■内分点の内分点
【内分点の公式】
　複素数平面において，２点A(z1 ), B(z2 )を結ぶ線分ABをp:qの比に内分する点を表す複素数は

（解説）
　右図１のようになりますが，見かけの上で遠い方の比率を掛けたものが分子に来ます．
【内分点の内分点】
　複素数平面上に３点A(z1 ), B(z2 ), C(z3 )があるとき
z=
とすると，
(1)
ABをq:pに内分する点をFとするとき，
zはCFを(q+p):rに内分する点になる．
(2)
BCをr:qに内分する点をDとするとき，
zはADを(q+r):pに内分する点になる．
(3)
CAをr:pに内分する点をEとするとき，
zはBEを(r+p):qに内分する点になる．
(*)
zはCF,AD, BEの交点を表す．
（解説）
(1)
C:z3 , F:
だから
z==
のように変形すると，zはCFを(q+p):rに内分する点を表すことがわかります．
(2)
A:z1 , D:
だから
z==
のように変形すると，zはADを(r+q):pに内分する点を表すことがわかります．
 図１
図２
(3)
B:z2 , E:
だから
z==
のように変形すると，zはBEを(r+p):qに内分する点を表すことがわかります．

(*)
　(1)(2)(3)の結果から，zは３直線CF,AD, BEのいずれの上にもあるから，CF,AD, BEの交点を表す．
【例１】
　右図３のように，複素数平面において，△ABCの頂点Aを表す複素数をz1，頂点Bを表す複素数をz2，頂点Cを表す複素数をz3とし，ABを2:3に内分する点をF，ACを3:4に内分する点をE，BEとCFの交点をPとする．
(1)Pを表す複素数をz1 , z2 , z3で表してください．
(2)BP:PE, CP:PFを求めてください．
(3)APの延長が線分BCと交わる点をDとするとき，CD:DB, AP:PDを求めてください．
（解答）
(1)右図４のように，FからBEに平行な線を引き，ACと交わる点をGとすると
AG:GE=2:3=8:12
AE:EC=4:5=20:25だから
AG:GE:EC=8:12:25
したがって
FP:PC=12:25
PはF() , C(z3)を12:25に内分する点だから
=…（答）
(2)(1)よりCP:PF=25:12…（答）
また
=
=
と変形すると，
PはE() , B(z2)を10:27に内分する点であることがわかる．
BP:PE=27:10…（答）
 図３
図４
(3)
=
=
と変形すると，
PはA(z1) , D()を22:15に内分する点であることがわかる．
CD:DB=5:6…（答）
AP:PD=22:15…（答）
【問題１】
　右図５のように，複素数平面において，△ABCの頂点Aを表す複素数をz1，頂点Bを表す複素数をz2，頂点Cを表す複素数をz3とし，ABの中点をF，ACを2:3に内分する点をE，BEとCFの交点をPとする．
（以下，正しいものを選んでください．）
(1)Pを表す複素数をz1 , z2 , z3で表してください．

(2)BP:PE, CP:PFを求めてください．


(3)APの延長が線分BCと交わる点をDとするとき，CD:DB, AP:PDを求めてください．

図５
【問題２】
　右図６のように，複素数平面において，△ABCの頂点Aを表す複素数をz1，頂点Bを表す複素数をz2，頂点Cを表す複素数をz3とし，ABを1:3に内分する点をF，ACを2:1に内分する点をE，BEとCFの交点をPとする．
（以下，正しいものを選んでください．）
(1)Pを表す複素数をz1 , z2 , z3で表してください．

(2)BP:PE, CP:PFを求めてください．


(3)APの延長が線分BCと交わる点をDとするとき，CD:DB, AP:PDを求めてください．

図６
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