■軌跡の方程式2
【例１】
　複素数z, wが|z|=1, w−2i=z+3を満たすとき，wが描く図形を調べてください．
（解答）
　w−2i=z+3をzについて解くと
z=w−3−2i
ここで
|z|=1だから
|w−3−2i|=1
ゆえに，wは， 点3+2iを中心とする半径1の円を描く．
○　≪解き方≫
(1) zについての方程式
(2) w=f(z)の形の関係式
が与えられているとき
(2)をz=g(w)の形の関係式に直して，(1)に代入するとwについての方程式が得られる．

○　複素数の定数をαとするとき
|w−α|=r (r>0)
はαを中心とする半径rの円を表す．



○　複素数の定数をαとするとき
w=z+α
の変換により，各々の点はαだけ平行移動した点に移される．
【例２】
　複素数z, wが|z−1|=1, w=2izを満たすとき，wが描く図形を調べてください．
（解答）
　w=2izをzについて解くと
z=
ここで
|z−1|=1に代入すると
|−1|=1
|w−2i|=|2i|=2
ゆえに，wは， 点2iを中心とする半径2の円を描く．
○　２つの複素数をz1 , z2とするとき
|z1z2|=|z1||z2|
が成り立つ．すなわち，積の絶対値は絶対値の積に等しい．
（解説）
　各々を極形式で表したとき
z1=r1(cosθ1+i sinθ1)
z2=r2(cosθ2+i sinθ2)
になるとすれば
z1z2=r1r2{cos(θ1+θ2)+i sin(θ1+θ2)}
となるから，積z1z2の絶対値は，r1r2すなわち絶対値の積になる．（積z1z2の偏角は，偏角θ1 , θ2の和になる．）
⇒ 積z1z2は，複素数平面上で点z1を原点の周りにθ2だけ回転して，r2だけ拡大（縮小）した点になる．
左の【例２】では，2i=2(cos+i sin)だから，w=2izとなる点wはzを原点の周りにだけ回転して2倍した点になる．
一般に，複素数αの極形式がα=r(cosθ+i sinθ)となるとき，w=αzとなる変換によって，各々の点zは原点の周りに角θだけ回転してr倍した点に移される．
【例３】
　複素数zが|2z−1|=1 (z≠0)で表される円周上を動くとき，w=が描く図形を調べてください．
（解答）
　|2z−1|=1すなわち|z−|=
は，点を中心とする半径の円を表す．
このとき
z=だから
|−1|=1
|2−w|=|w|
|w−2|=|w|
ゆえに，wは， 原点と点2を結ぶ線分の垂直二等分線となる．
すなわち直線x=1となる．
○　一般にw=となる変換は「反転」と呼ばれ，
|w|=だから，大きさは逆数になる．
したがって，原点を中心とする半径１の円（単位円）の中と外が逆になる．
w=だから，偏角は正負が逆になる．
したがって，上下が逆になる．
【例４】
　複素数zが|z|=1 (z≠1)で表される円周上を動くとき，
w=
が描く図形を調べてください．
（解説）
zについて解くと
wz−w=z+1
wz−z=w+1
(w−1)z=w+1
z=
|z|=1の条件をwの式に直すと
||=1
|w+1|=|w−1|
したがって，
1, −1を結ぶ線分の垂直二等分線
すなわち，ｙ軸
 （参考）
w==+1
と変形できるので，左の変換は次の４個の変換を順次行ったものとなる．
(1) z−1 ：左に１平行移動
(2) ：反転
(3) ：２倍に拡大
(4) +1 ：右に１平行移動
※　一般に，複素数a, b, c, dを用いて
w=
で表される変換は，「平行移動」「回転・拡大」「反転」を組み合わせたものとなる．
問題各々正しいものを選んでください．
(1) 複素数zが|z|=1を満たしながら動くとき，w+i=z−2を満たす点wはどのような図形を描きますか．



(2) 複素数zが|z|=1を満たしながら動くとき，w=(1+i)zを満たす点wはどのような図形を描きますか．



(3) 複素数zが|z|=1を満たしながら動くとき，w=i(z−1)+1を満たす点wはどのような図形を描きますか．



(4) 青で示した各点zを
w=
によって反転させたとき，wの場所を複素数平面上でポイントしてください．
問題は８題あります→
[第1問 / 全8問]
(5) 複素数zが|z|=1 (z≠1)を満たしながら動くとき，
w=
を満たす点wはどのような図形を描きますか．



(6) 複素数zが|z|=1を満たしながら動くとき，
w=
を満たす点wはどのような図形を描きますか．



(7) 複素数zが|z|=1 (z≠1)を満たしながら動くとき，
w=
を満たす点wはどのような図形を描きますか．
○===メニューに戻る　○===高卒〜大学数学基礎メニューに戻る