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鼠

銀

黒

青

紺

茶

緑

桃

基　本：★☆☆

普　通：★★☆

やや難：★★★

【確率の定義】
　全事象のどの要素が起こることも「同様に確からしい」とき，事象Aの起こる確率P(A)は，「全体に対する部分の比」で定義される．

【条件付き確率の定義】
　事象Aが起こったときに事象Bが起こる確率(事象Aが起こったことが分かっているときに，事象Bが起こる確率)，すなわち，条件付き確率$P_A(B)$は，「Aの部分（次の図の赤線の枠）に対する比」で定義される．

【問題1】★☆☆
　1つのサイコロを続けて2回振ったときに，1回目の出る目をa，2回目に出る目をbとする．

(ⅰ)　事象|a−b|<5の起こる確率は	ア
	イ

(ⅱ)　事象a<5が起こったときに，事象|a−b|<5の

起こる確率は	ウ
	エ

（個数の比で考える場合の答案）
(ⅰ)

$a\mathrm{\setminus }b$	1	2	3	4	5	6
1						×
2
3
4
5
6	×

　右図の×印以外は|a−b|<5に該当する
　確率は${\displaystyle \frac{34}{36}}={\displaystyle \frac{17}{18}}$
(ⅱ)
　a<5を満たすのは，右図の赤枠の内部：24個
　そのうちで，|a−b|<5を満たすのは，23個
　確率は${\displaystyle \frac{23}{24}}$
→解説を隠す←

【問題2】★☆☆
一般に，事象Aの確率をP(A)で表す．また，事象Aの余事象をAと表し，二つの事象A, Bの積事象をA∩Bと表す．
大小２個のさいころを同時に投げる試行において とする．
(1)　事象A, B, Cの確率は，それぞれ

P(A)=	ア
	イ

，P(B)=	ウ
	エ

，P(C)=	オ
	カ

である．
(2)　事象Cが起こったときの事象Aが起こる条件付き

確率は	キ
	ク

起こる条件付き確率は	ケ
	コ

(3)(4)　略

（個数の比で考える場合の答案）
(1)
　起こり得るすべての場合の数はn(U)=36
　事象Aの場合の数はn(A)=6
　事象Aが起こる確率は
$P(A)={\displaystyle \frac{6}{36}}={\displaystyle \frac{1}{6}}$･･･（答）
同様にして
$P(B)={\displaystyle \frac{6}{36}}={\displaystyle \frac{1}{6}}$･･･（答）
$P(C)={\displaystyle \frac{4}{36}}={\displaystyle \frac{1}{9}}$･･･（答）
(2)
　事象Cが起こったとき（=目の和が9であるとき），事象Aが起こる（=大の目が4である）条件付き確率は
$P_C(A)={\displaystyle \frac{1}{4}}$･･･（答）
　事象Aが起こったとき（=大の目が4である），事象Cが起こる（=目の和が9であるとき）条件付き確率は
$P_A(C)={\displaystyle \frac{1}{6}}$･･･（答）
→解説を隠す←

【問題3】★☆☆
　1から6までの目が等しい確率で出るさいころを２回投げる．１回目に出た目をm，２回目に出た目をnとする．
(ⅰ)　略
(ⅱ)　mが1≦m≦4を満たすとき，9≦m+n≦11と

なる条件つき確率は	ウ
	エ

（個数の比で考える場合の答案）

m|n	1	2	3	4	5	6
1
2
3						9
4					9	10
5				9	10	11
6			9	10	11	12

　1≦m≦4を満たすのは，上の表において水色の背景色で示した箇所：24個
　その中で，9≦m+n≦11となるのは：3個
　　${\displaystyle \frac{3}{24}}={\displaystyle \frac{1}{8}}$･･･（答）
→解説を隠す←

【問題4】★★☆
　3つのサイコロを同時に投げたとき，すべて異なる目が出る事象をA，3つのサイコロのうち少なくとも1つは1の目である事象をBとする．
(1)～(4) 略
(5) 事象Bが起こったときの事象Aの起こる条件付き確率はである．

