確率の乗法定理

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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ 高卒・大学初年度
*** 単元 ***
数と式不等式二次関数二次不等式三角比三角比と図形集合・命題・証明順列・組合せ確率整数の性質

※高校数学Ａの確率について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　が現在地です．
↓約数の個数，約数の総和（入試問題）

↓確率の基本
↓確率の加法定理，余事象の確率
↓独立試行の確率，反復試行の確率

↓期待値
↓条件付き確率
↓確率の乗法定理

↓センター問題(1)
↓同(2)
↓同(3)
↓同(4)

↓ベイズの定理
↓条件付き確率（入試問題）

仮説検定

** 確率の乗法定理 **

■　条件つき確率の定義式

※事象Ｂが起こる確率［単なる（普通の）確率］は，集合Ｂの要素の個数n(B)を全体集合Ｕの要素の個数で割った分数で定義されます．

P (B) = \frac{n (B)}{n (U)} = \frac{n (B)}{N}

これに対して，「事象Ａが起こったという条件のもとで事象Ｂが起こる確率」「事象Ａが起こったということが分かっているときに，さらに事象Ｂが起こる確率」は「ＡのもとでＢが起こる条件付確率」と呼ばれ，

P_{A} (B)

で表されます．

P_{A} (B) = \frac{n (A \cap B)}{n (A)} = \frac{\frac{n (A \cap B)}{N}}{\frac{P (A)}{N}} = \frac{P (A \cap B)}{P (A)}

※この定義において，事象Ａが起こったと分かっている場合なので，上の図の灰色で示した注という箇所は，この条件付確率

P_{A} (B)

の分母にも分子にも入っていないことに注意しましょう．

分母を払って変形すると，

になります．この式を確率の乗法定理といいます．

※　確率の乗法定理は，３つ以上の事象についても順次掛けていえば成り立ちます．

【例1】
袋の中に当りくじ２個，はずれくじ３個，合計5個のくじが入っている．Ｘ，Ｙの２人がこの順にくじを１個ずつ引き，引いたくじは元に戻さないとき，Ｘが当り，Ｙがはずれる確率

（解答）
Ｘが当たりくじを引くという事象をＡで，Ｙがはずれくじを引くという事象をＢで表わすとＰ(Ａ)＝

Ｘが当りくじを引いたとき，残り4個のくじの中に当り１個，はずれ3個となるから，Ｐ_Ａ(Ｂ)＝

ゆえに，Ｐ(Ａ∩Ｂ)＝Ｐ(Ａ)・Ｐ_Ａ(Ｂ)＝

【例2】
袋の中に当りくじ２個，はずれくじ３個，合計5個のくじが入っている．Ｘ，Ｙの２人がこの順にくじを１個ずつ引き，引いたくじは元に戻さないとき，ＸとＹのどちらが有利か．

（解答）
Ｘが当たる確率は　

　・・・(1)
Ｙが当たるのは，「Ｘが当たってＹも当たる場合」と「ＸがはずれてＹが当たる場合」がある．

＝

　・・・(2)
(1)(2)は等しいので，Ｘ，Ｙの当たる確率は等しい．　先に引いた人が当たるのを見たら後に引く人は当たりにくくなり，
先に引いた人がはずれるのを見たら後に引く人は当たりやすくなるが，

※重要※
始めの時点で考えれば，
「くじに当たる確率は，引く順序に関係ない．」

∀∅ ～各問題について，選択肢をクリックすると，採点結果と解説が出ます～♣♥
♪♬ ～解答しないと解説は出ません～☀☂

≪問題１≫
袋の中に当りくじ２個，はずれくじ３個，合計5個のくじが入っている．Ｘ，Ｙの２人がこの順にくじを１個ずつ引き，引いたくじは元に戻さないものとするとき，Ｘがはずれくじを引きＹが当りくじを引く確率を求めよ．

\frac{1}{4}

\frac{1}{5}

\frac{3}{5}

\frac{1}{9}

\frac{3}{10}

\frac{7}{10}

\frac{5}{18}

\frac{6}{25}

\frac{23}{27}

\frac{323}{432}

\frac{35}{1296}

解説

初めＸがはずれくじを引く確率は

Ｘがはずれくじを引いたとき，残り４本中当りくじは２本：

\frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{3}{10}

≪問題２≫

袋の中に当りくじ２個，はずれくじ３個，合計5個のくじが入っている．Ｘ，Ｙの２人がこの順にくじを１個ずつ引き，引いたくじは元に戻さないとき，少なくとも１人が当りくじを引く確率を求めよ．

