ド・モアブルの定理

nが整数のとき
(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ
が成り立つ．

【例】
\( \displaystyle (\cos\frac{\pi}{6}+ i\sin\frac{\pi}{6})^3=\cos\frac{3\pi}{6}+ i\sin\frac{3\pi}{6} \)
\( \displaystyle =\cos\frac{\pi}{2}+ i\sin\frac{\pi}{2}=i \)
\( \displaystyle (1+ i)^{-5} \)→極形式に直す
\( \displaystyle =\Big\{\sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4})\Big\}^{-5} \)
\( \displaystyle =(\sqrt{2})^{-5}(\cos\frac{\pi}{4}+ i\sin\frac{\pi}{4})^{-5} \)
\( \displaystyle =\frac{1}{4\sqrt{2}}\Big\{\cos(\frac{-5\pi}{4})+ i\sin(\frac{-5\pi}{4})\Big\} \)
\( \displaystyle =\frac{1}{4\sqrt{2}}(\frac{-1}{\sqrt{2}}+ \frac{1}{\sqrt{2}}i) \)
\( \displaystyle =-\frac{1}{8}+ \frac{1}{8}i \)

【例題1.1】
\( \displaystyle z=1+\sqrt{3}i \)を極形式で表すと， である．これを用いると\( \displaystyle z^{12}= \) が計算される．

　元の問題は記述問題やマークシート問題です，このWeb教材では読者の操作性をよくするため選択問題にしています．正しい選択肢をクリックしてください．
　暗算ではできません．必ず計算用紙を使って十分考えてから選んでください．

(1)
虚数単位iに対し，\( \displaystyle \Bigl(\frac{1+ i}{\sqrt{3}+ i}\Bigr)^{12} \)の値を求めよ．

解説 やり直す

1 −1 64 −64 \( \displaystyle \frac{1}{64} \) \( \displaystyle -\frac{1}{64} \)

\( \displaystyle 1+ i=\sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4}+ i\sin\frac{\pi}{4}) \)
\( \displaystyle \sqrt{3}+ i=2(\cos\frac{\pi}{6}+ i\sin\frac{\pi}{6}) \)
だから
\( \displaystyle \frac{1+ i}{\sqrt{3}+ i}=\frac{\sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4}+ i\sin\frac{\pi}{4})}{2(\cos\frac{\pi}{6}+ i\sin\frac{\pi}{6})} \)
\( \displaystyle =\frac{1}{\sqrt{2}}\{\cos(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6})+ i\sin(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6})\} \)
\( \displaystyle =2^{-\frac{1}{2}}(\cos\frac{\pi}{12}+ i\sin\frac{\pi}{12}) \)
したがって
\( \displaystyle \Bigl(\frac{1+ i}{\sqrt{3}+ i}\Bigr)^{12}=\Big\{2^{-\frac{1}{2}}(\cos\frac{\pi}{12}+ i\sin\frac{\pi}{12})\Big\}^{12} \)
\( \displaystyle =2^{-6}(\cos\pi+ i\sin\pi)=\frac{1}{64}\times(-1)=-\frac{1}{64} \)
※\( \displaystyle \frac{1+ i}{\sqrt{3}+ i}=\frac{(1+ i)(\sqrt{3}-i)}{2}=\frac{(\sqrt{3}+ 1)+(\sqrt{3}-1)i}{2} \)
などと変形してしまうと偏角が分からなくなります

(2)
複素数\( \displaystyle \Bigl(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+ i}\Bigr)^{8} \)の実部は⑤，虚部は⑥である．ただし，iは虚数単位である．

解説 やり直す

\( \displaystyle \frac{1}{32} \) \( \displaystyle -\frac{1}{32} \) \( \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{32} \) \( \displaystyle -\frac{\sqrt{3}}{32} \)

