確率の加法定理，余事象の確率

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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ 高卒・大学初年度
*** 単元 ***
数と式不等式二次関数二次不等式三角比三角比と図形集合・命題・証明順列・組合せ確率整数の性質

※高校数学Ａの確率について，このサイトには次の教材があります．
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■確率の加法定理，余事象の確率≪解説≫

《要点》
【確率の加法定理】
A∩B=

のとき，（ A , B が排反事象のとき）
________P(A∪B)=P(A)+P(B)

【一般の加法定理】
__P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)

※　A と B に共通部分がないとき，これらは排反事象であるという．
　排反事象を表わす書き方はいろいろあり，「両立できない」「同時には成り立たない」「共通部分がない」「A∩B=∅」など同じ意味になる．

※　「一般の加法定理」は，個数定理（和集合の要素の個数に関するもの）を全体集合の要素数Nで割ったものである．（Nで割ると確率になる．）
________n(A∪B)=n(A)+n(B)−n(A∩B)

________⇒　.

n(A∪B)Nnnnnnnn= .

n(A)Nnnnn + .

n(B)Nnnnn−.

n(A∩B)Nnnnnnnn

________⇒　P(A∪B) = P(A)+P(B)−P(A∩B)

例１
　「袋の中に赤玉３個，白玉２個が入っているとき，この中から同時に２個取り出して同じ色の玉が出る確率」を求めるには

（解答）
　「同じ色の玉が出る」ことを「赤玉が２つ」の場合と「白玉が２つ」に分けて考える．

　赤玉が２つ出る確率は .

3C25C2nn = .

310nn

　白玉が２つ出る確率は .

2C25C2nn = .

110nn

⇒ .

310nn + .

110nn = .

25n を答とする．

　この例では，A 「赤玉が２つ出る」，B 「白玉が２つ出る」，とするとき，A∩B=∅なので（A と B の共通部分がない），どちらか一方が起こる確率は「足し算で求められる」．

例２
　「1から100までの整数が書かれている100枚のカードから１枚を抽出したとき，その数が3または5で割り切れる確率」を求めるには

（解答）
100÷3=33･･･1
100÷5=20
100÷15=6･･･10
3の倍数となる確率は .

33100nnn

5の倍数となる確率は .

20100nnn

15の倍数となる確率は .

6100nnn

⇒ .

33100nnn + .

20100nnn−.

6100nnn = .

47100nnn を答とする．

　この例では，A 「3の倍数」，B 「5の倍数」，とするとき，A と B の共通部分があるので，単に P(A)+P(B) を計算すると二重に足してしまう部分ができる．そこで，二重の部分 P(A∩B) を引いて答にする．

《要点》
【余事象の確率】

________P(——Aw)=1−P(A)

※　「少なくとも１つ」　⇔　余事象を考える

例３
　「３個の硬貨を投げるとき，少なくとも１枚表が出る確率」を求めるには

表表表３枚

表表裏２枚

表裏表２枚

表裏裏１枚

裏表表２枚

裏表裏１枚

裏裏表１枚

裏裏裏０枚

単純に計算すれば
表が１枚出るのは３通り，
表が２枚出るのは３通り，
表が３枚出るのは1通り，
　　⇒　計７通りとなるが，

表が０枚出るのは１通りだから
　　⇒　８-１＝７通り　で求められる．

　このように A の確率を直接計算する代わりに，P(——Aw)=1−P(A) で計算した方が簡単なとき，この定理を使う．
　上の例では，——Aw を「表が１枚以上出る」，A を「表が出ない（＝０枚）」としているが，逆に使ってもよい： P(A)=1−P(——Aw) ※　余事象の確率は「少なくとも１つ」という言葉と結びついていることが多い．
「少なくとも１つ」（＝１以上）の余事象は「０個」になる．

