![]() ![]() *** 科目 *** 数Ⅰ・A数Ⅱ・B数Ⅲ高卒・大学初年度 *** 単元 *** 数と式不等式二次関数二次不等式三角比三角比と図形集合・命題・証明順列・組合せ確率整数の性質 ※高校数学Aの確率について,このサイトには次の教材があります.
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は,他の頁を見てください. が現在地です. ↓約数の個数,約数の総和(入試問題) ↓確率の基本 ↓確率の加法定理,余事象の確率 ↓独立試行の確率,反復試行の確率 ↓期待値 ↓条件付き確率 ↓確率の乗法定理 ![]() ↓センター問題(1) ↓同(2) ↓同(3) ↓同(4) ↓ベイズの定理 ↓条件付き確率(入試問題) 仮説検定 |
** 確率の乗法定理 ** ■ 条件つき確率の定義式 ![]() ![]() ※事象Bが起こる確率[単なる(普通の)確率]は,集合Bの要素の個数n(B)を全体集合Uの要素の個数で割った分数で定義されます. 分母を払って変形すると, ![]()
※ 確率の乗法定理は,3つ以上の事象についても順次掛けていえば成り立ちます.
【例1】
袋の中に当りくじ2個,はずれくじ3個,合計5個のくじが入っている.X,Yの2人がこの順にくじを1個ずつ引き,引いたくじは元に戻さないとき,Xが当り,Yがはずれる確率 ![]() Xが当たりくじを引くという事象をAで,Yがはずれくじを引くという事象をBで表わすと ![]() ![]() ![]()
【例2】
(解答)袋の中に当りくじ2個,はずれくじ3個,合計5個のくじが入っている.X,Yの2人がこの順にくじを1個ずつ引き,引いたくじは元に戻さないとき,XとYのどちらが有利か. Xが当たる確率は ![]() Yが当たるのは,「Xが当たってYも当たる場合」と「XがはずれてYが当たる場合」がある. ![]() ![]() (1)(2)は等しいので,X,Yの当たる確率は等しい. 先に引いた人が当たるのを見たら後に引く人は当たりにくくなり, 先に引いた人がはずれるのを見たら後に引く人は当たりやすくなるが, ※重要※ |
∀∅ ~各問題について,選択肢をクリックすると,採点結果と解説が出ます~♣♥
♪♬ ~ 解答しないと解説は出ません~☀☂ ![]() 袋の中に当りくじ2個,はずれくじ3個,合計5個のくじが入っている.X,Yの2人がこの順にくじを1個ずつ引き,引いたくじは元に戻さないものとするとき,Xがはずれくじを引きYが当りくじを引く確率を求めよ. 初めXがはずれくじを引く確率は ![]() Xがはずれくじを引いたとき,残り4本中当りくじは2本: ![]() |
解説 (考え方1) XもYも当たる確率: ![]() ![]() ![]() 排反事象の加法定理によりこれらを加えると (考え方2) 余事象の定理を用いる:1ー(2人ともはずれる確率):1− ![]() |
≪問題3≫
解説![]() ![]() |
解説 x+y+z+w=20,x,y,z,w≧1だけならば重複組合せの問題として解けますが(重複を許して4個の名前を16回呼ぶ) x,y,z,w≦6の取り扱いが大変ですので別の方法を考えます. 2つずつ組み合わせて特大-大の組,中-小の組について出た目の和を表にすると,次の組合せが題意を満たします. ![]() ![]() |
≪問題5≫(むずかしい)
解説A,B,Cの3人で2回ジャンケンをし,1回目に負けた者は2回目のジャンケンに加われないものとする.ジャンケンを2回するとき,2回目のジャンケンでAが1人勝ちになる確率を求めよ. 1回目(3人の手の出し方:33通り)3人がアイコ→2回目(3人の手の出し方:33通り)Aの1人勝ち ![]() ![]() 1回目Aを含む2人勝ち→2回目Aの勝ち ![]() 排反事象の加法定理により |
解説 ○A 3人でアイコになる確率
【起こり得るすべての場合の数】 N=33=27通り
○B 3人でジャンケンして2人残る確率
【アイコとなる場合1】 3人とも同じ手の出し方=3通り 【アイコとなる場合2】 3種類の手が全部出る出し方 =3×2×1=6通り (※以上2つの場合は排反で重なりはない) 以上により,プレーヤーが3人から3人になる確率は
【起こり得るすべての場合の数】 N=33=27通り
○C 3人でジャンケンして1人残る確率
勝つ人2人の選び方=3通り その各々について,勝つ手の選び方=3通り 以上により,プレーヤーが3人から2人になる確率は
【起こり得るすべての場合の数】 N=33=27通り
●D 2人でジャンケンしてアイコになる確率
勝つ人1人の選び方=3通り その各々について,勝つ手の選び方=3通り 以上により,プレーヤーが3人から1人になる確率は
【起こり得るすべての場合の数】 N=32=9通り
●E 2人でジャンケンして1人が勝つ確率
同じ手の選び方3通り 以上により,プレーヤーが2人から2人になる確率は
【起こり得るすべての場合の数】 N=32=9通り
勝つ人1人の選び方=2通り その各々について,勝つ手の選び方=3通り 以上により,プレーヤーが2人から1人になる確率は ![]()
1の経路:Cが1回起こればよい
(余事象で計算する場合)
2の経路:B→Eの順に起こればよい 3の経路:A→Cの順に起こればよい 4の経路:B→D→Eの順に起こればよい 5の経路:A→B→Eの順に起こればよい 6の経路:A→A→Cの順に起こればよい 排反事象の加法定理により,以上を全部加えると ![]() ![]() ![]() |
■[個別の頁からの質問に対する回答][確率の乗法定理について/18.8.29]
数学Aの「原因の確率」のページがあると良いです。
毎度毎度質問、それも直接ゲイシャ様のページの問題と関係ないものですみませんが、できたら教えていただけませんか。教科書に問題と解答例が載っていますが納得できません。
例題、ある製品を製造する工場A,BがありAの製品には3%、Bの製品には4%の不良品が含まれている。Aの製品とBの製品を4:5の割合で混ぜた大量の製品の中から1個を取り出すとき、次の確率を求めよ。
(1)それが不良品である確率
(2)不良品であったときに、それがAの製品である確率
解答例(1)は理解できたのでざっくりとだけ書きます。
不良品はAの製品の場合と、Bの製品の場合があり、それらの事象は互いに排反であるから
((4/9)×(3/100))+((5/9)×(4/100))=8/225
やっかいなのは解答例(2)です。まず教科書の解答例を書きます。
取り出した1個がAの製品であるという事象をA、Bの製品であるという事象をB、不良品であるという事象をEとする。求める確率は、条件付き確率P_E(A)であるから、P_E(A)=(P(A∩B))/(P(E))=((4/9)×(3/100))÷(8/225)=3/8
この解答例(2)ではベン図でいうとこの部分集合Eを全事象として、そのなかでAである確率を計算しています。
個人的には問題文があいまあだと感じています。どちらかというと問題文のにある混ぜた全ての製品の中から1個を取り出したときにそれが不良品かつ工場Aの製品である確率を問われているように読めます。
私の考えはおかしく、教科書の問題文も解答例も完全なものなのでしょうか?
よろしくお願いいたします。
=>[作者]:連絡ありがとう.そのページの先頭にある図と解説,特に※の部分を読んでください.また,原因の確率についてはこのページの例3を読んでください.なお,あなたの間違いは,分母のとり方について,定義よりも自分の信条を優先させている点にあります. |
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