極形式で表すと
\( \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}\!+\! i}\!=\!\frac{\sqrt{2}(\cos 0\!+\! i\sin 0)}{2(\cos \frac{\pi}{6}\!+\! i\sin\frac{\pi}{6})}\!=\!\frac{1}{\sqrt{2}}\{\cos(\!-\!\frac{\pi}{6})\!+\! i\sin(\!-\!\frac{\pi}{6})\} \)
だから
\( \displaystyle \Bigl(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+ i}\Bigr)^{8}=\left[\frac{1}{\sqrt{2}}\Big\{\cos(-\frac{\pi}{6})+ i\sin(-\frac{\pi}{6})\Big\}\right]^8 \)
\( \displaystyle =\frac{1}{16}\Big\{\cos(-\frac{8\pi}{6})+ i\sin(-\frac{8\pi}{6})\Big\} \)
\( \displaystyle =\frac{1}{16}(-\frac{1}{2}+ \frac{\sqrt{3}}{2}i)=-\frac{1}{32}+ \frac{\sqrt{3}}{32}i \)
実部は\( \displaystyle -\frac{1}{32} \)

解説 やり直す

\( \displaystyle \frac{1}{32} \) \( \displaystyle \frac{1}{32}i \) \( \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{32} \) \( \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{32}i \)

\( \displaystyle -\frac{1}{32}+ \frac{\sqrt{3}}{32}i \)の虚部は\( \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{32} \)

(3)
複素数\( \displaystyle \alpha=\frac{\sqrt{3}+ i}{\sqrt{3}-i} \)に対して，\( \displaystyle \beta=\alpha^3 \)，
\( \displaystyle \gamma=\alpha+ \alpha^2+ \alpha^3+ \cdots + \alpha^{100} \) とするとき，\( \displaystyle \beta \)と\( \displaystyle \gamma \)をそれぞれ極形式で表せ．

解説 やり直す

\( \displaystyle \cos\frac{\pi}{3}+ i\sin\frac{\pi}{3} \) \( \displaystyle 2(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}) \) \( \displaystyle \sqrt{3}(\cos\frac{5\pi}{6}+ i\sin\frac{5\pi}{6}) \) \( \displaystyle \cos\pi+i\sin\pi \) \( \displaystyle \sqrt{3}(\cos\frac{3\pi}{2}+ i\sin\frac{3\pi}{2}) \)

\( \displaystyle \alpha=\frac{\sqrt{3}+ i}{\sqrt{3}-i}=\frac{2(\cos\frac{\pi}{6}+ i\sin\frac{\pi}{6})}{2\{\cos(-\frac{\pi}{6})+ i\sin(-\frac{\pi}{6})\}} \)
\( \displaystyle =\cos\{\frac{\pi}{6}-(-\frac{\pi}{6})\}+ i\sin\{\frac{\pi}{6}-(-\frac{\pi}{6})\} \)
\( \displaystyle =\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3} \)
\( \displaystyle \beta=\alpha^3=\cos\pi+ i\sin\pi \)

解説 やり直す

\( \displaystyle \cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3} \) \( \displaystyle 2(\cos\frac{2\pi}{3}+ i\sin\frac{2\pi}{3}) \) \( \displaystyle \sqrt{3}(\cos\frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6}) \) \( \displaystyle \cos\pi+ i\sin\pi \) \( \displaystyle \sqrt{3}(\cos\frac{3\pi}{2}+ i\sin\frac{3\pi}{2}) \)

\( \displaystyle \gamma=\alpha+ \alpha^2+ \alpha^3+ \cdots + \alpha^{100} \)
は，初項α，公比α (≠1)，項数100の等比数列の和だから
\( \displaystyle \gamma=\frac{\alpha(\alpha^{100}-1)}{\alpha-1} \)
\( \displaystyle \alpha=\cos\frac{\pi}{3}+ i\sin\frac{\pi}{3} \)
\( \displaystyle \alpha^{100}-1=\cos\frac{100\pi}{3}+ i\sin\frac{100\pi}{3}-1 \)
\( \displaystyle =\cos\frac{4\pi}{3}+ i\sin\frac{4\pi}{3}-1=-\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i \)
\( \displaystyle =\sqrt{3}(-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i) \)
\( \displaystyle =\sqrt{3}(\cos\frac{7\pi}{6}+i\sin\frac{7\pi}{6}) \)
\( \displaystyle \alpha-1=\frac{1}{2}+ \frac{\sqrt{3}}{2}i-1=-\frac{1}{2}+ \frac{\sqrt{3}}{2}i \)
\( \displaystyle =\cos\frac{2\pi}{3}+ i\sin\frac{2\pi}{3} \)
このとき
\( \displaystyle \gamma=\frac{(\cos\frac{\pi}{3}+ i\sin\frac{\pi}{3})\sqrt{3}(\cos\frac{7\pi}{6}+ i\sin\frac{7\pi}{6})}{\cos\frac{2\pi}{3}+ i\sin\frac{2\pi}{3}} \)
\( \displaystyle =\sqrt{3}\{\cos(\frac{\pi}{3}+\frac{7\pi}{6}-\frac{2\pi}{3})+ i\sin(\frac{\pi}{3}+\frac{7\pi}{6}-\frac{2\pi}{3})\} \)
\( \displaystyle =\sqrt{3}(\cos\frac{5\pi}{6}+ i\sin\frac{5\pi}{6}) \)

　元の問題は記述問題やマークシート問題です，このWeb教材では読者の操作性をよくするため選択問題にしています．正しい選択肢をクリックしてください．
　暗算ではできません．必ず計算用紙を使って十分考えてから選んでください．

2.1
複素数zは実部が\( \displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{4} \)，虚部は正で|z|=1である．
(1) \( \displaystyle \Bigl(z+\frac{1}{z}\Bigr)^2+\Bigl(z+\frac{1}{z}\Bigr) \)の値を求めよ．
(2) \( \displaystyle 1+ z+ z^2+ z^3+ z^4 \)の値を求めよ．
(3) zの偏角θを求めよ．ただし，0≦θ<2πとする．

解説 やり直す

−2 −1 0 1 2 3

\( \displaystyle z=\frac{\sqrt{5}-1}{4}+ bi \)（bは実数）とおくと\( \displaystyle \bar{z}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}-bi \)
このとき
\( \displaystyle z+\frac{1}{z}=z+\frac{\bar{z}}{z\bar{z}} \)
ここで|z|=1であるから\( \displaystyle z\bar{z}=1 \)
\( \displaystyle z+\frac{1}{z}=z+\frac{\bar{z}}{z\bar{z}}=z+\bar{z}=\frac{\sqrt{5}-1}{2} \)
\( \displaystyle \Bigl(z+\frac{1}{z}\Bigr)^2+\Bigl(z+\frac{1}{z}\Bigr)=\Bigl(z+\frac{1}{z}\Bigr)\Bigl(z+\frac{1}{z}+ 1\Bigr) \)
\( \displaystyle =\frac{\sqrt{5}-1}{2}\cdot\frac{\sqrt{5}%2B1}{2}=\frac{5-1}{4}=1 \)

解説 やり直す

−2 −1 0 1 2 3

(1)の結果から
\( \displaystyle \Bigl(z+\frac{1}{z}\Bigr)^2+\Bigl(z+\frac{1}{z}\Bigr)=1 \)
の両辺に\( \displaystyle z^2\hspace{5px}(\ne 0) \)を掛けると
\( \displaystyle z^4+ 2z^2+ 1+ z^3+ z=z^2 \)
\( \displaystyle z^4+ z^3+ z^2+ z+ 1=0 \)

解説 やり直す

\( \displaystyle \frac{\pi}{5} \) \( \displaystyle \frac{2\pi}{5} \) \( \displaystyle \frac{3\pi}{5} \) \( \displaystyle \frac{4\pi}{5} \)

(2)の結果から
\( \displaystyle 1+ z+ z^2+ z^3+ z^4=0 \)
この式は初項1，公比z (≠1)，項数5の等比数列の和だから次の形に書ける．
\( \displaystyle \frac{z^5-1}{z-1}=0 \)
したがってz5=1
ここでz=cosθ+isinθとおくと
\( \displaystyle z^5=\cos 5\theta+ i\sin 5\theta=1 \)
0≦θ<2πで実部，虚部とも正だから0<θ<\( \displaystyle \frac{\pi}{2} \)
したがって0<5θ<\( \displaystyle \frac{5\pi}{2} \)
この範囲で5θ=2kπ（kは整数）となるのは
\( \displaystyle 5\theta=2\pi \)
\( \displaystyle \theta=\frac{2\pi}{5} \)