※
「少なくとも２つ」（＝２以上）の余事象は「０または１」
「多くとも４つ」（＝４以下）の余事象は「５以上」
「多くとも５つ」（＝５以下）の余事象は「６以上」

※ A 以外を表わす記号 ——Aw は，集合の記号では「補集合」と呼ばれ，確率では「余事象」と呼ばれる．

［確率の加法定理，一般の加法定理］

≪問題1.1≫
赤玉３個，白玉２個の合計５個の玉が入っている袋から同時に２個取り出すとき，同じ色の玉が出る確率を求めよ．

\frac{1}{2}

\frac{1}{3}

\frac{2}{3}

\frac{1}{5}

\frac{2}{5}

\frac{9}{14}

\frac{8}{15}

\frac{31}{32}

\frac{23}{50}

\frac{91}{216}

解説

赤赤と出る確率は

\frac{_{3} C_{2}}{_{5} C_{2}} = \frac{3}{10}

白白と出る確率は

\frac{_{2} C_{2}}{_{5} C_{2}} = \frac{1}{10}

加法定理により

p = \frac{3}{10} + \frac{1}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}

…（答）

≪問題1.2≫
100以上200未満の整数が書かれた100枚のカードから１枚を取り出すとき，書かれた数字が３または５で割り切れる確率を求めよ．

\frac{1}{2}

\frac{1}{3}

\frac{2}{3}

\frac{1}{5}

\frac{2}{5}

\frac{9}{14}

\frac{8}{15}

\frac{31}{32}

\frac{23}{50}

\frac{91}{216}

解説

３で割り切れるのは {3n|34≦n≦66} の３３通り
５で割り切れるのは {5n|20≦n≦39} の２０通り
１５で割り切れるのは {15n|7≦n≦13} の７通り

p = \frac{33 + 20 - 7}{100} = \frac{46}{100} = \frac{23}{50}

…（答）

≪問題1.3≫
赤玉２個，白玉２個計４個が入っている袋から玉を取りだして順に並べるとき，同じ色の玉は隣り合わない確率を求めよ．

\frac{1}{2}

\frac{1}{3}

\frac{2}{3}

\frac{1}{5}

\frac{2}{5}

\frac{9}{14}

\frac{8}{15}

\frac{31}{32}

\frac{23}{50}

\frac{91}{216}

解説

並べ方の総数は N=4!=24 通りで，どの場合も同様に確からしい．
余事象：隣り合う場合の数を調べる
ア）赤玉が隣り合う並べ方は，赤セット１+白玉２個＝３つの並べ方×赤玉の内部交換　　3!·2!=12 通り
イ）白玉が隣り合う並べ方は，白セット１+赤玉２個＝３つの並べ方×白玉の内部交換　　3!·2!=12 通り
ウ）赤玉も白玉も隣り合う並べ方は，白セット１+赤セット1＝２つの並べ方×各々の内部交換　　2!·2!·2!=8 通り
一般の加法定理により

p = \frac{12 + 12 - 8}{24} = \frac{2}{3}

余事象を考えると

\bar{p} = \frac{1}{3}

…（答）

≪問題1.4≫
赤玉２個，白玉２個，黄玉２個計６個が入っている袋から玉を取りだして順に並べるとき，同じ色の玉は隣り合わない確率を求めよ．

\frac{1}{2}

\frac{1}{3}

\frac{2}{3}

\frac{1}{5}

\frac{2}{5}

\frac{9}{14}

\frac{8}{15}

\frac{31}{32}

\frac{23}{50}

\frac{91}{216}

解説

赤玉２個，白玉２個，黄玉２個計６個の場合
n(A∪B∪C)=n(A)+n(B)+n(C)
__−n(A∩B)−n(B∩C)−n(C∩A)+n(A∩B∩C) で計算する．
６個の玉の並べ方の総数は N=6!=720 通り
ア）赤玉が隣り合う並べ方は 5!·2!=240 通り
イ）白玉が隣り合う並べ方は 5!·2!=240 通り
ウ）黄玉が隣り合う並べ方は 5!·2!=240 通り
エ）赤玉と白玉が各々隣り合う並べ方は 4!·2!·2!=96 通り
オ）白玉と黄玉が各々隣り合う並べ方は 4!·2!·2!=96 通り
カ）黄玉と赤玉が各々隣り合う並べ方は 4!·2!·2!=96 通り
キ）３色とも各々隣り合う並べ方は 3!·2!·2!·2!=48 通り
ア）～キ）より，どの色も隣り合わない並べ方は
720−(240+240+240−96−96−96+48)=240 通り