\frac{1}{4}

\frac{1}{5}

\frac{3}{5}

\frac{1}{9}

\frac{3}{10}

\frac{7}{10}

\frac{5}{18}

\frac{6}{25}

\frac{23}{27}

\frac{323}{432}

\frac{35}{1296}

解説

（考え方１）
ＸもＹも当たる確率：

，Ｘが当りＹははずれる確率：

，ＸがはずれＹは当たる確率：

排反事象の加法定理によりこれらを加えると

\frac{2}{5} \times \frac{1}{4} + \frac{2}{5} \times \frac{3}{4} + \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{14}{20} = \frac{7}{10}

（考え方２)
余事象の定理を用いる：１ー（２人ともはずれる確率）：1−

1 - \frac{3}{10} = \frac{7}{10}

≪問題３≫

袋の中に白玉２個，赤玉3個，黄玉4個の計9個の球が入っている．Ａ，Ｂがこの順に球を１個ずつ取り出し，取り出した玉は元に戻さないものとする．このとき，ＡとＢが同じ色の玉を取り出す確率を求めよ．

\frac{1}{4}

\frac{1}{5}

\frac{3}{5}

\frac{1}{9}

\frac{3}{10}

\frac{7}{10}

\frac{5}{18}

\frac{6}{25}

\frac{23}{27}

\frac{323}{432}

\frac{35}{1296}

解説

\frac{2}{9} \cdot \frac{1}{8} + \frac{3}{9} \cdot \frac{2}{8} + \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{8} = \frac{20}{72} = \frac{5}{18}

≪問題４≫（むずかしい)
特大，大，中，小の４個のさいころを投げるとき，出た目の和が20になる確率を求めよ．

\frac{1}{4}

\frac{1}{5}

\frac{3}{5}

\frac{1}{9}

\frac{3}{10}

\frac{7}{10}

\frac{5}{18}

\frac{6}{25}

\frac{23}{27}

\frac{323}{432}

\frac{35}{1296}

解説

x+y+z+w=20，ｘ，ｙ，ｚ，ｗ≧1だけならば重複組合せの問題として解けますが（重複を許して４個の名前を16回呼ぶ）
ｘ，ｙ，ｚ，ｗ≦6の取り扱いが大変ですので別の方法を考えます．
２つずつ組み合わせて特大-大の組，中-小の組について出た目の和を表にすると，次の組合せが題意を満たします．

\frac{5 + 8 + 9 + 8 + 5}{1296} = \frac{35}{1296}

≪問題５≫（むずかしい)
Ａ，Ｂ，Ｃの３人で２回ジャンケンをし，１回目に負けた者は２回目のジャンケンに加われないものとする．ジャンケンを２回するとき，２回目のジャンケンでＡが１人勝ちになる確率を求めよ．

\frac{1}{4}

\frac{1}{5}

\frac{3}{5}

\frac{1}{9}

\frac{3}{10}

\frac{7}{10}

\frac{5}{18}

\frac{6}{25}

\frac{23}{27}

\frac{323}{432}

\frac{35}{1296}

解説

１回目（３人の手の出し方：３³通り）3人がアイコ→２回目（３人の手の出し方：３³通り）Ａの１人勝ち

→

\frac{6 + 3}{3^{3}} \times \frac{3}{3^{3}} = \frac{1}{27}

１回目Ａを含む２人勝ち→２回目Ａの勝ち

\frac{6}{27} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{27}

排反事象の加法定理により

\frac{1}{27} + \frac{2}{27} = \frac{3}{27} = \frac{1}{9}

≪問題６≫（むずかしい)
Ａ，Ｂ，Ｃの３人でジャンケンをし，負けた者は次回以降のジャンケンに加われないものとする．３回までジャンケンできるとき，３回目までに勝者が１人に絞られる確率を求めよ．

\frac{1}{4}

\frac{1}{5}

\frac{3}{5}

\frac{1}{9}

\frac{3}{10}

\frac{7}{10}

\frac{5}{18}

\frac{6}{25}

\frac{23}{27}

\frac{323}{432}

\frac{35}{1296}

解説

○Ａ　３人でアイコになる確率

【起こり得るすべての場合の数】　N＝3³=27通り
【アイコとなる場合１】　3人とも同じ手の出し方＝3通り
【アイコとなる場合２】　3種類の手が全部出る出し方 =3×2×1＝6通り
（※以上２つの場合は排反で重なりはない）
以上により，プレーヤーが３人から３人になる確率は

