※高校数学Ⅰの「三角比と図形」（正弦定理，余弦定理など）について，このサイトには次の教材があります．
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正弦定理（解説） 正弦定理（問題）

余弦定理（解説） 三辺→角

余弦定理の2次方程式 筆算固有の問題

最大角・最小角 内接円の半径

形状問題 証明問題 三角形を解く

センター問題(1) センター問題(2)

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【センター試験 2011年度：数学Ｉ・Ａ（本試験） 第３問】
　点Oを中心とする円Oの円周上に４点A, B, C, Dがこの順にある．四角形ABCDの辺の長さは，それぞれ
AB=.√7√ni, BC=2.√7√ni, CD=.√3√ni, DA=2.√3√ni
であるとする．

(1) ∠ABC=θ, AC=xとおくと，△ABCに着目して
x2=アイ−28cosθ
となる．

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△ABCについて，余弦定理により
x2=(.√7√ni)2+(2.√7√ni)2−2×.√7√ni×2.√7√nicosθ
=7+28−28cosθ=35−28cosθ

また，△ACDに着目して
x2=15+ウエcosθ
となる．

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△ADCについて，余弦定理により
x2=(.√3√ni)2+(2.√3√ni)2−2×.√3√ni×2.√3√nicos(180°−θ)
=3+12+12cosθ=15+12cosθ

よって，cosθ=.オカnnn, x=.√キク√nnnniであり，円Oの半径は .√ケ√nnniである．

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35−28cosθ=15+12cosθを変形すると
40cosθ=20
cosθ=.12nx2=35−28×.12n=21x=.√21√nni
円Oは△ABCの外接円だから，△ABCについて正弦定理により
.xsinθnnnn=2RR=.x2sinθnnnnn=..√21√nni.√3√ninnn=.√7√ni

　また，四角形ABCDの面積はコ.√サ√nnniである．

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四角形ABCDの面積をsとすると
s=△ABC+△ABD
=.12n×.√7√ni×2.√7√nisinθ+.12n×.√3√ni×2.√3√nisin(180°−θ)=.12n×7×..√3√ni2nn+.12n×3×..√3√ni2nn=5.√3√ni

(2) 点Aにおける円Oの接線と点Dにおける円Oの接線の交点をEとすると，∠OAE=シス°である．

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OAは半径でOEは接線だから，∠OAE=90°

また，線分OEと辺ADの交点をFとすると，∠AFE=セソ°であり，

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△OAEと△ODEは斜辺OEが共通で斜辺以外の一辺OAとODが等しいから，
△OAE≡△ODE
したがって，
∠OAE=∠△ODE
△OAFと△ODFは２辺とその間の角がそれぞれ等しいから
△OAF≡△ODF
したがって，
∠OFA=90°, ∠AFE=90°

OF · OE=タ
である．

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△OAFと△OEAは直角三角形で，直角以外の一組の角∠AOFと∠EOAが等しいから
△OAF∽△OEA
したがって
OA:OF=OE:OA
OF · OE=OA2=(.√7√ni)2=7

　さらに，辺ADの延長と線分OCの延長の交点をGとする．点Eから直線OGに垂線を下ろし，直線OGとの交点をHとする．
　４点E, G, チは同一円周上にある．チに当てはまるものを次の0～4から一つ選べ．

0C , F 1H , D 2H , F 3H , A 4O , A

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∠GHE=∠GFE=90°だから
F, HはGEを直径とする円周上にある．
したがって，E, G, F, Hは同一円周上にある．

したがって，
OH · OG=ツ
である．

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△GOFと△EOHについて
同一の弦HFに対する円周角は等しいから
∠OGF=∠OEH
さらに∠GOF=∠EOH
したがって△GOF∽△EOH
OH:OE=OF:OG
OH · OG=OE · OF=7
（上記の解答は，方べきの定理の証明もしながら行ったものであるが，方べきの定理を使って直接答えてもよい）