事象Bの余事象は，1の目が1つも出ないことであるから，その確率は
${\displaystyle \frac{5^3}{6^3}}$
余事象の定理により
$P(B)=1-{\displaystyle \frac{5^3}{6^3}}={\displaystyle \frac{91}{216}}$
2～6から2つ選び（${}_5{C}_2$），これと1で合計3個の異なる数を並べる方法は， ${}_5{C}_2\times 3!$ だから，事象A∩Bが起こる確率は
$P(A\cap B)={\displaystyle \frac{{}_5{C}_2\times 3!}{6^3}}={\displaystyle \frac{8}{18}}$
$P_B(A)={\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(B)}}={\displaystyle \frac{5}{18}}÷{\displaystyle \frac{91}{216}}={\displaystyle \frac{60}{91}}$･･･（答）
→解説を隠す←

　1回の試行で事象Aの起こる確率をpとすると，この試行をn回繰り返すとき，Aがr回起こる確率は
${}_n{C}_r{p}^r(1-p{)}^{n-r}$

【問題5】★★☆
　座標平面上を動く点Pが原点の位置にある．１個のさいころを投げて，１または２の目が出たときには，Pはx軸の正の向きに１だけ進み，他の目が出たときには，Pはy軸の正の向きに２だけ進むことにして，さいころを３回投げる．点Pの座標が(2, 2)である確率は(ス)であり，Pと原点との距離が3以上である確率は(セ)である．Pと原点との距離が3以上という条件の下で，Pが座標軸上にない条件付き確率は(ソ)である．

　原点から右図のイ(2, 2)に達するルートは３種類あり，その確率の小計は
${}_3{C}_2({\displaystyle \frac{1}{3}}{)}^2({\displaystyle \frac{2}{3}}{)}^1=3\times {\displaystyle \frac{1}{9}}\times {\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{2}{9}}$→(ス)
　Pと原点との距離が3以上となるのは，右図のイ以外の場合で，その確率は余事象の定理から計算できる
$1-{\displaystyle \frac{2}{9}}={\displaystyle \frac{7}{9}}$→(セ)
　イ以外，すなわちアウエのうちで，Pが座標軸上にないのはウの場合
ウとなる確率は
${}_3{C}_1({\displaystyle \frac{1}{3}}{)}^1({\displaystyle \frac{2}{3}}{)}^2={\displaystyle \frac{4}{9}}$
求める条件付確率は
${\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{4}{9}}}{{\displaystyle \frac{7}{9}}}}={\displaystyle \frac{4}{7}}$→(ソ) →解説を隠す←

【問題6】★☆☆
　コインを繰り返し８回投げ，n回目（1≦n≦8）が表なら1を，裏なら0をn桁目とする10進数Nをつくる．このとき，Nが8桁の数である確率を求めよ．また，Nが8桁の数であるとき，それが3の倍数である条件付き確率を求めよ．

第8桁が0でなければ（1であれば）Nは8桁の数になる
$p={\displaystyle \frac{1}{2}}$ ･･･（答）
各位の数の和が3の倍数であるとき，Nは3の倍数になるから，第8桁がであるとき，残り7桁の内で2個もしくは5個が1であれば，Nは3の倍数になる
$p={\displaystyle \frac{{}_7{C}_2{+}_7{C}_{5}1}{2^7}}={\displaystyle \frac{42}{128}}={\displaystyle \frac{21}{64}}$ ･･･（答）
→解説を隠す←

【問題7】★☆☆
　箱の中に，赤玉が5個，青玉が4個，白玉が3個入っている．それぞれの玉の大きさは同じで，1個あたりの重さは，赤玉が100g，青玉が45g，白玉が30gである．このとき以下の問いに答えよ．ただし，取り出した玉は重さを量ったあとで，箱の中にもどすものとする．

