複素数の内分点，外分点

【内分点】
　m, nを正の数とするとき，異なる２点z1 , z2をm:nに内分する点を表す複素数は

特に，1：1に内分する点（中点）を表す複素数は

【例１】
　２点z1=1+2i，z2=4−iを1:2に内分する点を表す複素数は

z===2+i

図は次の通り

【例２】
　２点z1=−1−3i，z2=3+iの中点を表す複素数は

z===1−i

図は次の通り

(1)２点z1=−1+3i，z2=2+3iを2:1に内分する点を表す複素数は
HELP

3 3i 3+i 1+3i

内分公式に代入すると

==1+3i

(2)２点z1=3−i，z2=−2+4iを2:3に内分する点を表す複素数は
HELP

i 1+i 2i 1+2i

内分公式に代入すると

==1+i

(3)２点z1=2−3i，z2=−4+7iの中点を表す複素数は
HELP

−1+2i −2+4i 3−5i −3+5i

【外分点】
　m, nを正の数とするとき，異なる２点z1 , z2をm:nに外分する点を表す複素数は

（ただし，外分については，1:1の外分は考えない．）

右図２のような間違いがよく見られますので注意してください．「ABを2:1に外分する点P ⇒ AP:BP=2:1」というとき，片足は必ずPになっていなければなりません．

右図３のように，線分ABの延長上でAP>BPとなる点Pは，Bの外側にきます．
A(z1), B(z2), P(z)とおくと，

z=z1+(z2−z1 )=

右図４のように，線分ABの延長上でAP<BPとなる点Pは，Aの外側にきます．
A(z1), B(z2), P(z)とおくと，

z=z1+(z1−z2 )=

【分点の公式のまとめ】
　m, nを実数とするとき，異なる２点z1 , z2をm:nに分ける点を表す複素数は

m,nが同符号の場合は内分点を表し，異符号の場合は外分点を表す. （ただし，m=−nの場合は考えない．）

(1)２点z1=1+i，z2=−2+3iを2:1に外分する点を表す複素数は
HELP

−5+5i 5−5i −4+i 4−i

外分公式に代入すると

=−1−i−4+6i=−5+5i

(2)２点z1=2i，z2=4を1:3に外分する点を表す複素数は
HELP

2−3i −2+3i 6−i −6+i

外分公式に代入すると

==−2+3i

→ 携帯版は別頁 ■複素数の内分点，外分点【内分点】　m, nを正の数とするとき，異なる２点z1 , z2をm:nに内分する点を表す複素数は特に，1：1に内分する点（中点）を表す複素数は（解説）　原点からz1 , z2をm:nに<内分する点まで進むには，右図１のように，まずz1まで進み，次に内分点まで進めばいよい．　ここで，z1からz2に向かう移動は（終点）-（始点）により z2−z1 だから，z1から内分点に向かう移動は，それを倍にしたもの．したがって， (z2−z1 )倍結局 z=z1+(z2−z1 ) = = 【例１】　２点z1=1+2i，z2=4−iを1:2に内分する点を表す複素数は z===2+i 図は次の通り	図１（初歩的な注意１）　z1からの比率がmで，z2からの比率がnのときに，この公式の分子は nz1+mz2 という形で，「遠い方の比率と掛ける」ようになっていることに注意（初歩的な注意２）　この内分点の公式の公式で与えられる複素数は，上の図１において青の矢印で示したようなものを表しているのではなく，赤の矢印で示したように原点からその内分点に向けられたものを表していることに注意【例２】　２点z1=−1−3i，z2=3+iの中点を表す複素数は z===1−i 図は次の通り
問題１次の各点を表す複素数として，正しいものを選んでください． (1)２点z1=−1+3i，z2=2+3iを2:1に内分する点を表す複素数は HELP 3 3i 3+i 1+3i	内分公式に代入すると ==1+3i
(2)２点z1=3−i，z2=−2+4iを2:3に内分する点を表す複素数は HELP i 1+i 2i 1+2i	内分公式に代入すると ==1+i
(3)２点z1=2−3i，z2=−4+7iの中点を表す複素数は HELP −1+2i −2+4i 3−5i −3+5i	==−1+2i
問題２次の図において青で示した点はz1を，赤で示した点はz2を表しています．このとき，各々指定された点をポイントしてください．全部で５題あります→ [第1問 / 全5問] HELP NEXT	問題３次の図において青で示した点はz1を，赤で示した点はz2を表しています．このとき，各々指定された点を『目分量で』ポイントしてください．全部で５題あります→ [第1問 / 全5問] HELP NEXT

【外分点】　m, nを正の数とするとき，異なる２点z1 , z2をm:nに外分する点を表す複素数は（ただし，外分については，1:1の外分は考えない．）（解説）　例えば，線分ABを2:1に外分する点Pとは，線分ABのBの延長上（外側）に点をとって，AP:BP=2:1となる点Pのことをいいます．右図２のような間違いがよく見られますので注意してください．「ABを2:1に外分する点P ⇒ AP:BP=2:1」というとき，片足は必ずPになっていなければなりません．　一般に，線分ABをm:nに外分する点はア）　m>n　（ただし，m>0, n>0）のとき右図３のように，線分ABの延長上でAP>BPとなる点Pは，Bの外側にきます． A(z1), B(z2), P(z)とおくと， z=z1+(z2−z1 )= = イ）　m<n　（ただし，m>0, n>0）のとき右図４のように，線分ABの延長上でAP<BPとなる点Pは，Aの外側にきます． A(z1), B(z2), P(z)とおくと， z=z1+(z1−z2 )= == ※外分比が等しいとき（すなわちm=nのとき ⇒ 1:1, 2:2など）は，分母が0となって，「おかしい」ことがわかる．　図３の場合はmの方が大きくなり，図４の場合はnの方が大きくなり，どちらの場合でもmとnが等しくなることはない．　このように，1:1の外分だけはない．	図２図３図４
【分点の公式のまとめ】　m, nを実数とするとき，異なる２点z1 , z2をm:nに分ける点を表す複素数は m,nが同符号の場合は内分点を表し，異符号の場合は外分点を表す. （ただし，m=−nの場合は考えない．） ※（覚え方）　上の図のように，m, nのうち１つだけマイナスにすれば外分公式になる．（mをマイナスにしてもよい．）	（参考） m:nをk:1で表したときのkの値と分点の場所（ア）　k>0のときは内分点になる．（イ）　−1<k<0のときはz1の外側の外分点になる．（イ）　−∞<k<−1のときはz2の外側の外分点になる．
問題４次の各点を表す複素数として，正しいものを選んでください． (1)２点z1=1+i，z2=−2+3iを2:1に外分する点を表す複素数は HELP −5+5i 5−5i −4+i 4−i	外分公式に代入すると =−1−i−4+6i=−5+5i
(2)２点z1=2i，z2=4を1:3に外分する点を表す複素数は HELP 2−3i −2+3i 6−i −6+i	外分公式に代入すると ==−2+3i
問題５次の図において青で示した点はz1を，赤で示した点はz2を表しています．このとき，各々指定された点を『目分量で』ポイントしてください．全部で５題あります→ [第1問 / 全5問] HELP NEXT