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正弦定理（解説） 正弦定理（問題）

余弦定理（解説） 三辺→角

余弦定理の2次方程式 筆算固有の問題

最大角・最小角 内接円の半径

形状問題 証明問題 三角形を解く

センター問題(1) センター問題(2)

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【センター試験 2007年度：数学Ｉ・Ａ（本試験） 第３問】
　△ABCにおいて，AB=2, BC=.√5√ni+1, CA=2.√2√niとする．また△ABCの外接円の中心をOとする．

(1)　このとき，∠ABC=アイ°であり，外接円Oの半径は .ウエnn.√オ√nnni
である．

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∠ABCについて，余弦定理により
cos∠ABC=.AB2+BC2−CA22AB·BCnnnnnnnnnnn
=.22+(.√5√ni+1)2−(2.√2√ni)22×2×(.√5√ni+1)nnnnnnnnnnnnnnnnn
=.2(.√5√ni+1)4(.√5√ni+1)nnnnnnn=.12n
∠ABC=60°

正弦定理により.ACsin∠ABCnnnnnnn=2Rだから
R=.AC2sin60°nnnnnnn=.2.√2√ni.√3√ninnn=.23n.√6√ni

(2)　円Oの円周上に点Dを，直線ACに関して点Bと反対側の弧の上にとる．
　△ABDの面積をS1，△BCDの面積をS2とするとき
.S1S2nn=.√5√ni−1 ……①
であるとする．∠BAD+∠BCD=カキク°であるから CD=.ケコnnnAD
となる．このとき CD=.サシnn.√スセ√nnnnni
である．

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円に内接する四辺形の内対角の和だから180°
S1=.12nAD×AB×sin∠BAD
S2=.12nCD×CB×sin∠BCD
であるが，∠BADと∠BCDとは円に内接する四辺形の内対角になっているから
∠BAD+∠BCD=180°
sin∠BAD=sin∠BCDが成り立つ．したがって，
S1:S2=AD×AB:CD×CB=2AD:(.√5√ni+1)CD
仮定により.S1S2nn=.√5√ni−1だから
.2AD(.√5√ni+1)CDnnnnnnnnn=.√5√ni−1
CD=.2(.√5√ni+1)(.√5√ni−1)nnnnnnnnnnnnAD=.12nAD

上の結果からAD=2CD
また，四辺形ABCDは円に内接する四辺形だから，∠ADC=180°−60°=120°
△ACDについて余弦定理により
AC2=CD2+AD2−2×AD×CD×cos120°
CD=xとおくと
(2.√2√ni)2=x2+(2x)2−2×2x×x×(−.12n)
8=7x2
x=..√8√ni.√7√ninn=.27n.√14√nni

　さらに，２辺AD, BCの延長の交点をEとし，△ABEの面積をS3，△CDEの面積をS4とする．このとき .S3S4nn=.ソタnnn ……②
である．①と②より .S2S4nn=..√チ√nnniツnnnnn ……②
となる．

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△ABE∽△CDEであり，
AB:CD=2:.27n.√14√nniだから，面積比は
4:.449nn×14=1:.1449nn=7:2
.S3S4nn=.72n

S1=(.√5√ni+1)S2
S3=.72nS4
S3=S1+S2+S4
だから
.72nS4=(.√5√ni−1)S2+S2+S4
.52nS4=.√5√niS2
.S2S4nn=..√5√ni2nn