複素数平面の入試問題

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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ 高卒・大学初年度
*** 単元 ***
複素数平面二次曲線媒介変数表示と極座標
数列の極限関数導関数不定積分定積分
行列 1次変換

※高校数学Ⅲの「複素数平面」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　が現在地です．

↓複素数平面

↓回転と拡大
↓点Ａの周りの回転
↓三角形の形状問題
↓ド・モアブルの定理
↓ド・モアブルの定理(入試問題)

↓複素数で表される軌跡の方程式
↓同(2)
↓複素数の１次結合が表す図形

↓内分点・外分点
↓２直線の交点
↓内分点の内分点
↓２直線の平行条件・垂直条件

↓複素数平面の入試問題1
↓複素数平面の入試問題2-現在地
↓複素数平面の入試問題3
複素数平面の入試問題4

=== 複素数平面の入試問題2 ===

複素数の積と商

【要点】
(1) ０でない２つの複素数の積の絶対値は各々の絶対値の積になり，偏角は各々の偏角の和になります．

|z1z2|=|z1| |z2|
arg(z1z2)=arg(z1)+arg(z2)

(2) ０でない２つの複素数の商の絶対値は各々の絶対値の商になり，偏角は各々の偏角の差になります．

∣ \frac{z_{1}}{z_{2}} ∣= \frac{∣ z_{1} ∣}{∣ z_{2} ∣}

a r g (\frac{z_{1}}{z_{2}}) = a r g (z_{1}) - a r g (z_{2})

【例題1.1】
複素数平面上に，原点Ｏとは異なる２点A(α), B(β)があり，β=(1−i)αを満たしている．このとき，△OABはどのような三角形か求めよ．

（奈良県立医大2016年）

（解答）

β = \sqrt{2} {\cos (- 45^{\circ}) + \sin (- 45^{\circ})} α

だから

O B = \sqrt{2} \times O A

∠BOA=45°
になる．
したがって，∠OAB=90°の直角二等辺三角形

【問題１】　

(1)
複素数平面において，α=3+i, β=5−3iとする．点βを，点αを中心として

\frac{2}{3} π

だけ回転した点を表す複素数γを求めよ．

（広島市立大2016年）

解答を見る

点βを点αの周りに角度θだけ回転した点γは次の等式を満たす．

γ - α = (\cos θ + i \sin θ) (β - α)

γ - α = (\cos \frac{2}{3} π + i \sin \frac{2}{3} π) (β - α)

γ = (3 + i) + (- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i) (2 - 4 i)

= 3 + i - 1 + 2 i + \sqrt{3} i - 2 \sqrt{3} i^{2}

= (2 + 2 \sqrt{3}) + (3 + \sqrt{3}) i

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(2)
複素数平面上の２点α=1+2i, β=2+2iに対し，点αを，点βを中心として正の向きに（つまり反時計回りに）120°だけ回転した点を表す複素数はウである．

（慶応義塾大2005年看護医療）

解答を見る

点αを点βの周りに角度θだけ回転した点zは次の等式を満たす．

z - β = (\cos θ + i \sin θ) (α - β)

z = (2 + 2 i) + (\cos 120^{\circ} + i \sin 120^{\circ}) (- 1)

= (2 + 2 i) + (- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i) (- 1)

= 2 + 2 i + \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i

= \frac{4 + 4 i + 1 - \sqrt{3} i}{2}

= \frac{5 + (4 - \sqrt{3}) i}{2}

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(3)
複素数z1, z2, z3を表す複素数平面上の点を，それぞれA, B, Cとする．３点A, B, CがAB:BC:CA=1:

\sqrt{3}

:2の三角形を作るとき

\frac{z_{3} - z_{1}}{z_{2} - z_{1}}

=ヌ±.

√ネ√nnnnniiである．

（早稲田大2016年人間科）

解答を見る

△ABCはAB:BC:CA=1:

\sqrt{3}

:2の三角形だから，∠ABC=90°の直角三角形で∠BAC＝60°だから

\frac{z_{3} - z_{1}}{z_{2} - z_{1}}

は絶対値が2で偏角が±60°の複素数

\frac{z_{3} - z_{1}}{z_{2} - z_{1}} = 2 (\cos (\pm 60^{\circ}) + i \sin (\pm 60^{\circ})) = 1 \pm \sqrt{3} i

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(4)
複素数平面上で，点P(1−.

√3√nii)を中心とする円に内接する正三角形がある．この正三角形の頂点の１つが点A(2)であるとき，残りの２つの頂点を表す複素数を求めよ．ただし，iは虚数単位とする．

（岩手大2016年理工）

解答を見る

点βを点αの周りに角度θだけ回転した点

γ

は次の等式を満たす．

γ - α = (\cos θ + i \sin θ) (β - α)

点A(2)を点

P (1 - \sqrt{3} i)

の周りに角度±120°だけ回転した点zは

z - (1 - \sqrt{3} i)

= {\cos (\pm 120^{\circ}) + i \sin (\pm 120^{\circ})} {2 - (1 - \sqrt{3} i)}

z = 1 - \sqrt{3} i + (- \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2}) (1 + \sqrt{3} i)

z = - 1 - \sqrt{3} i, 2 - 2 \sqrt{3} i

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【要点】
　△ABCの面積は

S = \frac{1}{2} A B \cdot A C \sin θ

で求められる．

S = \frac{1}{2} B C \cdot B A \sin ϕ

でもよい

そこで，複素数平面上でA(z1), B(z2), C(z3)であるとき，△ABCの面積を求めるには

A B = | z_{2} - z_{1} |

A C = | z_{3} - z_{1} |

θ = a r g (\frac{z_{3} - z_{1}}{z_{2} - z_{1}})

を使って計算すればよい．

【例題2.1】
複素数zをz=1+2iとする．複素数平面上で，1, z, z2を表す点をそれぞれ，A, B, Cとするとき，∠BACの大きさはオであり，三角形ABCの面積はカである．

（広島工業大2005年）

（解答）

\frac{z^{2} - 1}{z - 1} = z + 1 = 2 + 2 i

= 2 \sqrt{2} (\cos \frac{π}{4} + i \sin \frac{π}{4})

だから
∠BAC=

\frac{π}{4}

になる．

三角形の面積は

S = \frac{1}{2} A B \cdot A C \sin \frac{π}{4}

ここでAB=|2i|=2, AC=2×

2 \sqrt{2} = 4 \sqrt{2}

だから

S = \frac{1}{2} \times 2 \times 4 \sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 4

【問題２】　

(1)
複素数zが|z|=2を満たすとき，複素数平面上の４点0, z, (1+i)z, 2izを頂点とする四角形の面積を求めよ．ただし，iは虚数単位とする．

（武蔵工業大2005年）

解答を見る

1 + i = \sqrt{2} (\cos \frac{π}{4} + i \sin \frac{π}{4})

だから，(1+i)zはzの大きさを

\sqrt{2}

倍して

\frac{π}{4}

回転したものになる．
　右図の△OABの面積は

S_{1} = \frac{1}{2} \times O A \times O B \times \sin \frac{π}{4}

= \frac{1}{2} \times 2 \times 2 \sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 2

2 i = 2 (\cos \frac{π}{2} + i \sin \frac{π}{2})

だから，2izはzの大きさを

2

倍して

\frac{π}{2}

回転したものになる．
　右図の△OBCの面積は

S_{2} = \frac{1}{2} \times O B \times O C \times \sin \frac{π}{4}

= \frac{1}{2} \times 2 \sqrt{2} \times 4 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 4

　合計で2+4=6

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