→ 携帯版は別頁

【対称式の値】
　x2+y2, x2y+xy2などのように文字x, yを入れ替えても式の値が変わらないものを対称式といいます．
　２文字x, yの対称式の値を求めるときは，基本対称式x+yとxyで表すようにすると，簡単になり，間違いにくくなります．

【例題１】
x=2+i, y=2−iのとき，+の値を求めてください．

「力まかせに代入」するのではなく，基本対称式x+yとxyで表すようにします．

このページの「マイナーチェンジありカバー版」「パソコン用」ページ
（グーグルブロガー版）は，こちら⇒

x2+y2=(x+y)2−2xy
x3+y3=(x+y)(x2−xy+y2)=(x+y)((x+y)2−3xy)
+=

【例題２】
x=, y=のとき，x3+y3の値を求めてください．

問題１
x=, y=のとき，次の式の値を求めてください．

−9 −8 −7 −6 −5 −4
−3 −2 −1 0 1 2 3
4 5 6 7 8 9

問題２
x=, y=のとき，次の式の値を求めてください．

−9 −8 −7 −6 −5 −4
−3 −2 −1 0 1 2 3
4 5 6 7 8 9

問題３
x=, y=のとき，次の式の値を求めてください．

−9 −8 −7 −6 −5 −4
−3 −2 −1 0 1 2 3
4 5 6 7 8 9

(1) x=が満たす方程式を作る．
(2) 方程式の左辺で割り算して商と余りに分ける．
(3) 求めるべき式の次数を下げてから代入する．

この変形では⇒のところで同値関係が崩れていることに注意．すなわち，x=ならばx2−3x+4=0は成り立ちますが，x2−3x+4=0ならば，必ずしもx=とは言えず，x=の場合もあります．
通常，２乗すれば同値関係が崩れます．
それゆえに，x2−3x+4=0の左辺は求める式の次数を下げることには利用できますが，それだけでは答案は完成できず，どちらの解であるのかを使わなければならないことがあります．
たとえば，x=ならば，途中までは同じ答案になりますが，最後にxの値を代入したときに結果が変わります．

x2−3x+4が0になるのなら，この変形は0で割っているのではないかという疑問について
(2)の変形は「恒等式としての変形で，どのようなxに対しても成り立ちます．」すなわち，(2)において「割り算」ではなく掛け算の式を見る限り，矛盾はありません．

x4−x3+x2+x+9はつねに2x−3に等しいと言えるのかという疑問について
⇒そんなことはありません．この変形ができるのはx2−3x+4=0すなわちx=またはx=のときだけです．他の値については他の式を使わなければなりません．

この変形は，次の割り算の結果を「割り算の原理」：A÷:B=Q...R ⇔ A=BQ+Rによって，掛け算と足し算で書き直したものです．
x2+2x+3

x2−3x+4 ) x4−x3+x2+x+9
x4−3x3+4x2

2x3−3x2+x
2x3−6x2+8x

3x2−7x+9
3x2−9x+12

2x−3

問題４
x=のとき，2x3−8x2+13x−7の値を
求めたい．次の問いに答えてください．

2x2+6x+7=0 2x2−6x+7=0
x2+3x+1=0 x2−3x+1=0

商はx−1，余りは0
商はx+1，余りはx−1
商は2x−2，余りは5x−2
商は2x−2，余りは5x−6

−4 −3 −2 −1
0 1 2 3 4

問題５
x=2+iのとき，x3−2x2+11の値を求めたい．次の問いに答えてください．

x2=1+4i x2−4x+1=0
x2−4x+7=0 x2+4x+1=0

商はx−6，余りは23x+17
商はx−6，余りは17x+53
商はx+2，余りは7x+9
商はx+2，余りはx−3

−3 −3+i −1+i 2+i

間違いの指摘です 白い四角の二つ目のところで割り算の説明をしていますが 「この変形は，次の割り算の結果を「割り算の原理」：A÷:B=Q...R ⇔ A=BR+Rによって，掛け算と足し算で書き直したものです．」のところで A=BR+RではなくA=BQ+Rの間違いだと思います
＝＞［作者］：連絡ありがとう．入力ミスでしたので訂正しました．

問題1〜3でyが抜けています。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．