![]() ![]() *** 科目 *** 数Ⅰ・A数Ⅱ・B数Ⅲ高卒・大学初年度 *** 単元 *** 数と式不等式二次関数二次不等式三角比三角比と図形集合・命題・証明順列・組合せ確率整数の性質 ※高校数学Aの確率について,このサイトには次の教材があります.
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は,他の頁を見てください. が現在地です. ↓約数の個数,約数の総和(入試問題) ↓確率の基本 ↓確率の加法定理,余事象の確率 ![]() ↓独立試行の確率,反復試行の確率 ↓期待値 ↓条件付き確率 ↓確率の乗法定理 ↓センター問題(1) ↓同(2) ↓同(3) ↓同(4) ↓ベイズの定理 ↓条件付き確率(入試問題) 仮説検定 |
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■確率の加法定理,余事象の確率≪解説≫ ![]() 【確率の加法定理】 A∩B= ![]() P(A∪B)=P(A)+P(B) 【一般の加法定理】 P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B) 排反事象を表わす書き方はいろいろあり,「両立できない」「同時には成り立たない」「共通部分がない」「A∩B=∅」など同じ意味になる. ※ 「一般の加法定理」は,個数定理(和集合の要素の個数に関するもの)を全体集合の要素数Nで割ったものである.(Nで割ると確率になる.) n(A∪B)=n(A)+n(B)−n(A∩B) ⇒ ![]() ![]() ![]() ![]() ⇒ P(A∪B) = P(A)+P(B)−P(A∩B)
例1
「袋の中に赤玉3個,白玉2個が入っているとき,この中から同時に2個取り出して同じ色の玉が出る確率」を求めるには ![]() 「同じ色の玉が出る」ことを「赤玉が2つ」の場合と「白玉が2つ」に分けて考える. 赤玉が2つ出る確率は ![]() ![]() 白玉が2つ出る確率は ![]() ![]() ⇒ ![]() ![]() ![]() この例では,A 「赤玉が2つ出る」,B 「白玉が2つ出る」,とするとき,A∩B=∅なので(A と B の共通部分がない),どちらか一方が起こる確率は「足し算で求められる」.
例2
「1から100までの整数が書かれている100枚のカードから1枚を抽出したとき,その数が3または5で割り切れる確率」を求めるには ![]() 100÷3=33・・・1 100÷5=20 100÷15=6・・・10 3の倍数となる確率は ![]() 5の倍数となる確率は ![]() 15の倍数となる確率は ![]() ⇒ ![]() ![]() ![]() ![]() この例では,A 「3の倍数」,B 「5の倍数」,とするとき,A と B の共通部分があるので,単に P(A)+P(B) を計算すると二重に足してしまう部分ができる.そこで,二重の部分 P(A∩B) を引いて答にする. ![]() 【余事象の確率】 P(——A )=1−P(A) ※ 「少なくとも1つ」 ⇔ 余事象を考える
例3
「3個の硬貨を投げるとき,少なくとも1枚表が出る確率」を求めるには このように A の確率を直接計算する代わりに,P(——A )=1−P(A) で計算した方が簡単なとき,この定理を使う. 上の例では,——A を「表が1枚以上出る」,A を「表が出ない(=0枚)」としているが,逆に使ってもよい: P(A)=1−P(——A ) ※ 余事象の確率は「少なくとも1つ」という言葉と結びついていることが多い. 「少なくとも1つ」(=1以上)の余事象は「0個」になる. ![]() 「少なくとも2つ」(=2以上)の余事象は「0または1」 「多くとも4つ」(=4以下)の余事象は「5以上」 「多くとも5つ」(=5以下)の余事象は「6以上」 ※ A 以外を表わす記号 ——A は,集合の記号では「補集合」と呼ばれ,確率では「余事象」と呼ばれる. |
[確率の加法定理,一般の加法定理]
解説 赤赤と出る確率は 白白と出る確率は 加法定理により |
解説 3で割り切れるのは {3n|34≦n≦66} の33通り 5で割り切れるのは {5n|20≦n≦39} の20通り 15で割り切れるのは {15n|7≦n≦13} の7通り |
解説 並べ方の総数は N=4!=24 通りで,どの場合も同様に確からしい. 余事象:隣り合う場合の数を調べる ア)赤玉が隣り合う並べ方は,赤セット1+白玉2個=3つの並べ方×赤玉の内部交換 3!·2!=12 通り イ)白玉が隣り合う並べ方は,白セット1+赤玉2個=3つの並べ方×白玉の内部交換 3!·2!=12 通り ウ)赤玉も白玉も隣り合う並べ方は,白セット1+赤セット1=2つの並べ方×各々の内部交換 2!·2!·2!=8 通り 一般の加法定理により 余事象を考えると |
