ�ｽ陜ｨ謚ｵ�ｿ�ｽ驕停或�ｿ�｣鬯ｩ謌奇ｽｼ雋ｻ�ｼ讓抵ｽｸ�ｺ�ｽ�ｮ髫ｰ蜴�ｽｿ�ｽ鬩包ｽｭ�ｽ�ｽ陟募ｨｯ關ｽ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｮ髣皮判縺假ｿｽ�ｽ髫ｲ�｢雋企ｳｶ�ｦ驍ｵ�ｺ陟募ｨｯ譌ｺ驛｢�ｧ陟暮ｯ会ｽｿ�ｽ鬯ｨ�ｾ遶擾ｽｽ�ｽ�ｿ�ｽ�｡驍ｵ�ｺ陷会ｽｱ遯ｶ�ｻ驍ｵ�ｺ闕ｳ蟯ｩ蜻ｳ驍ｵ�ｺ髴郁ｲｻ�ｼ讖ｸ�ｿ�ｽ�ｽ�ｽ

髫ｨ�ｳ陋ｹ�ｺ隴ｫ螟撰ｿｽ�ｽ�ｽ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｮ髯溷私�ｽ�｢驛｢�ｧ陋幢ｽｵ�ｽ�ｽ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｦ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｽ�ｽ邇厄ｽｫ�｢雋企ｳｶ�ｦ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｯ髯ｷ闌ｨ�ｽ�ｨ鬯ｩ蟷｢�ｽ�ｨ鬮ｫ�ｱ�ｽ�ｭ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｾ驍ｵ�ｺ陝ｶ蜷ｮﾂ�ｻ驛｢�ｧ郢ｧ�ｽ�ｽ閾･�ｸ�ｺ�ｽ�｣驍ｵ�ｺ�ｽ�ｦ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｽ遶擾ｽｪ驍ｵ�ｺ陷ｻ�ｻ�ｽ�ｼ�ｽ�ｽ
髫ｨ�ｳ陋ｹ�ｺ隨渉髫ｲ�ｽ�ｽ�ｳ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｮ髯ｷﾂ�ｽ�ｽ邵ｲ謚ｵ�ｿ�ｽ陟募ｨｯ�ｽ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｮ髯懶ｿｽ陜楢ｶ｣�ｽ�｡陟募ｨｯﾂ�ｲ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｩ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｽ邵ｲ蝣､�ｸ�ｺ郢ｧ�ｽ螟｢驍ｵ�ｺ雋�ｼ会ｽｰ驛｢�ｧ陷ｻ闌ｨ�ｽ�ｭ�ｽ�｣鬩墓慣�ｽ�ｺ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｪ髫ｴ�ｽ�ｿ�ｽ�ｽ�ｫ�ｽ�ｽ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｧ髣費ｽｨ隴擾ｽｴ遶擾ｽｴ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｦ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｽ隨ｳ�ｽ�ｸ�ｺ�ｽ�ｽ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｽ隨ｳ�ｽ�ｬ�ｾ�ｽ�ｹ髯懈ｻゑｽｿ�ｽ�ｽ�ｦ遶擾ｽｵ隰泌調�ｸ�ｺ�ｽ�ｫ髯晢ｿｽ�ｽ�ｾ驍ｵ�ｺ陷会ｽｱ遯ｶ�ｻ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｯ�ｽ�ｽ隰疲ｺｷ�ｺ�ｽ螯呻ｿｽ�ｽ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｪ鬯ｮ�ｯ髣企ｯ会ｽｽ鬘俶ｱ橸ｿｽ�ｾ髯滂ｽ｢隲帛ｲｩ�ｽ驛｢�ｧ闕ｵ譎｢�ｽ閧ｲ�ｸ�ｺ�ｽ�ｽ遶企豪�ｸ�ｺ陷会ｽｱ遯ｶ�ｻ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｽ遶擾ｽｪ驍ｵ�ｺ陷ｻ�ｻ�ｽ�ｼ髮懶ｽ｣�ｽ�ｼ鬩包ｽｺ�つ�ｽ�ｻ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｪ驍ｵ�ｺ陞ゑｿｽ�ｽ�ｼ隴ｴ�ｧ陋ｻ�､髫ｰ�ｦ�ｽ�ｽ陜趣ｽｪ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｪ髫ｴ�ｽ�ｿ�ｽ�ｽ�ｫ�ｽ�ｽ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｫ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｪ驍ｵ�ｺ�ｽ�｣驍ｵ�ｺ�ｽ�ｦ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｽ�ｽ邇匁捗�ｽ�ｴ髯ｷ�ｷ陋ｹ�ｻ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ陟募ｨｯ關ｽ驛｢�ｧ陟暮ｯ会ｽｽ螳壽ｦ�ｽ�ｬ鬯ｮ�｢闕ｵ譏ｶ�ｽ驛｢�ｧ闕ｵ譏ｶ�ｽ鬩包ｽｲ�ｽ�ｽ�つ�ｽ�ｽ隨�ｽ｡驍ｵ�ｺ闔会ｽ｣邵ｲ蝣､�ｸ�ｺ�ｽ�ｪ驍ｵ�ｺ陷托ｽｰ�ｽ�ｪ�ｽ�ｭ鬮｢�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ繧句擅�ｽ�ｭ驛｢�ｧ�つ驍ｵ�ｺ髦ｮ蜷ｮ�ｽ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｫ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｪ驛｢�ｧ驗呻ｽｫ遶擾ｽｪ驍ｵ�ｺ陷ｷ�ｶ�ｽ�ｽ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｧ�ｽ�ｽ隴ｴ�ｧ雎撰ｽｻ鬨ｾ蛹�ｽｽ�ｨ驍ｵ�ｺ陷会ｽｱ遶擾ｽｪ驍ｵ�ｺ陝ｶ蜻ｻ�ｽ髮｣�ｿ�ｽ髮懶ｽ｣�ｽ�ｼ�ｽ�ｽ

鬮ｮ莨夲ｽｽ�ｪ髯懶ｿｽ闕ｳ蟯ｩ�ｽ髯晢ｿｽ�ｽ�ｾ驍ｵ�ｺ陷ｷ�ｶ�ｽ邇匁綜隶捺慣�ｽ�ｭ隴∵腸�ｿ�ｽ髣包ｽｳ�ｽ�ｭ髯晢ｿｽ�ｽ�ｦ髴大｣ｼ迴ｾ�ｽ�ｽ驍ｵ�ｺ髦ｮ蜻ｻ�ｿ�ｽ鬯ｯ�ｽ�ｿ�ｽ�ｽ�ｽ驕抵ｿｽ�ｽ�ｫ闖ｫ�ｶ�ｽ�ｽ�ｽ�｡髴大｣ｼ迴ｾ�ｽ�ｽ驍ｵ�ｺ髦ｮ蜻ｻ�ｿ�ｽ鬯ｯ�ｽ�ｿ�ｽ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｫ驍ｵ�ｺ郢ｧ�ｽ�ｽ鬘費ｽｸ�ｺ�ｽ�ｾ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｽ