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■点Ａの周りの回転
【複素数の極形式】
【例１】２つの複素数を極形式で表したとき，それらの積は回転・拡大を表す． すなわち
z1=r1(cosθ1+i sinθ1)
特に，絶対値が1の複素数を掛けると，原点の周りに回転したものを表す．z2=r2(cosθ2+i sinθ2) のとき z1z2=r1r2{ cos(θ1+θ2)+i sin(θ1+θ2) }となるから z1z2はz1をr2倍して，角θ2だけ回転したものを表す． z1z2はz2をr1倍して，角θ1だけ回転したものを表すと考えてもよい．
z1=r1(cosθ1+i sinθ1)
z2=cosθ2+i sinθ2 のとき z1z2=r1{ cos(θ1+θ2)+i sin(θ1+θ2) }となる．
z1=1+i=(cos+i sin)
【例２】z2=2i=2(cos+i sin) のとき z1z2=2i(1+i)=−2+2i=2{ cos+i sin } となるから z1z2はz1を2倍して，角だけ回転したものを表す．
z1=1+i=2(cos+i sin)
z2=i=cos+i sin のとき z1z2=i(1+i)=−+i=2{ cos+i sin } となるから z1z2はz1を，角だけ回転したものを表す． |
図１
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【点αの周りの回転】
（解説）点zを点αの周りに角θだけ回転した点wは w=(z−α)(cosθ+i sinθ)+α (1) 初めに，点αと点zをいずれも−αだけ平行移動すると，点αは原点に，点zは点z−αにきます． (2) 次に，z−αを原点の周りに角θだけ回転すると (z−α)(cosθ+i sinθ)
になります．(3) 最後に，この点を+αだけ平行移動すると，回転した点が得られます． w=(z−α)(cosθ+i sinθ)+α
【例３】
点z=3を点α=1の周りにθ=だけ回転して得られる点wは
w=(3−1)(cos+i sin)+1
=2(+i)+1=1+i+1=2+i
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図３
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【三角形の形状】
A(z1 ), B(z2 ), C(z3 )について z3−z1=(z2−z1)×r(cosθ+i sinθ)…(1) もしくは =r(cosθ+i sinθ)…(2) のとき AC=AB×r ∠BAC=θ
【例４】
（解答）複素数平面上に３点A, B, Cが反時計回りの順に並んでいる．A(−1+2i), B(1−i), C(z)とするとき，△ABCが∠A=90°の直角二等辺三角形となるようにzを定めてください． Aの周りにABを90°だけ回転したときACに重なるから， z−(−1+2i)={ 1−i−(−1+2i) }×(cos90°+i sin90°) ={ 1−i+1−2i) }×i=(2−3i)×i=3+2i z=3+2i−1+2i=2+4i…（答）
【例５】
（解答）複素数平面上に３点A, B, Cが反時計回りの順に並んでいる．A(1), B(2+i), C(z)とするとき，△ABCが∠A=30°, AB=ACの二等辺三角形となるようにzを定めてください． Aの周りにABを30°だけ回転したときACに重なるから， z−1=(2+i−1)×(cos30°+i sin30°) =(1+i)×=2i z=1+2i…（答） |
図４
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| 【問題】各々正しいものを選んでください． |
(+i−2i)(cos30°+i sin30°)+2i=(−i)+2i=2+2i |
(0−3−i)(cos90°+i sin90°)+3+i=(−3−i)i+3+i=−3i+1+3+i=4−2i |
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(3)複素数平面上に３点A, B, Cが反時計回りの順に並んでいる．A(−1+2i), B(3+i), C(z)とするとき，△ABCがABを斜辺とする直角二等辺三角形となるようにzを定めてください．
HELP |
ACはABを45°回転して，倍したものだからz−(−1+2i) =(4−i)(cos45°+i sin45°) =(4−i)= z=+(−1+2i)= |
ACはABを60°回転したものだからz−i =(−3i)(cos60°+i sin60°) =(−3i)= z=+i= |
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(5)複素数平面上で３点A(z1 ), B(z2 ), C(z3 )について，z3−z1=(z2−z1)(1+i)が成り立つとき，△ABCはどのような形の三角形ですか．
HELP ∠A=90°の直角二等辺三角形 ∠B=90°の直角二等辺三角形 ∠C=90°の直角二等辺三角形 正三角形 |
1+i=(cos45°+i sin45°)だからAC=AB× ∠CAB=45° したがって， ∠B=90°の直角二等辺三角形 （別解） だからBA⊥BC, BA=BC ゆえに，∠B=90°の直角二等辺三角形 |