【ド・モアブルの定理】
nを整数とするとき
(cosθ+i sinθ)n=cos(nθ)+i sin(nθ) …(1)
【例】
(1)(cos+i sin)3=cos+i sin
(2)(cos+i sin)4=cosπ+i sinπ

（定理の解説）
　正式には，次の公式を数学的帰納法で示すのがよいが，ここでは具体的に順を追って示してみる．
ア）　n>0のとき
　次の公式を使う．
(cosα+i sinα)(cosβ+i sinβ)=cos(α+β)+i sin(α+β)
n=2のとき
(cosθ+i sinθ)2=(cosθ+i sinθ)(cosθ+i sinθ)
=cos2θ+i sin2θ
だから，(cosθ+i sinθ)2=cos2θ+i sin2θが成り立つ．
n=3のとき
(cosθ+i sinθ)3=(cosθ+i sinθ)2(cosθ+i sinθ)
=(cos2θ+i sin2θ)(cosθ+i sinθ)
=cos(2θ+θ)+i sin(2θ+θ)
=cos3θ+i sin3θ
だから，(cosθ+i sinθ)3=cos3θ+i sin3θが成り立つ．
………
n=kのとき
(cosθ+i sinθ)k=(cosθ+i sinθ)k−1(cosθ+i sinθ)
=(cos(k−1)θ+i sin(k−1)θ)(cosθ+i sinθ)
=cosnθ+i sinnθ
だから，(cosθ+i sinθ)k=cos kθ+i sin kθが成り立つ．
イ）n=0のとき
(cosθ+i sinθ)0=1
cos0+i sin0=1
だから，(cosθ+i sinθ)0=cos 0θ+i sin 0θが成り立つ．
ウ）n<0のとき
　次の公式を使う．
=cos(α−β)+i sin(α−β)
n=−1のとき
(cosθ+i sinθ)−1==
=cos(0−θ)+i sin(0−θ)=cos(−θ)+i sin(−θ)
だから，(cosθ+i sinθ)−1=cos(−θ)+i sin(−θ)が成り立つ．
n=−2のとき
(cosθ+i sinθ)−2==
=cos(0−2θ)+i sin(0−2θ)=cos(−2θ)+i sin(−2θ)
だから，(cosθ+i sinθ)−2=cos(−2θ)+i sin(−2θ)が成り立つ．
n=−kのとき
(cosθ+i sinθ)−k==
=cos(0−kθ)+i sin(0−kθ)=cos(−kθ)+i sin(−kθ)
だから，(cosθ+i sinθ)−k=cos(−kθ)+i sin(−kθ)が成り立つ．
　高校では扱わないが，次のオイラーの公式を使えば，ド・モアブルの定理は簡単に導かれる．
【オイラーの公式】eiθ=cosθ+i sinθ
→ (cosθ+i sinθ)n=(eiθ)n=einθ=cosnθ+i sinnθ
【問題１】
　次の複素数を求めてください．（正しい選択肢をクリック）
(1)(cos+i sin )3
_
(2)(cos+i sin )4
_
(3)(cos+i sin )−2
_
(5)(1+i)8
_

【１のｎ乗根】
○ nを正の整数とするとき，1のn乗根は
cos(×k)+i sin(×k)　(k=0, 1, 2, ..., n−1) …(2)
○ 1の虚数n乗根のうちの１つを
ω=cos()+i sin()
で表すとき，上記の1のn乗根は
1, ω, ω2, ω3,.., ωn−1 …(3)
に等しい．
（解説）
(2)←
○n=5として1の5乗根を例にとって解説する．
　方程式x5=1の解は５個あるが，これらを1の5乗根という．
1) (cos+i sin)5
=cos2π+i sin2π=1
だから
x=cos+i sin
は，方程式x5=1の１つの解となる．（右図のように偏角の５倍がちょうど2πとなって1に等しくなる．）
2) (cos+i sin)5
=cos4π+i sin4π=1
だから
x=cos+i sin
は，方程式x5=1の１つの解となる．（右図のように偏角の５倍がちょうど4πとなって1に等しくなる．この場合は，円を２周して1に一致する．）
3)　同様にして
x=cos(×3)+i sin(×3), cos(×4)+i sin(×4)
も各々方程式x5=1の解となる．（３周もしくは４周して1に一致する．）
4) これら４個の他に，x=1すなわち
x=cos+i sin
もx5=1の解となる．
　以上により，
cos(×k)+i sin(×k)　(k=0, 1, 2, ..., 4)
の５つの複素数はx5=1の解となる．
(3)←
ω=cos+i sin
で表すと
ω2=cos(×2)+i sin(×2)
ω3=cos(×3)+i sin(×3)
ω4=cos(×4)+i sin(×4)
となるから，1, ω, ω2, ω3,.., ω4はx5=1の解となる． 		【例】
○　x2=1の解は，
cos()+i sin()=1
cos()+i sin()=−1
の２個になる．
　このとき，２つの解x=1とx=−1とは，複素数平面上での単位円を２等分する位置にある．

○　x3=1の解は，
cos()+i sin()=1
ω=cos()+i sin()
ω2=cos()+i sin()
の３個になる．
　このとき，３つの解
1
ω=cos()+i sin()
ω2=cos()+i sin()
は，複素数平面上での単位円を３等分する位置に並ぶ．

○　x4=1の解は，
cos()+i sin()=1
i=cos()+i sin()=i
i2=cos()+i sin()=−1
i3=cos()+i sin()=−i
の４個になる．
　このとき，４つの解
1
i=cos()+i sin()
i2=cos()+i sin()
i3=cos()+i sin()
は，複素数平面上での単位円を４等分する位置に並ぶ．

【aのｎ乗根】
○ 　aの極形式をa=r(cosθ+i sinθ)　（r>0）
とするとき，xn=a　（nは正の整数）の解は
{ cos()+i sin() }(k=0, 1, 2, ..., n−1)
（解説）
{ cos()+i sin() }をｎ乗すると
絶対値はrになり，
偏角はθ+2kπになるから，
r(cos(θ+2kπ)+i sin(θ+2kπ))=r(cosθ+i sinθ)=aが成り立つ．
{ cos()+i sin() }
を
{ cos(+)+i sin(+) }
と分けてみればわかるように，
絶対値はrのｎ乗根になり，
偏角はa=r(cosθ+i sinθ)のｎ分の１から始まり円周をｎ等分する点となる．（右図参照）
【例１】
　方程式x2=−1の解を求めるには，
1) 右辺を極形式に直す．
cosπ+i sinπ
2) １つの解は
cos+i sin=i
3) 他の点を円周を２等分した角に置く．
cos+i sin=−i

【例２】
　方程式x3=iの解を求めるには，
1) 右辺を極形式に直す．
cos+i sin
2) １つの解は
cos+i sin=
3) 他の点を円周を３等分した角に置く．
cos(+)+i sin(+)=
cos(+)+i sin(+)=−i
【例３】
　方程式x3=2(−1+i)の解を求めるには，
1) 右辺を極形式に直す．
2( cos+i sin )
2) １つの解は
{cos+i sin }=1+i
3) 他の点を円周を３等分した角に置く．
{cos(+)+i sin(+) }
=(cos+i sin )

{cos(+)+i sin(+ )}
=(cos+i sin )

後ろの２つは三角関数の加法定理を用いれば根号などで表すこともできる．
【問題２】
　次の方程式の解を複素数平面上で図示したものを右から選んでください．
○はじめに問題を１つ選び，続いて図を選んでください．
○不正解となった問題をやり直すときは，問題を選び直すことからはじめてください．







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■［個別の頁からの質問に対する回答］[ド・モアブルの定理について／17.4.10］
ド・モアブルの定理のイでcos0+i sin0=1のθが抜けてるため等号が成り立たなくなっています
＝＞［作者］：連絡ありがとう．確かに読みにくいかもしれませんが，どんな値θに対しても，0θ=0が成り立つ．これは「抜けている」のではなく「消える」のです．（中学校の常識：0a=0 を思い出してみよう！）