※高校数学Ⅰの「三角比と図形」（正弦定理，余弦定理など）について，このサイトには次の教材があります．
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正弦定理（解説） 正弦定理（問題）

余弦定理（解説） 三辺→角

余弦定理の2次方程式 筆算固有の問題

最大角・最小角 内接円の半径

形状問題 証明問題 三角形を解く

センター問題(1) センター問題(2)

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【センター試験 2008年度：数学Ｉ・Ａ（本試験） 第３問】
　△ABCにおいて，AB=7, BC=4.√2√ni, ∠ABC=45°とする．
また，△ABCの外接円の中心をOとする．

　このとき，CA=アであり，外接円Oの半径は
.イウnn.√エ√nnni
である．

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余弦定理により
CA2=AB2+BC2−2×AB×BC×cos∠ABC
=72+(4.√2√ni)2−2×7×4.√2√ni×cos45°
=49+32−56=25
CA=5

正弦定理により
.ACsin∠ABCnnnnnnn=2R

R=.AC2sin∠ABCnnnnnnnnn=.52sin45°nnnnnnn=.52n.√2√ni

　外接円O上の点Aを含まない弧BC上に点DをCD=.√10√nniであるようにとる．∠ADC=オカ°であるから，AD=xとするとxは２次方程式 を満たす．x>0であるから，AD=サ.√シ√nnniとなる．

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円周角の定理により，共通の弧ACに対する円周角は等しいから
∠ADC=∠ABC=45°

AC=5, AD=x, DC=.√10√nni, ∠ADC=45°だから，
△ADCについて余弦定理を適用すると
52=x2+(.√10√nni)2−2×.√10√nni×x×cos45°
25=x2+10−2.√5√nix
x2−2.√5√nix−15=0

(x−3.√5√ni)(x+.√5√ni)=0
x=3.√5√ni (>0)

　下のス，セ，ツには，次の0～5のうちから当てはまるものを一つずつ選べ．ただし，同じものを繰り返し選んでもよい．

0AC 1AD 2AE 3BA 4CD 5ED

　点Aにおける外接円Oの接線と辺DCの延長の交点をEとする．このとき，∠CAE=∠スEであるから，△ACEと△Dセは相似である．
これより， 　EA=.ソタnn.√チ√nnniEC
である．

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【接弦定理】
右図のように，Aにおける接線と弦DCの延長の交点をEとすると，
∠CAE=∠ADE
が成り立つ．
≪証明≫APを直径とすると
∠ADE=∠APC（円周角）
=90°−∠PAC
∠CAE=90°−∠PAC
ゆえに
∠CAE=∠ADE

△ACEと△DAEとは対応する２つの角が等しいから
△ACE∽△DAE

△ACE∽△DAEであるとき，
相似比の取り方として２種類考えることができる．
CE:AE=AE:ED…(1)
CE:AE=AC:AD…(2)
ここでは，２辺の長さAC=5, AD=3.√5√niが利用できる(2)を使う
CE:AE=AC:AD=5:3.√5√niより
EA=.35n.√5√niEC

また，EA2=ツ · ECである．したがって 　EA=.テトナnnnn.√ニ√nnni
であり，△ACEの面積は.ヌネノnnnnである．

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CE:AE=AE:EDだから
AE2=ED · EC

EA=.35n.√5√niEC, EA2=ED · ECより
.925nn×5EC=ED · EC
9EC=5ED
EC=xとおくとED=x+.√10√nniだから
9x=5(x+.√10√nni)
x=.54n.√10√nni
EA=.35n.√5√ni×.54n.√10√nni=.154nn.√2√ni

△ACE=.12nAE×AC×sin45°=.12n×.154nn.√2√ni×5×..√2√ni2nn

=.758nn