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茶

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桃

(1)　条件付き確率の定義

女子の人数は，n(A)=21
女子で音楽を選択している人数は，n(A∩B)=8
①を使うと，$P_A(B)={\displaystyle \frac{8}{21}}$
女子の確率は，$p(A)={\displaystyle \frac{21}{40}}$
女子でかつ音楽選択者の確率は，$p(A\cap B)={\displaystyle \frac{8}{40}}$
②を使うと，$P_A(B)={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{8}{40}}}{{\displaystyle \frac{21}{40}}}}={\displaystyle \frac{8}{21}}$
※この問題で，音楽選択者のうちの男子9人の取り扱いに迷いがあってはいけない．男子の音楽選択者は，女子(A)を選んだ段階で，分母にも分子にも入らない･･･つまり，この計算は「女子の内部での芸術選択者の比率」であることに注意

音楽選択者の人数は，n(B)=17
音楽選択者かつ女子の人数は，n(B∩A)=8
①を使うと，$P_B(A)={\displaystyle \frac{8}{17}}$
音楽選択者の確率は，$p(A)={\displaystyle \frac{17}{40}}$
音楽選択者かつ女子の確率は，$p(B\cap A)={\displaystyle \frac{8}{40}}$
②を使うと，$P_A(B)={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{8}{40}}}{{\displaystyle \frac{17}{40}}}}={\displaystyle \frac{8}{17}}$
※この問題で，女子の美術選択者13人の取り扱いに迷いがあってはいけない．女子の美術選択者は，音楽選択者(B)を選んだ段階で，分母にも分子にも入らない･･･つまり，この計算は「音楽選択者の内部での女子の比率」であることに注意

(2)　原因の確率

お薬を飲んだ人数は，n(A)=50
お薬を飲んでかつ１日以内に症状の改善が見られた(B)人数は，n(A∩B)=30
①を使うと，$P_A(B)={\displaystyle \frac{30}{50}}={\displaystyle \frac{3}{5}}$

１日以内に症状の改善が見られた(B)人数は，n(B)=45
１日以内に症状の改善が見られた人のうちでお薬を飲んでいた人数(A)は，n(A∩B)=30
①を使うと，$P_B(A)={\displaystyle \frac{30}{45}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$

(3)　ベイズの定理

• A, B, Cは互いに排反である(=重複がない)
A∩B=∅, B∩C=∅, C∩A=∅
• A, B, Cを合わせると全体集合になる(=もれがない)
A∪B∪C=U

• A, B, C, Dは互いに排反である(=重複がない)
A∩B=∅, ··· , C∩D=∅
• A, B, C, Dを合わせると全事象になる(=もれがない)
A∪B∪C∪D=U

【ベイズの定理】
A, B, Cが互いに排反（A∩B=∅, B∩C=∅, C∩A=∅）であって，それらの和事象が全事象（A∪B∪C=U）であるとする．
　A, B, Cのいずれかを原因として，ある事象Eが起こったとき，その原因がAである確率は
$P_E(A)={\displaystyle \frac{P(A\cap E)}{P(E)}}$
$={\displaystyle \frac{P(A)P_A(E)}{P(A)P_A(E)+P(B)P_B(E)+P(C)P_C(E)}}$

ベイズの定理では，原因となる事象A, B, C, ...が全事象を「もれなく」「重複なく」分類し尽くしていることが鍵になります

【例題1】
　Aの袋には，赤玉が3個と白玉2個が入っており，Bの袋には赤玉が2個と白玉3個が入っている．いま，無作為に1つの袋を選んで1つの玉を取り出したら，赤玉だったとする．このとき，その赤玉がAの袋から出たと考えられる確率を求めてください．

【問題1】
　Aの袋には，赤玉2個と白玉1個が入っており，Bの袋には赤玉2個と白玉2個が，Cの袋には赤玉1個と白玉2個が入っている．いま，無作為に1つの袋を選んで1つの玉を取り出したら，赤玉だったとする．このとき，その赤玉がCの袋から出たと考えられる確率を求めてください．