解説 赤玉2個,白玉2個,黄玉2個計6個の場合 n(A∪B∪C)=n(A)+n(B)+n(C) −n(A∩B)−n(B∩C)−n(C∩A)+n(A∩B∩C) で計算する. 6個の玉の並べ方の総数は N=6!=720 通り ア)赤玉が隣り合う並べ方は 5!·2!=240 通り イ)白玉が隣り合う並べ方は 5!·2!=240 通り ウ)黄玉が隣り合う並べ方は 5!·2!=240 通り エ)赤玉と白玉が各々隣り合う並べ方は 4!·2!·2!=96 通り オ)白玉と黄玉が各々隣り合う並べ方は 4!·2!·2!=96 通り カ)黄玉と赤玉が各々隣り合う並べ方は 4!·2!·2!=96 通り キ)3色とも各々隣り合う並べ方は 3!·2!·2!·2!=48 通り ア)~キ)より,どの色も隣り合わない並べ方は 720−(240+240+240−96−96−96+48)=240 通り |
[余事象の確率]
解説 3本ともはずれとなる確率は 少なくとも1本当たる確率は |
解説 3本とも6以外となる確率は 少なくとも1つ6の目が出る確率は |
解説 赤玉が出ない確率は 赤玉1個白玉2個の確率は 余事象の確率を考えると ※赤玉が2個または3個となる確率を直接求めてもよい: |
解説 表が5枚出る確率は 余事象の確率を考えると |
解説 1色となるとき ア)赤3個となるとき イ)白3個となるとき 3色となるとき 余事象の確率を考えると ![]() ![]() |
■[個別の頁からの質問に対する回答][確率の加法定理,余事象の確率について/17.8.23]
(5) 赤玉3個,白玉3個,黄玉2個の計8個の玉が袋に入っている.この中から同時に3個取り出すとき,出た玉の色が2色となる確率を求めよ.
の余事象を使った問題の解き方は理解できました。そこでより身につけるため余事象を使わずに問題をとこうとしたのですが、うまく答えと同じになりません。
私の考えている方法は、まず、赤、白、黄の中から二色となる組み合わせ、(赤、白)、(赤、黄)、(白、黄)となり、一つを例に赤と白の組み合わせでは、赤が二個、白が一個、または、赤一個、白二個といった感じで、3C1 * 3C2 + 3C1 * 3C2 = 18と言った具合で残りの2つの組み合わせを計算しそれぞれを足したやつを8C3で割る形を取っています。すると答えは3/4となってしまいます。
自分なりにこれが思いつく全てでようやく解けたと思いましが、どうやら違うようです。考え方や抜け落ちてる部分を指摘していただくことで結構ですのでよろしくお願いします。
■[個別の頁からの質問に対する回答][確率の加法定理,余事象の確率について/17.8.23]
=>[作者]:連絡ありがとう.何もおかしいところはありません.分数計算をていねいにやればできます. 赤2白1+赤1白2 赤2黄1+赤1黄2 黄1白2+黄2白1 これらの和は (2)
3で割り切れるのは {3n|34≦n≦66} の33通り
5で割り切れるのは {5n|20≦n≦39} の20通り
15で割り切れるのは {15n|7≦n≦13} の7通り
33+20-7 / 100=46 / 100=23/50 …(答
の答えが間違っていると思うので報告します。
5で割り切れる数の説明はあっていると思いますが、3で割り切れる{3n|34≦n≦66}は{3n|33≦n≦66}になると思います。あと15で割り切れる{15n|7≦n≦13}は{15n|6≦n≦13}になると思います。
どちらも通り数の記載は正しいですが、上記の指摘したところは間違っていると思います。
私もあまり自身がないのでできれば返信をお願いします。
■[個別の頁からの質問に対する回答][確率の加法定理,余事象の確率について/17.1.17]
=>[作者]:連絡ありがとう. ≪3で割り切れる整数の個数について≫ n=33 のとき 3n=99 は100以上にはなりません. n≧34のときに3n≧102≧100と言えます. ≪15で割り切れる整数の個数について≫ n=6 のとき 15n=90 は100以上にはなりません. n≧7のときに15n≧105≧100と言えます. あなたがなぜ上の感想のように思うのかよく分かりませんが,この形の問題でよく見られる間違いは,1から100までに3,5,15で割り切れる数が各々33,20,6個あるとき,101から200までにも同じ数だけあるはずだという議論です.100のところで区切りがずれるので実際に3n,5n,15nがいくらになるのかは調べてみる必要があります. 問題2の(5)のイ)の(答)の中で、3色となるときの分子の最後は、3C2ではなく2C1だと思います。
=>[作者]:連絡ありがとう.訂正しました. |
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