p = \frac{240}{720} = \frac{1}{3}

…（答）

［余事象の確率］

≪問題2.1≫
10本のくじの中に当たりくじが２本入っている．この中から同時に３本のくじを引いたとき，少なくとも１本が当たりくじである確率を求めよ．

\frac{1}{2}

\frac{1}{3}

\frac{2}{3}

\frac{1}{5}

\frac{2}{5}

\frac{9}{14}

\frac{8}{15}

\frac{31}{32}

\frac{23}{50}

\frac{91}{216}

解説

３本ともはずれとなる確率は

p = \frac{_{8} C_{3}}{_{10} C_{3}} = \frac{56}{120} = \frac{7}{15}

少なくとも１本当たる確率は

\bar{p} = 1 - \frac{7}{15} = \frac{8}{15}

…（答）

≪問題2.2≫
３個のさいころを同時に投げたとき，少なくとも１つ６の目が出る確率を求めよ．

\frac{1}{2}

\frac{1}{3}

\frac{2}{3}

\frac{1}{5}

\frac{2}{5}

\frac{9}{14}

\frac{8}{15}

\frac{31}{32}

\frac{23}{50}

\frac{91}{216}

解説

３本とも６以外となる確率は

p = (\frac{5}{6})^{3} = \frac{125}{216}

少なくとも１つ６の目が出る確率は

\bar{p} = 1 - \frac{125}{216} = \frac{91}{216}

…（答）

≪問題2.3≫
赤玉６個白玉４個の計10個の玉が入っている袋から同時に３個の玉を取り出すとき，赤玉が少なくとも２個出てくる確率を求めよ．

\frac{1}{2}

\frac{1}{3}

\frac{2}{3}

\frac{1}{5}

\frac{2}{5}

\frac{9}{14}

\frac{8}{15}

\frac{31}{32}

\frac{23}{50}

\frac{91}{216}

解説

赤玉が出ない確率は

\frac{_{4} C_{3}}{_{10} C_{3}} = \frac{4}{120} = \frac{1}{30}

赤玉１個白玉２個の確率は

\frac{_{6} C_{1} \times_{4} C_{2}}{_{10} C_{3}} = \frac{36}{120} = \frac{9}{30}

余事象の確率を考えると

1 - (\frac{1}{30} + \frac{9}{30}) = \frac{2}{3}

…（答）
※赤玉が２個または３個となる確率を直接求めてもよい：

\frac{_{6} C_{2} \times_{4} C_{1}}{_{10} C_{3}} + \frac{_{6} C_{3} \times_{4} C_{0}}{_{10} C_{3}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{2}{3}