(1)　1個の重さが40g以上となるのは，赤玉と青玉だから
${\displaystyle \frac{5}{9}}$ ･･･（答）
(2)　2個の重さが100g以上となるのは
ア) 赤玉2個の場合
$n_1{=}_5{C}_2=10$
イ) 赤玉1個と青玉1個の場合
$n_2{=}_5{C}_1{\times }_4{C}_1=20$
ウ) 赤玉1個と白玉1個の場合
$n_3{=}_5{C}_1{\times }_3{C}_1=15$

以上から
${\displaystyle \frac{n_1}{n_1+n_2+n_3}}={\displaystyle \frac{10}{45}}={\displaystyle \frac{2}{9}}$ ･･･（答）
(3)　3個の重さが150g以上となるのは
ア) 赤玉3個の場合
$n_1{=}_5{C}_3=10$
イ) 赤玉2個,青玉1個の場合
$n_2{=}_5{C}_2{\times }_4{C}_1=40$
ウ) 赤玉2個,白玉1個の場合
$n_3{=}_5{C}_2{\times }_3{C}_1=30$
エ) 赤玉1個,青玉2個の場合
$n_4{=}_5{C}_1{\times }_4{C}_2=30$
オ) 赤玉1個,青玉1個,白玉1個の場合
$n_5{=}_5{C}_1{\times }_4{C}_1{\times }_3{C}_1=60$
カ) 赤玉1個,白玉2個の場合
$n_6{=}_5{C}_1{\times }_3{C}_2=15$
以上から
${\displaystyle \frac{n_1}{n_1+n_2+n_3+n_4+n_5}}={\displaystyle \frac{10}{185}}={\displaystyle \frac{2}{37}}$･･･（答）
→解説を隠す←

【問題8】★★☆
　袋がひとつあり，はじめに赤玉3個と白玉3個が入っている．このとき，以下の操作(＊)を考える．

次の問いに答えよ．
(1) 操作(＊)を2回行ったとき，2回目に取り出した玉が赤玉である確率を求めよ．
(2) 操作(＊)を3回行ったとき，2回目までに取り出した赤玉が1個以上であるという条件のもとで，3回目に取り出した玉が赤玉である条件付き確率を求めよ．
(3) 操作(＊)を4回行ったとき，4回目に取り出した玉が赤玉であるという条件のもとで，3回目までに取り出した赤玉が2個以上である条件付き確率を求めよ．

(1)
赤赤と出る場合
${\displaystyle \frac{3}{6}}\times {\displaystyle \frac{2}{6}}={\displaystyle \frac{1}{6}}$
白赤と出る場合
${\displaystyle \frac{3}{6}}\times {\displaystyle \frac{3}{6}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$
排反事象の加法定理により
${\displaystyle \frac{1}{6}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{5}{12}}$ ･･･（答）
(2)
2回目までに取り出した赤玉が1個以上(A)，かつ，3回目に取り出した玉が赤玉(B)である確率:P(A∩B)

求める条件付き確率は
$P_A(B)={\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(A)}}={\displaystyle \frac{2}{9}}\times {\displaystyle \frac{4}{3}}={\displaystyle \frac{8}{27}}$･･･（答）
(3) ※4回目に赤を出すには「3回目までに赤が3個出てはいけないこと」に注意

4回目に取り出した玉が赤玉であって(C)，かつ，3回目までに取り出した赤玉が2個以上である(D)確率

求める条件付き確率は
$P_C(D)={\displaystyle \frac{P(C\cap D)}{P(C)}}={\displaystyle \frac{1}{18}}\times {\displaystyle \frac{432}{125}}={\displaystyle \frac{24}{125}}$･･･（答）
→解説を隠す←

