![]() ![]() *** 科目 *** 数Ⅰ・A数Ⅱ・B数Ⅲ高卒・大学初年度 *** 単元 *** 数と式不等式二次関数二次不等式三角比三角比と図形集合・命題・証明順列・組合せ確率整数の性質 ※高校数学Aの確率について,このサイトには次の教材があります.
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■独立な試行の確率,反復試行の確率≪解説≫
【独立な試行の確率】《要点》
A , B が独立であるとき,A も B も起こる確率は
【例1】 さいころを2回投げて1回目に3以下,2回目に4以下の目が出る確率
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ここまでに習った考え方で,図1のように1回目,2回目の起こり得るすべての場合を N=36 と考えるときは,
⇒ このように,A , B が独立であるとき,A も B も起こる確率は
式1のように計算して, P = ![]() ![]() しかし,この問題では1回目に出る目は2回目に出る目に影響していないので, 式2のように1回目に3以下となる確率( ![]() ![]()
例題
1回目に偶数(2 , 4 , 6)が出る確率は さいころを2回投げるとき2回とも偶数の目が出る確率 ![]() ![]() p= ![]() ![]() ![]()
## 独立でない場合 ##
赤玉3個,白玉2個が入っている袋から,玉を1つずつ取り出し,取り出した玉は元に戻さない場合に,赤玉が2回出る確率・・・(非復元抽出という) ![]() (ア) 1回目に赤玉が出たとき,袋の中は赤玉2個,白玉2個の計4個になるから, 2回目に赤が出る確率は ![]() (イ) 1回目に白玉が出たとき,袋の中は赤玉3個,白玉1個の計4個になるから, 2回目に赤が出る確率は ![]() ⇒ このように取り出した玉を元に戻さないときは,1回目に A が起こることと2回目に B が起こることは独立ではない. ⇒ 取り出した玉を元に戻すときは,「独立な試行の確率」が適用できるが,取り出した玉を元に戻さないときは「独立な試行の確率」が適用できない.
※ この問題を今までに習った方法で解くには,
1回目の玉の出方は5通り,そのそれぞれについて2回目の玉の出方は4通り → N=20 通り 1回目に赤が出るのは3通り,その各々について2回目に赤が出るのは2通り → n=6 通り p = ![]() ![]() とする. ※ この問題で,1回目に取り出した玉を元に戻すとき(復元抽出という.)は,1回目の玉と2回目の玉はお互いに影響されず,赤赤と出る確率は p = ![]() ![]() ![]() ![]() で求められる. |
【反復試行の確率】《要点》
(解説)1回の試行で事象 A が起こる確率が p のとき,この試行を n 回繰り返してA が r 回起こる確率は ○ 5回のうち A が3回起こる確率で調べると,
事象 A が起こる確率が p のとき,この試行を 5 回繰り返して A が 3 回起こる確率は,次の各場合を足せばよい.
(1) AAA——A——A となる場合 ⇒ pppqq=p3q2 だけでなく(2) ppqpq=p3q2 (3) ppqqp=p3q2 (4) pqppq=p3q2 (5) pqpqp=p3q2 (6) pqqpp=p3q2 (7) qpppq=p3q2 (8) qppqp=p3q2 (9) qpqpp=p3q2 (10) qqppp=p3q2 回数が係数になって,和は 10 p3q2 になる. A が起こる順序だけが異なり,A が合計3回となっているものはすべて当てはまる.このようなものは上のように(1)~(10)の10通りあるから,その確率は 10 p3q2 になる. ○ この係数10は次のようにして求められる: ア)「同じものがあるときの順列」で考える場合 p が3個,q(=1−p) が2個あるとき,これらを並べ替えてできる順列の総数はイ)「組合せ」で考える場合 p が3個,q(=1−p) が2個あるとき,これらを並べ替えてできる順列は並び方の番号札①②③④⑤のうち p の行き先の番号札3個(組合せ)で決まる.○ 一般に 1回の試行で事象 A が起こる確率が p のとき,この試行を n 回繰り返してA が r 回起こる確率は,pr qn−r となる場合が,nCr 通りあることから,それらの合計は
例題
硬貨を5回投げるとき表がちょうど3回出る確率 1回の試行で表が出る確率は p =
例題
さいころを6回投げるとき1の目がちょうど2回出る確率 1回の試行で1の目が出る確率は p = |
※正しい選択肢をクリックして解答してください.解答すれば解説が出ます.解答しなければ解説は出ません. 解説 3以下となる出方は (1)(2)(3)(*)(*)(*) の3通り 3以上となる出方は (*)(*)(3)(4)(5)(6) の4通り 1回目の出方は2回目の出方に影響しない. |
解説 |
![]() 1と書かれた玉が3個,2と書かれた玉が2個,3と書かれた玉が1個,計6個が入っている袋から玉を3回取り出して番号を調べる.取り出した玉はその都度元に戻すものとして,1,2,3の順に玉が出る確率を求めよ. (玉を復元するので各回の出方は独立) 1回目に1が出る確率は 2回目に2が出る確率は 3回目に3が出る確率は 各回の出方は独立だから, |
解説![]() P(A∩B∩C) が3重に加えられるから, P(A∩B∩C)×2 を引けばよい. P(A∩B)= P(B∩C)= P(C∩A)= P(A∩B∩C)= |
解説 4枚表が出る確率は 5枚表が出る確率は 排反事象の加法定理により |
解説 4回とも6以外となる確率は 少なくとも1回6の目が出る確率は |
≪問題2.3≫
解説硬貨を投げて,表が出れば点 P は x 軸の正の方向に2進み,裏が出れば負の方向に1進むものとする.初め原点にあった点 P が硬貨を5回投げた後に x=1 の位置にある確率を求めよ. 5回のうち r 回表が出るとすると点 P の位置は 2r−(5−r)=3r−5 になるから,3r−5=1 より r=2 5回のうち2回表が出る確率は |
≪問題2.4≫
解説(ややむずかしい) 硬貨を投げて,表が出れば点 P は x 軸の正の方向に1進み,裏が出れば負の方向に1進むものとする.点 P が初め原点にあったとき,硬貨を6回投げた後にどの位置にある確率が最も高いか. 6回のうち表が r 回出る確率は 6Cr が最大となる r の値を求めると, 6C0=1, 6C1=6, 6C2=15, 6C3=20, 6C4=15, 6C5=6, 6C6=1 だから r=3 のとき最大となる 表が3回出たとき,点 P の位置は x=3−(6−3)=0 にある確率が最も高い. …(答) |
≪問題2.5≫
解説野球でAチームとBチームが試合を行い,どちらかのチームが先に4勝するまで試合を行うとき,第6試合が行われる確率を求めよ. ただし,両チームの実力は等しく,引き分けはないものとする. 第5試合が終わったとき,Aが2勝3敗または3勝2敗のとき第6試合が行われる. 第5試合が終わったとき,Aが2勝3敗となる確率は 第5試合が終わったとき,Aが3勝2敗となる確率は 求める確率は ![]() ![]() |
■[個別の頁からの質問に対する回答][独立な試行の確率,反復試行の確率について/16.10.10]
ありがとうございます
わかりました!
=>[作者]:連絡ありがとう. |
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