p = \frac{3 + 6}{27} = \frac{9}{27} = \frac{1}{3}

○Ｂ　３人でジャンケンして２人残る確率

【起こり得るすべての場合の数】　N＝3³=27通り
勝つ人２人の選び方=3通り
その各々について，勝つ手の選び方=3通り
以上により，プレーヤーが３人から２人になる確率は

p = \frac{3 \times 3}{27} = \frac{9}{27} = \frac{1}{3}

○Ｃ　３人でジャンケンして１人残る確率

【起こり得るすべての場合の数】　N＝3³=27通り
勝つ人１人の選び方=3通り
その各々について，勝つ手の選び方=3通り
以上により，プレーヤーが３人から１人になる確率は

p = \frac{3 \times 3}{27} = \frac{9}{27} = \frac{1}{3}

●Ｄ　２人でジャンケンしてアイコになる確率

【起こり得るすべての場合の数】　N＝3²=9通り
同じ手の選び方3通り
以上により，プレーヤーが２人から２人になる確率は

p = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}

●Ｅ　２人でジャンケンして１人が勝つ確率

【起こり得るすべての場合の数】　N＝3²=9通り
勝つ人１人の選び方=2通り
その各々について，勝つ手の選び方=3通り
以上により，プレーヤーが２人から１人になる確率は

p = \frac{2 \times 3}{9} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}

上の図の１～6の経路（排反であり重複はない）に沿って確率を計算する

１の経路：Ｃが１回起こればよい

\frac{1}{3}

２の経路：Ｂ→Ｅの順に起こればよい

\frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{9}

３の経路：Ａ→Ｃの順に起こればよい

\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9}

４の経路：Ｂ→Ｄ→Ｅの順に起こればよい

\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{27}

５の経路：Ａ→Ｂ→Ｅの順に起こればよい

\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{27}

６の経路：Ａ→Ａ→Ｃの順に起こればよい

\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{27}

排反事象の加法定理により，以上を全部加えると

\frac{1}{3} + \frac{2}{9} + \frac{1}{9} + \frac{2}{27} + \frac{2}{27} + \frac{1}{27} = \frac{23}{27}

(余事象で計算する場合)

青で示した１～4の経路に沿って余事象（３回までに勝者が１人に決まらない場合）の確率を使うと，

1 - (\underset{A \to A \to A}{\underset{⏟}{\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3}}} + \underset{A \to A \to B}{\underset{⏟}{\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3}}}

+ \underset{A \to B \to D}{\underset{⏟}{\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3}}} + \underset{B \to D \to D}{\underset{⏟}{\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3}}})

= 1 - \frac{4}{27} = \frac{23}{27}

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■［個別の頁からの質問に対する回答］[確率の乗法定理について／18.8.29］

数学Aの「原因の確率」のページがあると良いです。毎度毎度質問、それも直接ゲイシャ様のページの問題と関係ないものですみませんが、できたら教えていただけませんか。教科書に問題と解答例が載っていますが納得できません。例題、ある製品を製造する工場A,BがありAの製品には3%、Bの製品には4%の不良品が含まれている。Aの製品とBの製品を4:5の割合で混ぜた大量の製品の中から1個を取り出すとき、次の確率を求めよ。 (1)それが不良品である確率 (2)不良品であったときに、それがAの製品である確率解答例(1)は理解できたのでざっくりとだけ書きます。不良品はAの製品の場合と、Bの製品の場合があり、それらの事象は互いに排反であるから ((4/9)×(3/100))＋((5/9)×(4/100))=8/225 やっかいなのは解答例(2)です。まず教科書の解答例を書きます。取り出した1個がAの製品であるという事象をA、Bの製品であるという事象をB、不良品であるという事象をEとする。求める確率は、条件付き確率P_E(A)であるから、P_E(A)=(P(A∩B))/(P(E))=((4/9)×(3/100))÷(8/225)=3/8 この解答例(2)ではベン図でいうとこの部分集合Eを全事象として、そのなかでAである確率を計算しています。個人的には問題文があいまあだと感じています。どちらかというと問題文のにある混ぜた全ての製品の中から1個を取り出したときにそれが不良品かつ工場Aの製品である確率を問われているように読めます。私の考えはおかしく、教科書の問題文も解答例も完全なものなのでしょうか？よろしくお願いいたします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．そのページの先頭にある図と解説，特に※の部分を読んでください．また，原因の確率についてはこのページの例3を読んでください．なお，あなたの間違いは，分母のとり方について，定義よりも自分の信条を優先させている点にあります．

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