※高校数学Ⅰの「三角比と図形」（正弦定理，余弦定理など）について，このサイトには次の教材があります．
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正弦定理（解説） 正弦定理（問題）

余弦定理（解説） 三辺→角

余弦定理の2次方程式 筆算固有の問題

最大角・最小角 内接円の半径

形状問題 証明問題 三角形を解く

センター問題(1) センター問題(2)

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【センター試験 2010年度：数学Ｉ・Ａ（本試験） 第３問】
　△ABCをAB=3, BC=4, CA=5である直角三角形とする．

(1) △ABCの内接円の中心をOとし，円Oが３辺BC, CA, ABと接する点をそれぞれP, Q, Rとする．このとき，OP=OR=アである．

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△ABCの面積は
.12n×AB×BC=6
他方で，△ABCの内接円の半径をrとおくと，右図のように△ABCの面積は
△ABO+△BCO+△CAO
=.12n(3+4+5)r=6r
6r=6よりr=1 (=OP=OQ=OR)

また， QR=.イ.√ウ√nnniエnnnnnnであり，

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RQとAOの交点をDとすると
△ARO∽△RDOだから
OA:AR=OR:RD
.√5√ni:2=1:RD
RD=.2.√5√ninn=.25n.√5√ni
QR=.45n.√5√ni
≪別解≫cos∠QAR=.35nだから
QR2=22+22−2×2×2cos∠QAR=.165nn

QR=.45n.√5√ni

sin∠QPR=.オ.√カ√nnniキnnnnnnである．

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△PQRの外接円の半径は1だから，正弦定理により
.QRsin∠QPRnnnnnnn=2sin∠QPR=.QR2nn=.25n.√5√ni

(2) 円Oと線分APとの交点のうちPと異なる方をSとする．このとき AP=.√クケ√nnnniであり，

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△ABPについて，三平方の定理により
AP2=32+12=10
AP=.√10√nni

SP=.コ.√サシ√nnnnniスnnnnnnnnである．

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SPの中点をEとすると，cos∠PAB=.3.√10√nninnn=.310nn.√10√nniPE=OP×cos∠PAB=.310nn.√10√nniSP=2PE=.35n.√10√nni

また，点Sから辺BCへ垂線を下ろし，垂線とBCとの交点をHとする．このとき HP=.セソnnn , SH=.タチnnn
である．

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AP:SP=BP:HPだから
.√10√nni:.35n.√10√nni=1:HP.√10√nniHP=.35n.√10√nniHP=.35n
AB:SH=BP:HPだから
3:SH=1:.35nSH=.95n

したがって，tan∠BCS=.ツテnnnである．

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tan∠BCS=.SHCHnn=..95n.35n+3nnn
=.93+15nnnn=.12n

(3) 円O上に点Tを線分RTが円Oの直径となるようにとる． このとき，tan∠BCT=.トナnnnである．

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tan∠BCT=.FTCFnn=.12n

よって，∠RSC=ニヌ°
であり，

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tan∠BCT=tan∠BCSにより，S, T, Cは同一直線上にある．
したがって，∠RSC=∠RSTで，RTは直径だから，∠RSC=∠RST=90°

∠PSC=ネノ°である．

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円周角の定理により∠PSC=∠PRT=45°