内分点の内分点

...(ＰＣ版)メニューに戻る
*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ 高卒・大学初年度
*** 単元 ***
複素数平面二次曲線媒介変数表示と極座標
数列の極限関数導関数不定積分定積分
行列 1次変換

※高校数学Ⅲの「複素数平面」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　が現在地です．

↓複素数平面

↓回転と拡大
↓点Ａの周りの回転
↓三角形の形状問題
↓ド・モアブルの定理
↓ド・モアブルの定理(入試問題)

↓複素数で表される軌跡の方程式
↓同(2)
↓複素数の１次結合が表す図形

↓内分点・外分点
↓２直線の交点
↓内分点の内分点-現在地
↓２直線の平行条件・垂直条件

↓複素数平面の入試問題1
↓複素数平面の入試問題2
↓複素数平面の入試問題3
複素数平面の入試問題4

== 内分点の内分点 ==

【内分点の公式】
　複素数平面において，２点A(z1 ), B(z2 )を結ぶ線分ABをp:qの比に内分する点を表す複素数は

qz1+pz2p+qnnnnnn

（解説）

図１

　図１のようになりますが，見かけの上で遠い方の比率を掛けたものが分子に来ます．

【内分点の内分点】
　複素数平面上に３点A(z1 ), B(z2 ), C(z3 )があるとき

z=.

pz1+qz2+rz3p+q+rnnnnnnnnn

とすると，
(1)

ABをq:pに内分する点をFとするとき，
zはCFを(q+p):rに内分する点になる．

(2)

BCをr:qに内分する点をDとするとき，
zはADを(q+r):pに内分する点になる．

(3)

CAをr:pに内分する点をEとするとき，
zはBEを(r+p):qに内分する点になる．

(*)

zはCF,AD, BEの交点を表す．

（解説）

図２

(1)

C:z3 , F:.

qz1+pz2p+qnnnnnn

だから

z=.

pz1+qz2+rz3p+q+rnnnnnnnnn=.

(q+p).

pz1+qz2q+pnnnnnn+rz3r+(q+p)nnnnnnnnnnnnnn

のように変形すると，zはCFを(q+p):rに内分する点を表すことがわかります．
(2)

A:z1 , D:.

qz2+rz3r+qnnnnnn

だから

z=.

pz1+qz2+rz3p+q+rnnnnnnnnn=.

pz1+(r+q).

qz2+rz3r+qnnnnnn(r+q)+pnnnnnnnnnnnnnn

のように変形すると，zはADを(r+q):pに内分する点を表すことがわかります．
(3)

B:z2 , E:.

pz1+rz3r+pnnnnnn

だから

z=.

pz1+qz2+rz3p+q+rnnnnnnnnn=.

qz2+(r+p).

pz1+rz3r+pnnnnnn(r+p)+qnnnnnnnnnnnnnn

のように変形すると，zはBEを(r+p):qに内分する点を表すことがわかります．

(*)
　(1)(2)(3)の結果から，zは３直線CF,AD, BEのいずれの上にもあるから，CF,AD, BEの交点を表す．

【例１】

図３

　右図３のように，複素数平面において，△ABCの頂点Aを表す複素数をz1，頂点Bを表す複素数をz2，頂点Cを表す複素数をz3とし，ABを2:3に内分する点をF，ACを3:4に内分する点をE，BEとCFの交点をPとする．
(1)Pを表す複素数をz1 , z2 , z3で表してください．
(2)BP:PE, CP:PFを求めてください．
(3)APの延長が線分BCと交わる点をDとするとき，CD:DB, AP:PDを求めてください．

（解答）

図４

(1)図４のように，FからBEに平行な線を引き，ACと交わる点をGとすると
AG:GE=2:3=8:12
AE:EC=4:5=20:25だから
AG:GE:EC=8:12:25
したがって
FP:PC=12:25

PはF(.

3z1+2z25nnnnnn) , C(z3)を12:25に内分する点だから

25.

3z1+2z25nnnnnn+12z337nnnnnnnnnnnnnn=.

15z1+10z2+12z337nnnnnnnnnnnnn…（答）

(2)(1)よりCP:PF=25:12…（答）
また

15z1+10z2+12z337nnnnnnnnnnnnn=.

27.

15z1+12z327nnnnnnnn+10z237nnnnnnnnnnnnnn

27.

5z1+4z39nnnnnn+10z237nnnnnnnnnnnnnn

と変形すると，

PはE(.

5z1+4z39nnnnnn) , B(z2)を10:27に内分する点であることがわかる．

BP:PE=27:10…（答）

(3)

15z1+10z2+12z337nnnnnnnnnnnnn=.

15z1+22.

10z2+12z322nnnnnnnn37nnnnnnnnnnnnnn

15z1+22.

5z2+6z311nnnnnn37nnnnnnnnnnnnnn

と変形すると，

PはA(z1) , D(.

5z2+6z39nnnnnn)を22:15に内分する点であることがわかる．

CD:DB=5:6…（答）
AP:PD=22:15…（答）

【問題１】

--図５--

　図５のように，複素数平面において，△ABCの頂点Aを表す複素数をz1，頂点Bを表す複素数をz2，頂点Cを表す複素数をz3とし，ABの中点をF，ACを2:3に内分する点をE，BEとCFの交点をPとする．

（以下，正しいものを選んでください．）
(1)Pを表す複素数をz1 , z2 , z3で表してください．
解説

z1+2z2+3z36nnnnnnnnn .