【問題9】★★☆
（一部引用）
　赤玉3個，黒玉5個，白玉7個が入った袋から3個の玉を同時に取り出す．赤玉，黒玉，白玉が1個ずつ取り出され

る確率は	セ	である．取り出された玉の色が2種類で
	ソタ

あったとき，その中に赤玉が2個入っている確率は

チ	である．
ツテ

　合計15個の玉から3個の玉を取り出す組み合わせは${}_{15}{C}_3=455$通り．
　赤玉，黒玉，白玉が1個ずつ取り出される組み合せは${}_3{C}_1{\times }_5{C}_1{\times }_7{C}_1=105$通り．
　確率は
${\displaystyle \frac{{}_3{C}_1{\times }_5{C}_1{\times }_7{C}_1}{{}_{15}{C}_3}}={\displaystyle \frac{3\times 5\times 7}{455}}={\displaystyle \frac{3}{13}}$
　取り出された玉の色が1種類となる組合せは
${}_3{C}_3{\times }_5{C}_3{\times }_7{C}_3=46$通りだから，取り出された玉の色が2種類となる組合せは$455-(46+105)=304$通り
　取り出された玉の色が2種類であったとき，その中に赤玉が2個入っているのは，
ア）赤2個，黒1個の場合
${}_3{C}_2{\times }_5{C}_1=15$通り
イ）赤2個，白1個の場合
${}_3{C}_2{\times }_7{C}_1=21$通り
求める条件付き確率は
${\displaystyle \frac{15+21}{304}}={\displaystyle \frac{36}{304}}={\displaystyle \frac{9}{76}}$
→解説を隠す←

【問題10】★★★
　二つの袋Ａ，Ｂと１つの箱がある．Ａの袋には赤球2個と白球1個が入っており，Ｂの袋には赤球3個と白球1個が入っている．また，箱には何も入っていない．
(1) Ａ，Ｂの袋から球をそれぞれ1個ずつ同時に取り出し，球の色を調べずに箱に入れる．
　(ⅰ) 箱の中の2個の球のうち少なくとも1個が赤球であ