Cの袋(C)から赤玉が出る(E)確率は
$P(C)P_C(E)={\displaystyle \frac{1}{3}}\times {\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{1}{9}}$
赤玉が出る(E)確率は
$P(A)P_A(E)+P(B)P_B(E)+P(C)P_C(E)$
$={\displaystyle \frac{1}{3}}\times {\displaystyle \frac{2}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\times {\displaystyle \frac{2}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\times {\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$
求める確率は
$P_E(C)={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{9}}}{{\displaystyle \frac{1}{2}}}}={\displaystyle \frac{2}{9}}$
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【例題2】
　ある会社では，A, B, C３つの工場で同じ製品を作っており，A工場では全体の50%，B工場では全体の30%，C工場では全体の20%を生産する．
　長年の統計で，それぞれの工場で作られる製品の内で不良品が含まれる割合は，A工場1%，B工場2%，C工場4%となることが分かっている．
　製品全体の中から無作為に１個を取り出したら不良品であったとき，それがA工場で作られたものである確率を求めてください．

【問題2】
　ある高校では，A, B2つの中学校とCその他の中学校から入学者を受け入れている．A中学校から全体の60%，B中学校から全体の30%，Cその他の中学校から全体の10%の入学者があった．
　長年の統計で，それぞれの中学校出身者の内で自転車通学希望者の割合は，A20%，B30%，C50%となることが分かっている．
　自転車通学希望者の中から無作為に１人を抽出したとき，A中学校出身者である確率を求めてください．

出身中学校を，各々A, B, Cで表し，自転車通学希望者をEで表す．
Aで，かつ，自転車通学希望者である確率は
$P(A)P_A(E)=0.6\times 0.2=0.12$
A,B,Cのいずれかの自転車通学希望者である確率は
$P(A)P_A(E)+P(B)P_B(E)+P(C)P_C(E)$
$=0.6\times 0.2+0.3\times 0.3+0.1\times 0.5=0.26$
求める確率は
$P_E(A)={\displaystyle \frac{0.12}{0.26}}={\displaystyle \frac{6}{13}}$
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【例題3】
　ある病気のウイルスに感染しているかどうかを調べる試験は大変難しい作業になっていて，実際に感染していると分かっている人(A)に対して1回の試験を行った場合に，感染している(E)という結果が出る確率は70%，感染していない(E)という結果が出る確率は30%だとします．
　また逆に，実際には感染していないことが分かっている人(A)に1回の試験を行った場合に，感染している(E)という結果が出る確率は30%，感染していない(E)という結果が出る確率は70%であるとします．
　感染率が10%の町で無作為抽出検査を行って，感染している(E)という結果が出た人について，その人が実際に感染している確率を求めてください．

【問題3】
　まれにしか起こらないある特別な病気Aを発見するのに，ある検査法Eが有効であるとする．

	検査法Eで病気Aと診断される確率	検査法Eで病気Aと診断されない確率
病気Aに感染している人 （母集団の1%）	97%	3%
健康な人(B) （母集団の96%）	5%	95%
別の軽い病気の人(C) （母集団の3%）	10%	90%

　母集団から無作為に選ばれた1人が，この検査Eを受けて病気Aにかかっていると診断されたとき，その人が実際に病気Aにかかっている確率を求めてください．

病気Aにかかっていて，かつ検査で病気Aと診断される確率は
$P(A)P_A(E)=0.01\times 0.97=0.0097$
無作為検査で病気Aと診断される確率は
$P(A)P_A(E)+P(B)P_B(E)+P(C)P_C(E)$
$=0.01\times 0.97+0.96\times 0.05+0.03\times 0.1=0.06$
求める確率は
$P_E(A)={\displaystyle \frac{0.0097}{0.06}}\fallingdotseq 0.16$･･･約16%
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