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複素数の積と商

【要点】
(1) ０でない２つの複素数の積の絶対値は各々の絶対値の積になり，偏角は各々の偏角の和になります．

(2) ０でない２つの複素数の商の絶対値は各々の絶対値の商になり，偏角は各々の偏角の差になります．

【例題1.1】
複素数平面上に，原点Ｏとは異なる２点A(α), B(β)があり，β=(1−i)αを満たしている．このとき，△OABはどのような三角形か求めよ．

(1)
複素数平面において，α=3+i, β=5−3iとする．点βを，点αを中心として\( \displaystyle \frac{2}{3}\pi \)だけ回転した点を表す複素数γを求めよ．

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点βを点αの周りに角度θだけ回転した点γは次の等式を満たす．
\( \displaystyle \gamma-\alpha=(\cos\frac{2}{3}\pi+ i\sin\frac{2}{3}\pi)(\beta-\alpha) \)
\( \displaystyle \gamma=(3+ i)+(-\frac{1}{2}+ \frac{\sqrt{3}}{2}i)(2-4i) \)
\( \displaystyle =3+ i-1+ 2i+ \sqrt{3}i-2\sqrt{3}i^2 \)
\( \displaystyle =(2+ 2\sqrt{3})+(3+ \sqrt{3})i \)

(2)
複素数平面上の２点α=1+2i, β=2+2iに対し，点αを，点βを中心として正の向きに（つまり反時計回りに）120°だけ回転した点を表す複素数はウである．

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点αを点βの周りに角度θだけ回転した点zは次の等式を満たす．
\( \displaystyle z=(2+ 2i)+(\cos 120^{\circ}+ i\sin 120^{\circ})(-1) \)
\( \displaystyle =(2+ 2i)+(-\frac{1}{2}+ \frac{\sqrt{3}}{2}i)(-1) \)
\( \displaystyle =2+ 2i+ \frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i \)
\( \displaystyle =\frac{4+ 4i+ 1-\sqrt{3}i}{2} \)
\( \displaystyle =\frac{5+ (4-\sqrt{3})i}{2} \)

(3)
複素数z1, z2, z3を表す複素数平面上の点を，それぞれA, B, Cとする．３点A, B, CがAB:BC:CA=1:\( \displaystyle \sqrt{3} \):2の三角形を作るとき
\( \displaystyle \frac{z_3-z_1}{z_2-z_1} \)=ヌ±iである．

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△ABCはAB:BC:CA=1:\( \displaystyle \sqrt{3} \):2の三角形だから，∠ABC=90°の直角三角形で∠BAC＝60°だから
\( \displaystyle \frac{z_3-z_1}{z_2-z_1} \)
は絶対値が2で偏角が±60°の複素数

\( \displaystyle \frac{z_3-z_1}{z_2-z_1}=2(\cos(\pm 60^{\circ})+ i\sin(\pm 60^{\circ}))=1\pm \sqrt{3}i \)

(4)
複素数平面上で，点P(1−i)を中心とする円に内接する正三角形がある．この正三角形の頂点の１つが点A(2)であるとき，残りの２つの頂点を表す複素数を求めよ．ただし，iは虚数単位とする．

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点βを点αの周りに角度θだけ回転した点\(\gamma\)は次の等式を満たす．
点A(2)を点\( \displaystyle P(1-\sqrt{3}i) \)の周りに角度±120°だけ回転した点zは
\( \displaystyle z-(1-\sqrt{3}i) \)
\( \displaystyle =\{\cos(\pm 120^{\circ})+ i\sin(\pm 120^{\circ})\}\{2-(1-\sqrt{3}i)\} \)
\( \displaystyle z=1-\sqrt{3}i+ (-\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{2})(1+\sqrt{3}i) \)
\( \displaystyle z=-1-\sqrt{3}i,\hspace{5px}2-2\sqrt{3}i \)

【要点】
　△ABCの面積は
\( \displaystyle S=\frac{1}{2}AB\cdot AC\sin \theta \)
で求められる．
そこで，複素数平面上でA(z1), B(z2), C(z3)であるとき，△ABCの面積を求めるには
\( \displaystyle AB=|z_2-z_1| \)
\( \displaystyle AC=|z_3-z_1| \)
\( \displaystyle \theta=arg(\frac{z_3-z_1}{z_2-z_1}) \)
を使って計算すればよい．

【例題2.1】
複素数zをz=1+2iとする．複素数平面上で，1, z, z2を表す点をそれぞれ，A, B, Cとするとき，∠BACの大きさはオであり，三角形ABCの面積はカである．

(1)
複素数zが|z|=2を満たすとき，複素数平面上の４点0, z, (1+i)z, 2izを頂点とする四角形の面積を求めよ．ただし，iは虚数単位とする．

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\( \displaystyle 1+ i=\sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4}+ i\sin\frac{\pi}{4}) \)だから，(1+i)zはzの大きさを\( \displaystyle \sqrt{2} \)倍して\( \displaystyle \frac{\pi}{4} \)回転したものになる．
　右図の△OABの面積は
\( \displaystyle S_1=\frac{1}{2}\times OA\times OB\times \sin\frac{\pi}{4} \)
\( \displaystyle =\frac{1}{2}\times 2\times 2\sqrt{2}\times\frac{1}{\sqrt{2}}=2 \)
\( \displaystyle 2i=2(\cos \frac{\pi}{2}+ i\sin\frac{\pi}{2}) \)だから，2izはzの大きさを\( \displaystyle 2 \)倍して\( \displaystyle \frac{\pi}{2} \)回転したものになる．
　右図の△OBCの面積は
\( \displaystyle S_2=\frac{1}{2}\times OB\times OC\times \sin\frac{\pi}{4} \)
\( \displaystyle =\frac{1}{2}\times 2\sqrt{2}\times 4\times\frac{1}{\sqrt{2}}=4 \)
　合計で2+4=6