る確率は	アイ	である．
	ウエ

　(ⅱ) 箱の中をよくかき混ぜてから球を1個取り出すと

き，取り出した球が赤球である確率は	オカ	であり，
	キク

取り出した球が赤球であったときに，それがＢの袋に入

っていたものである条件付き確率は	ケ	である．
	コサ

(2) Ａ，Ｂの袋から球をそれぞれ2個ずつ同時に取り出し，球の色を調べずに箱に入れる．
　(ⅰ) 箱の中の4個の球のうち，ちょうど2個が赤球であ

る確率は	シ	である．また，箱の中の4個の球のうち，
	ス

ちょうど3個が赤球である確率は	セ	である．
	ソ

　(ⅱ) 箱の中をよくかき混ぜてから球を2個同時に取り

出すとき，どちらの球も赤球である確率は	タチ	である.
	ツテ

また，取り出した2個の球がどちらも赤球であったときに，それらのうちの1個のみがＢの袋に入っていたもの

である条件付き確率は	トナ	である.
	ニヌ

(1)(ⅰ)
2球とも白球である場合の余事象の確率を求めると
$1-{\displaystyle \frac{1}{3}}\times {\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{11}{12}}$･･･（答）→アイ/ウエ
(ⅱ)
ア） A:白球1個，B:赤球1個から赤球を取り出す確率は
${\displaystyle \frac{1}{3}}\times {\displaystyle \frac{3}{4}}\times {\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{1}{8}}$
イ） A:赤球1個，B:白球1個から赤球を取り出す確率は
${\displaystyle \frac{2}{3}}\times {\displaystyle \frac{1}{4}}\times {\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{1}{12}}$
ウ） A:赤球1個，B:赤球1個から赤球を取り出す確率は
${\displaystyle \frac{2}{3}}\times {\displaystyle \frac{3}{4}}\times 1={\displaystyle \frac{1}{2}}$
アイウ）から排反事象の加法定理を用いると
${\displaystyle \frac{1}{8}}+{\displaystyle \frac{1}{12}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{17}{24}}$ ･･･（答）→オカ/キク
上記のうちで，赤球がＢから出たものであるのはアの場合，ウでＢの赤球を取り出す場合だから
${\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{8}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}}{{\displaystyle \frac{17}{24}}}}={\displaystyle \frac{3}{8}}\times {\displaystyle \frac{24}{17}}={\displaystyle \frac{9}{17}}$ ･･･（答）→ケ/コサ
(2)(ⅰ)
2個ずつ同時に取り出し，ちょうど2個が赤球となるのは
A:赤球1個と白球1個，B:赤球1個と白球1個となる場合だから
${\displaystyle \frac{2\times 1}{{}_3{C}_2}}\times {\displaystyle \frac{{}_3{C}_2\times 1}{{}_4{C}_2}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$ ･･･（答）→シ/ス
2個ずつ同時に取り出し，ちょうど3が赤球となるのは
ア）A:赤球2個，B:赤球1個と白球1個となる場合
${\displaystyle \frac{{}_2{C}_2}{{}_3{C}_2}}\times {\displaystyle \frac{{}_3{C}_1\times 1}{{}_4{C}_2}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$
イ）A:赤球1個と白球1個，B:赤球2個となる場合
${\displaystyle \frac{2\times 1}{{}_3{C}_2}}\times {\displaystyle \frac{{}_3{C}_2}{{}_4{C}_2}}={\displaystyle \frac{1}{6}}$
アイ）から排反事象の加法定理を用いると
${\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$･･･（答）→セ/ソ
(ⅱ)
ア）箱に4個のうち2個赤球が入っていて，その中から2個同時に取り出したとき，赤球が2個出る場合
　A:赤1白1，B:赤1白1→赤2となる確率は
${\displaystyle \frac{2\times 1}{{}_3{C}_2}}\times {\displaystyle \frac{3\times 1}{{}_4{C}_2}}\times {\displaystyle \frac{{}_2{C}_2}{{}_4{C}_2}}={\displaystyle \frac{2}{3}}\times {\displaystyle \frac{3}{6}}\times {\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{1}{18}}$
イ）箱に4個のうち3個赤球が入っていて，その中から2個同時に取り出したとき，赤球が2個出る場合
　A:赤2白1，B:赤1白1→赤2となる確率は
${\displaystyle \frac{{}_2{C}_2}{{}_3{C}_2}}\times {\displaystyle \frac{3\times 1}{{}_4{C}_2}}\times {\displaystyle \frac{{}_3{C}_2}{{}_4{C}_2}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\times {\displaystyle \frac{3}{6}}\times {\displaystyle \frac{3}{6}}={\displaystyle \frac{1}{12}}$
　A:赤1白1，B:赤2白1→赤2となる確率は
${\displaystyle \frac{2\times 1}{{}_3{C}_2}}\times {\displaystyle \frac{{}_3{C}_2}{{}_4{C}_2}}\times {\displaystyle \frac{{}_3{C}_2}{{}_4{C}_2}}={\displaystyle \frac{2}{3}}\times {\displaystyle \frac{3}{6}}\times {\displaystyle \frac{3}{6}}={\displaystyle \frac{1}{6}}$
ウ）箱に4個のうち4個赤球が入っていて，その中から2個同時に取り出したとき，赤球が2個出る場合
　A:赤2，B:赤2→赤2となる確率は
${\displaystyle \frac{{}_2{C}_2}{{}_3{C}_2}}\times {\displaystyle \frac{{}_3{C}_2}{{}_4{C}_2}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\times {\displaystyle \frac{3}{6}}={\displaystyle \frac{1}{6}}$
これらを加えると
${\displaystyle \frac{1}{18}}+{\displaystyle \frac{1}{12}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{17}{36}}$･･･（答）→タチ/ツテ
上記のア）～ウ）のうちで，それらのうちの1個のみがＢの袋に入っていたものである確率を求める

よって，条件付き確率は
${\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{3}}}{{\displaystyle \frac{17}{36}}}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\times {\displaystyle \frac{36}{17}}={\displaystyle \frac{12}{17}}$･･･（答）→トナ/ニヌ
→解説を隠す←