3z1+z2+2z36nnnnnnnnn

3z1+3z2+2z38nnnnnnnnnn .

2z1+3z2+3z38nnnnnnnnnn

右図のように，FからBEに平行な直線を引き，ACと交わる点をGとすると，
AG:GE=1:1, GE:EC=1:3
となるから
FP:PC=1:3
したがって

z1+z22nnnn+z34nnnnnnnn=.

3z1+3z2+2z38nnnnnnnnnn

(2)BP:PE, CP:PFを求めてください．
解説

BP:PE=3:2 BP:PE=4:3
BP:PE=5:3 BP:PE=5:4

3z1+3z2+2z38nnnnnnnnnn=.

3z2+5.

3z1+2z35nnnnnn8nnnnnnnnnnn

と変形できるから，PはB(z2 )とE(.

3z1+2z35nnnnnn)とを5:3に内分します．

解説

CP:PF=2:1 CP:PF=3:1
CP:PF=3:2 CP:PF=4:3

(1)の結果から，CP:PF=3:1です．

(3)APの延長が線分BCと交わる点をDとするとき，CD:DB, AP:PDを求めてください．解説

CD:DB=2:1 CD:DB=3:1
CD:DB=3:2 CD:DB=4:3

3z1+3z2+2z38nnnnnnnnnn=.

3z1+5.

3z2+2z35nnnnnn8nnnnnnnnnnn

と変形できるから，DはB(z2 )とC(z3 )とを2:3に内分します．（CD:DB=3:2）

解説

AP:PD=1:1 AP:PD=3:2
AP:PD=4:3 AP:PD=5:3

3z1+3z2+2z38nnnnnnnnnn=.

3z1+5.

3z2+2z35nnnnnn8nnnnnnnnnnn

から，PはA(z1 )とD(.

3z2+2z35nnnnnn)とを5:3に内分します．

【問題２】

--図６--

　図６のように，複素数平面において，△ABCの頂点Aを表す複素数をz1，頂点Bを表す複素数をz2，頂点Cを表す複素数をz3とし，ABを1:3に内分する点をF，ACを2:1に内分する点をE，BEとCFの交点をPとする．

（以下，正しいものを選んでください．）
(1)Pを表す複素数をz1 , z2 , z3で表してください．
解説

z1+3z2+6z310nnnnnnnnn .

z1+6z2+3z310nnnnnnnnn

3z1+z2+6z310nnnnnnnnnn .

3z1+6z2+z310nnnnnnnnnn

図のように，FからBEに平行な直線を引き，ACと交わる点をGとすると， AG:GE=1:3, AE:EC=2:1=4:2
だから
GE:EC=3:2
FP:PC=3:2
したがって

3z1+z24nnnnn+3z35nnnnnnnnnn=.

3z1+z2+6z310nnnnnnnnn

(2)BP:PE, CP:PFを求めてください．
解説

BP:PE=6:1 BP:PE=7:1
BP:PE=8:1 BP:PE=9:1

3z1+z2+6z310nnnnnnnnn=.

z2+9.

3z1+6z39nnnnnn10nnnnnnnnnnn

と変形できるから，PはB(z2 )とE(.

z1+2z33nnnnnn)とを9:1に内分します．

解説

CP:PF=2:3 CP:PF=2:5
CP:PF=3:4 CP:PF=4:5

(1)の結果から，CP:PF=2:3です．

(3)APの延長が線分BCと交わる点をDとするとき，CD:DB, AP:PDを求めてください．解説

CD:DB=1:6 CD:DB=1:7
CD:DB=1:8 CD:DB=1:9

3z1+z2+6z310nnnnnnnnnn=.

3z1+7.

1z2+6z37nnnnnn10nnnnnnnnnnn

と変形できるから，DはB(z2 )とC(z3 )とを6:1に内分します．（CD:DB=1:6）

解説

AP:PD=5:2 AP:PD=7:3
AP:PD=8:3 AP:PD=9:4

3z1+z2+6z310nnnnnnnnnn=.

3z1+7.

1z2+6z37nnnnnn10nnnnnnnnnnn

から，PはA(z1 )とD(.

1z2+6z37nnnnnn)とを7:3に内分します．

［注］直前にPC版から入られた場合は，自動転送でスマホ版に来ていますので，ブラウザの［戻るキー］では戻れません（堂々巡りになる）．下記のリンクを使ってメニューに戻ってください．

...（携帯版）メニューに戻る

...（PC版）メニューに戻る

■このサイト内のGoogle検索■

△このページの先頭に戻る△【アンケート送信】
… このアンケートは教材改善の参考にさせていただきます

■この頁について，良い所，悪い所，間違いの指摘，その他の感想があれば送信してください．

○文章の形をしている感想は全部読ませてもらっています．
○感想の内で，どの問題がどうであったかを正確な文章で伝えていただいた改善要望に対しては，可能な限り対応するようにしています．（※なお，攻撃的な文章になっている場合は，それを公開すると筆者だけでなく読者も読むことになりますので，採用しません．）

質問に対する回答の中学版はこの頁，高校版はこの頁にあります