≪問題2.4≫
５枚の硬貨を同時に投げるとき，表の出る枚数が４枚以下となる確率を求めよ．

\frac{1}{2}

\frac{1}{3}

\frac{2}{3}

\frac{1}{5}

\frac{2}{5}

\frac{9}{14}

\frac{8}{15}

\frac{31}{32}

\frac{23}{50}

\frac{91}{216}

解説

表が５枚出る確率は

p = (\frac{1}{2})^{5} = \frac{1}{32}

余事象の確率を考えると

\bar{p} = 1 - \frac{1}{32} = \frac{31}{32}

…（答）

≪問題2.5≫
赤玉３個，白玉３個，黄玉２個の計８個の玉が袋に入っている．この中から同時に３個取り出すとき，出た玉の色が２色となる確率を求めよ．

\frac{1}{2}

\frac{1}{3}

\frac{2}{3}

\frac{1}{5}

\frac{2}{5}

\frac{9}{14}

\frac{8}{15}

\frac{31}{32}

\frac{23}{50}

\frac{91}{216}

解説

１色となるとき
ア）赤３個となるとき

\frac{_{3} C_{3}}{_{8} C_{3}} = \frac{1}{56}

イ）白３個となるとき

\frac{_{3} C_{3}}{_{8} C_{3}} = \frac{1}{56}

３色となるとき

\frac{_{3} C_{1} \times_{3} C_{1} \times_{2} C_{1}}{_{8} C_{3}} = \frac{18}{56}

余事象の確率を考えると

\bar{p} = 1 - (\frac{1}{56} + \frac{1}{56} + \frac{18}{56}) = \frac{36}{56} = \frac{9}{14}

…（答）

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■［個別の頁からの質問に対する回答］[確率の加法定理，余事象の確率について／17.8.23］

(5)　赤玉３個，白玉３個，黄玉２個の計８個の玉が袋に入っている．この中から同時に３個取り出すとき，出た玉の色が２色となる確率を求めよ．の余事象を使った問題の解き方は理解できました。そこでより身につけるため余事象を使わずに問題をとこうとしたのですが、うまく答えと同じになりません。私の考えている方法は、まず、赤、白、黄の中から二色となる組み合わせ、（赤、白）、（赤、黄）、（白、黄）となり、一つを例に赤と白の組み合わせでは、赤が二個、白が一個、または、赤一個、白二個といった感じで、3C1 * 3C2 + 3C1 * 3C2 = 18と言った具合で残りの２つの組み合わせを計算しそれぞれを足したやつを8C3で割る形を取っています。すると答えは3/4となってしまいます。自分なりにこれが思いつく全てでようやく解けたと思いましが、どうやら違うようです。考え方や抜け落ちてる部分を指摘していただくことで結構ですのでよろしくお願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．何もおかしいところはありません．分数計算をていねいにやればできます．
赤2白1+赤1白2 $\frac{9+ 9}{56}$
赤2黄1+赤1黄2 $\frac{6+ 3}{56}$
黄1白2+黄2白1 $\frac{6+ 3}{56}$
これらの和は $\frac{36}{56}=\frac{9}{14}$

■［個別の頁からの質問に対する回答］[確率の加法定理，余事象の確率について／17.8.23］

(2) ３で割り切れるのは {3n|34≦n≦66} の３３通り５で割り切れるのは {5n|20≦n≦39} の２０通り１５で割り切れるのは {15n|7≦n≦13} の７通り 33+20-7 / 100=46 / 100=23/50 …（答の答えが間違っていると思うので報告します。 5で割り切れる数の説明はあっていると思いますが、3で割り切れる{3n|34≦n≦66}は{3n|33≦n≦66}になると思います。あと15で割り切れる{15n|7≦n≦13}は{15n|6≦n≦13}になると思います。どちらも通り数の記載は正しいですが、上記の指摘したところは間違っていると思います。私もあまり自身がないのでできれば返信をお願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．
≪３で割り切れる整数の個数について≫
n=33 のとき 3n=99 は100以上にはなりません. n≧34のときに3n≧102≧100と言えます．
≪15で割り切れる整数の個数について≫
n=6 のとき 15n=90 は100以上にはなりません. n≧7のときに15n≧105≧100と言えます．
あなたがなぜ上の感想のように思うのかよく分かりませんが，この形の問題でよく見られる間違いは，1から100までに3,5,15で割り切れる数が各々33,20,6個あるとき，101から200までにも同じ数だけあるはずだという議論です．100のところで区切りがずれるので実際に3n,5n,15nがいくらになるのかは調べてみる必要があります．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[確率の加法定理，余事象の確率について／17.1.17］

問題2の(5)のイ）の(答)の中で、3色となるときの分子の最後は、3C2ではなく2C1だと思います。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．

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