【問題11】★★☆
　当たりくじ5本を含む13本のくじがあり．このくじを，A, B, C, Dの4人がこの順に1本ずつ引くとし，引いたくじはもとに戻さないとする．このとき，以下の確率を既約分数で求めよ．
(ⅰ)　4人のうち少なくとも1人が当たる確率P1
(ⅱ)　4人のうち少なくとも2人が当たる確率P2
(ⅲ)　4人のうち少なくとも1人が当たりくじを引いたとわかっているとき，Dが当たる条件付き確率P3

(ⅰ) 全員外れる確率は
${\displaystyle \frac{8}{13}}\times {\displaystyle \frac{7}{12}}\times {\displaystyle \frac{6}{11}}\times {\displaystyle \frac{5}{10}}={\displaystyle \frac{14}{143}}$
余事象の確率により，少なくとも1人当たる確率は
$P_1=1-{\displaystyle \frac{14}{143}}={\displaystyle \frac{129}{143}}$ ･･･（答）
(ⅱ) 上記のように，全員外れる確率は，${\displaystyle \frac{14}{143}}$
１人だけ当たる確率は
Aだけ当たる：${\displaystyle \frac{5}{13}}\times {\displaystyle \frac{8}{12}}\times {\displaystyle \frac{7}{11}}\times {\displaystyle \frac{6}{10}}$
Bだけ当たる：${\displaystyle \frac{8}{13}}\times {\displaystyle \frac{5}{12}}\times {\displaystyle \frac{7}{11}}\times {\displaystyle \frac{6}{10}}$
Cだけ当たる：${\displaystyle \frac{8}{13}}\times {\displaystyle \frac{7}{12}}\times {\displaystyle \frac{5}{11}}\times {\displaystyle \frac{6}{10}}$
Dだけ当たる：${\displaystyle \frac{8}{13}}\times {\displaystyle \frac{7}{12}}\times {\displaystyle \frac{6}{11}}\times {\displaystyle \frac{5}{10}}$
合計で
${\displaystyle \frac{8\times 7\times 6\times 5}{13\times 12\times 11\times 10}}={\displaystyle \frac{56}{143}}$
結局
$P_3=1-({\displaystyle \frac{14}{143}}-{\displaystyle \frac{56}{143}})={\displaystyle \frac{73}{143}}$･･･（答）
(ⅲ) • Dが当たる確率は${\displaystyle \frac{5}{13}}$
• 少なくとも1人当たる確率は，(ⅰ)の結果から，${\displaystyle \frac{129}{143}}$
• $P_3={\displaystyle \frac{5}{13}}÷{\displaystyle \frac{129}{143}}={\displaystyle \frac{55}{129}}$･･･（答）
→解説を隠す←

【問題12】★☆☆
　ある製品を製造する４つの機械X, Y, Z, Wがあり，Xの製品には1%，Yの製品には2%，Zの製品には1%，Wの製品には2%の不良品がそれぞれ含まれている．Xの製品200個とYの製品300個とZの製品300個とWの製品200個を混ぜた中から１個を選び出す．選び出された製品が不良品であったときに，それが機械Wの製品である確率はキである．

　不良品である事象をB(=Bad)で，Wの製品である事象をWで表すことにする．また，1000個の製品はどれも同じ確からしさで選ばれるものとする． （個数の比で考える場合の答案）
　不良品の総数は 　Wの製品，かつ，不良品の総数は 　求める条件付き確率は
$P_B(W)={\displaystyle \frac{n(B\cap W)}{n(B)}}={\displaystyle \frac{4}{15}}$ ･･･（答）
（確率の比で考える場合の答案）
　不良品が出る確率は
$P(B)={\displaystyle \frac{200\times 0.01+300\times 0.02+300\times 0.01+200\times 0.02}{1000}}$
=0.015
　Wの製品，かつ，不良品である確率は
$P_W(B)=P(W)P_W(B)={\displaystyle \frac{200}{1000}}\times 0.02=0.004$

　求める条件付き確率は
$P_B(W)={\displaystyle \frac{P(B\cap W)}{P(B)}}={\displaystyle \frac{0.004}{0.015}}={\displaystyle \frac{4}{15}}$･･･（答） →解説を隠す←

