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【複素数の極形式】
　２つの複素数を極形式で表したとき，それらの積は回転・拡大を表す．
　すなわち 　特に，絶対値が1の複素数を掛けると，原点の周りに回転したものを表す．

z1=1+i=.√2√ni(cos.π4n+i sin.π4n)
z2=2i=2(cos.π2n+i sin.π2n)
のとき
z1z2=2i(1+i)=−2+2i=2.√2√ni{ cos.3π4nn+i sin.3π4nn }
となるから
z1z2はz1を2倍して，角.π2nだけ回転したものを表す．

z1=1+.√3√nii=2(cos.π3n+i sin.π3n)
z2=i=cos.π2n+i sin.π2n
のとき
z1z2=i(1+.√3√nii)=−.√3√ni+i=2{ cos.5π6nn+i sin.5π6nn }
となるから
z1z2はz1を，角.π2nだけ回転したものを表す．

【点αの周りの回転】
　点zを点αの周りに角θだけ回転した点wは
w=(z−α)(cosθ+i sinθ)+α

点z=3を点α=1の周りにθ=.π3nだけ回転して得られる点wは

【三角形の形状】
　A(z1 ), B(z2 ), C(z3 )について
z3−z1=(z2−z1)×r(cosθ+i sinθ)…(1)
もしくは
.z3−z1z2−z1nnnn=r(cosθ+i sinθ)…(2)
のとき
AC=AB×r
∠BAC=θ

【例４】
　複素数平面上に３点A, B, Cが反時計回りの順に並んでいる．A(−1+2i), B(1−i), C(z)とするとき，△ABCが∠A=90°の直角二等辺三角形となるようにzを定めてください．

【例５】
　複素数平面上に３点A, B, Cが反時計回りの順に並んでいる．A(1), B(2+.√3√nii), C(z)とするとき，△ABCが∠A=30°, AB=ACの二等辺三角形となるようにzを定めてください．

(1)点.√3√ni+iを点2iの周りに30°だけ回転すると，どんな点に移されますか．
HELP
1+.√3√nii .√3√ni+i 2+2i 2+.√3√nii

(.√3√ni+i−2i)(cos30°+i sin30°)+2i
=(.√3√ni−i)..√3√ni+i2nnnnn+2i=2+2i

(2)原点を点3+iの周りに90°だけ回転すると，どんな点に移されますか．
HELP
3−.√3√nii 3+.√3√nii 4−2i 4+2i

(0−3−i)(cos90°+i sin90°)+3+i
=(−3−i)i+3+i=−3i+1+3+i=4−2i

(3)複素数平面上に３点A, B, Cが反時計回りの順に並んでいる．A(−1+2i), B(3+i), C(z)とするとき，△ABCがABを斜辺とする直角二等辺三角形となるようにzを定めてください．

HELP
.3+7i2nnnn .3−7i2nnnn .5+5i2nnnn .5−5i2nnnn

ACはABを45°回転して，.1.√2√ninn倍したものだから
z−(−1+2i)

=(4−i).1.√2√ninn(cos45°+i sin45°)

=(4−i).1+i2nnn=.5+3i2nnnn

z=.5+3i2nnnn+(−1+2i)=.3+7i2nnnn

(4)複素数平面上に３点A, B, Cが反時計回りの順に並んでいる．A(i), B(−2i), C(z)とするとき，△ABCが正三角形となるようにzを定めてください．

HELP
.3.√3√ni−i2nnnnnn .1−3.√3√nii2nnnnnnn ..√3√ni−i2nnnnn .1−.√3√nii2nnnnnn

ACはABを60°回転したものだから
z−i

=(−3i)(cos60°+i sin60°)

=(−3i).1+.√3√nii2nnnnnn=.−3i+3.√3√ni2nnnnnnn

z=.−3i+3.√3√ni2nnnnnnn+i=.3.√3√ni−i2nnnnnn

(5)複素数平面上で３点A(z1 ), B(z2 ), C(z3 )について，z3−z1=(z2−z1)(1+i)が成り立つとき，△ABCはどのような形の三角形ですか．

HELP
∠A=90°の直角二等辺三角形
∠B=90°の直角二等辺三角形
∠C=90°の直角二等辺三角形
正三角形

1+i=(cos45°+i sin45°)だから
AC=AB×.√2√ni
∠CAB=45°
したがって，
∠B=90°の直角二等辺三角形
（別解）



だからBA⊥BC, BA=BC
ゆえに，∠B=90°の直角二等辺三角形

点αの周りの回転、最後の＋αを知らないで覚えてました どうりで合わないわけだ ありがとうございました
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

様々な解説をお読みさせて頂きました。 とても分かりやすく、いい解説でした。 ここからは要望です。 カリキュラム上この順番なのかも知れませんが、出来れば「回転と拡大」のページの後に入れた方が理解が楽かも知れません。 お願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．やや応用問題ということで，深い考えもなく後ろの方に配置していましたが，内容のまとまりという点からはご指摘の通りですので訂正しました．