※高校数学Ⅰの「三角比と図形」（正弦定理，余弦定理など）について，このサイトには次の教材があります．
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正弦定理（解説） 正弦定理（問題）

余弦定理（解説） 三辺→角

余弦定理の2次方程式 筆算固有の問題

最大角・最小角 内接円の半径

形状問題 証明問題 三角形を解く

センター問題(1) センター問題(2)

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【センター試験 2012年度：数学Ｉ・Ａ（本試験） 第３問】
　△ABCにおいて，AB=AC=3, BC=2であるとき cos∠ABC=.アイnn , sin∠ABC=.ウ.√エ√nnniオnnnnnn
であり，

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△ABCにおいて∠ABCについて余弦定理により
cos∠ABC=.32+22−322×3×2nnnnnnnn=.412nn=.13n
≪別解≫
△ABCはAB=ACの二等辺三角形だから，BCの中点をDとすると
cos∠ABC=.13n
sin2∠ABC=1−cos2∠ABC

=1−(.13n)2=.89n
sin∠ABC=.2.√2√ni3nnn
≪別解≫
△ABDについて,三平方の定理により，AD2=AB2−BD2=32−12=8
AD=2.√2√ni
sin∠ABC=.2.√2√ni3nnn

△ABCの面積はカ.√キ√nnni，△ABCの内接円Iの半径は ..√ク√nnniケnnnn
である．

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S=.12n×AB×BC×sin∠ABC

=.12n×3×2×.2.√2√ni3nnn=2.√2√ni
≪別解≫S=.12n×AD×BC=.12n×2.√2√ni×2=2.√2√ni
△ABCの内接円の半径をrとおくと
S=.12n×AB·r+.12n×BC·r+.12n×CA·r
=.12n3r+.12n2r+.12n3r=4r
他方においてS=2.√2√niだから
4r=2.√2√ni
r=..√2√ni2nn

　また，円Iの中心から点Bまでの距離は..√コ√nnniサnnnnである．

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内接円の中心をIとおくと
BI2=BD2+DI2=12+(..√2√ni2nn)2=.32n
BI=.√.32n√ni=..√3√ni.√2√ninn=..√6√ni2nnn

(1) 辺AB上の点Pと辺BC上の点Qを，BP=BQ
かつPQ=.23nとなるようにとる．このとき，△PBQの外接 円Oの直径は..√シ√nnniスnnnnであり，円Iと円Oはセ．ただし，セ
には次の0～4から当てはまるものを一つ選べ．

0重なる（一致する） 1内接する 2外接する
3異なる２点で交わる 4共有点をもたない

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2R=.PQsin∠PBCnnnnnnn=..23n.2.√2√ni3nnnnnnn=.22.√2√ninnn=..√2√ni2nn
右図のように，Bは明らかに円Iの外にあり
..√2√ni2nn<..√6√ni2nn<..√2√ni2nn+..√2√ni2nnだから
異なる２点で交わる

(2) 円I上に点Eと点Fを，３点C, E, Fが一直線上にこの順に並び，かつ，CF=.√2√niとなるようにとる．このとき CE=..√ソ√nnniタnnnn , .EFCEnnn=チ
である．

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【方べきの定理】
右図において，CD2=CF · CEが成り立つ．
したがって，CF=.√2√niのとき
1=.√2√ni · CE
CE=..√2√ni2nn
CE=..√2√ni2nn
だから，
CE=EF
.EFCEnnn=1

　さらに，円Iと辺BCとの接点をD，線分BEと線分DFとの交点をG，線分CGの延長と線分BFとの交点をMとする． このとき，.GMCGnnn=.ツテnnnである．

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EはCFの中点，DはBCの中点だから，Gは△FBCの重心になる
.GMCGnnn=.12n