【問題13】★★★
　ある臓器にできる腫瘍しゅようXは悪性と良性の２つの型に分けられ，同時に両方の型であることはない．実際に，Xである人とない人の割合は3%と97%であり，Xがある人のうち，悪性の人と良性の人の割合は1:2である．そして，腫瘍Xがあるかないかを調べる検査Yについて，次の事が知られている．
ある人が，この検査Yを受けることになった．このとき，次の確率を求めよ．

Yによって，Xがあると判定される確率は
　悪性のXがある人→0.95
　良性のXがある人→0.80
　Xがない人→0.10
であるから
(1)　Xがあると判定される確率は
0.01×0.95+0.02×0.8+0.97×0.1=0.1225=${\displaystyle \frac{49}{400}}$(答)
(2)　Xがあると判定されたとき，悪性のXが実際にある（条件付き）確率は
　${\displaystyle \frac{0.0095}{0.1225}}={\displaystyle \frac{19}{245}}$･･･(答)
(3)
• 良性であってXがないと判定される確率は，
0.02×0.2=0.004
• Xがない人がXがないと判定される確率は，
0.97×0.9=0.873
• 悪性のXがない確率は，
0.004+0.873=0.877
　${\displaystyle \frac{0.877}{0.99}}={\displaystyle \frac{877}{990}}$･･･(答)
→解説を隠す←

【問題14】★☆☆
　Aの袋には白玉2個，赤玉4個の計6個の玉が，Bの袋には白玉，赤玉ともに3個ずつの計6個の玉が入っている．２つの袋A，Bのうちどちらかを選び，その袋から玉を１個取り出す．取り出した玉が白玉であったとき，選んだ袋がAであった確率はいくらか．

　玉を取り出したとき白玉が出るという事象をW，Aから取り出された事象をAで表すとき
　白玉が出る確率は
$P(W)=P_A(W)+P_B(W)$
$={\displaystyle \frac{1}{2}}\times {\displaystyle \frac{2}{6}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\times {\displaystyle \frac{3}{6}}={\displaystyle \frac{5}{12}}$
　Aから取り出されて，かつ白玉である確率は
$P(A\cap W)={\displaystyle \frac{1}{2}}\times {\displaystyle \frac{2}{6}}={\displaystyle \frac{1}{6}}$
　求める確率は
$P_W(A)={\displaystyle \frac{P(A\cap W)}{P(W)}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{6}}}{{\displaystyle \frac{5}{12}}}}={\displaystyle \frac{2}{5}}$ →(2)･･･（答） →解説を隠す←

【問題15】★☆☆
　赤球6個，白球4個が入った袋Aが２つと，赤球4個，白球6個が入った袋Bが１つある．これら3つの袋から無作為に1つの袋を選び，その袋の中から3個の球を取り出したとき，赤球2個，白球1個であった．このとき，選んだ袋がAであった確率は次のどれか．

3個の球を取り出したとき，赤球2個と白球1個が出て来る確率は
${\displaystyle \frac{1}{3}}\times {\displaystyle \frac{{}_6{C}_2{\times }_4{C}_1}{{}_{10}{C}_3}}\times 2+{\displaystyle \frac{1}{3}}\times {\displaystyle \frac{{}_4{C}_2{\times }_6{C}_1}{{}_{10}{C}_3}}$
$={\displaystyle \frac{1}{3}}\times {\displaystyle \frac{15\times 4}{120}}\times 2+{\displaystyle \frac{1}{3}}\times {\displaystyle \frac{6\times 6}{120}}$
$={\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{10}}={\displaystyle \frac{13}{30}}$
そのうちで，Aの袋2つから出て来る確率は
$={\displaystyle \frac{1}{3}}$
求める条件付き確率は
${\displaystyle \frac{1}{3}}÷{\displaystyle \frac{13}{30}}={\displaystyle \frac{10}{13}}$→(f)･･･（答）
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