2.2
iを虚数単位とし，\( \displaystyle z=\cos\frac{2\pi}{5}+ i\sin\frac{2\pi}{5} \)とおく．
(1) \( \displaystyle z^5 \)および\( \displaystyle z^4+ z^3+ z^2+ z+ 1 \)の値を求めよ．
(2) \( \displaystyle t=z+ \frac{1}{z} \)とおく．\( \displaystyle t^2+ t \)の値を求めよ．
(3) \( \displaystyle \cos \frac{2\pi}{5} \)の値を求めよ．
(4) 半径1の円に内接する正五角形の１辺の長さの２乗を求めよ．

解説 やり直す

−2 −1 0 1 2 3

ド・モアブルの定理により
\( \displaystyle z^5=\cos 2\pi+ i\sin 2\pi=1 \)

解説 やり直す

−2 −1 0 1 2 3

\( \displaystyle 1+ z+ z^2+ z^3+ z^4 \)は，初項1，公比z (≠1)，項数5の等比数列の和だから
\( \displaystyle 1+ z+ z^2+ z^3+ z^4=\frac{z^5-1}{z-1} \)
上記の結果から\( \displaystyle z^5=1 \)だから
\( \displaystyle 1+ z+ z^2+ z^3+ z^4=\frac{z^5-1}{z-1}=0 \)

解説 やり直す

−2 −1 0 1 2 3

\( \displaystyle z^4+ z^3+ z^2+ z+ 1=0 \)の両辺を\( \displaystyle z^2\hspace{5px}(\ne 0) \)で割ると
\( \displaystyle z^2+ z+ 1+ \frac{1}{z}+ \frac{1}{z^2}=0 \)…(*1)
\( \displaystyle t=z+\frac{1}{z} \)とおくと
\( \displaystyle t^2+ t=(z+ \frac{1}{z})^2+(z+ \frac{1}{z}) \)
\( \displaystyle =z^2+ 2+ \frac{1}{z^2}+ z+ \frac{1}{z} \)
\( \displaystyle =(z^2+ z+ 1+ \frac{1}{z}+ \frac{1}{z^2})+ 1=1 \)

解説 やり直す

\( \displaystyle \frac{-1-\sqrt{5}}{2} \) \( \displaystyle \frac{-1+\sqrt{5}}{2} \) \( \displaystyle \frac{-1-\sqrt{5}}{4} \) \( \displaystyle \frac{-1+ \sqrt{5}}{4} \)

\( \displaystyle t^2+ t=1 \)より解の公式を用いると
\( \displaystyle t=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2} \)
また
\( \displaystyle t=z+ \frac{1}{z}=z+\frac{\bar{z}}{z\bar{z}}=z+ \bar{z}=2\cos\frac{2\pi}{5}\gt 0 \)
だから
\( \displaystyle t=\frac{-1+ \sqrt{5}}{2}=2\cos\frac{2\pi}{5} \)
よって
\( \displaystyle \cos\frac{2\pi}{5}=\frac{-1+\sqrt{5}}{4} \)

解説 やり直す

\( \displaystyle \frac{-1+\sqrt{5}}{2} \) \( \displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2} \) \( \displaystyle \frac{5-\sqrt{5}}{2} \) \( \displaystyle \frac{5+ \sqrt{5}}{2} \)

正五角形の１辺の長さをLとおくと，余弦定理により
\( \displaystyle L^2=1^2+ 1^2-2\times 1\times 1\times \cos \frac{2\pi}{5} \)
\( \displaystyle =2-\frac{-1+ \sqrt{5}}{2}=\frac{5-\sqrt{5}}{2} \)

問題2.1(福岡教育大2016年の問題)の(2)ですが、答えは0なのに、0をクリックすると×になり、-1をクリックすると〇になります。 ミスではないでしょうか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．

２−２（４）の解答について確認をお願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．百里の道は九十九里が半ばと言われ，九十九里になると判で押したように疲れが出るのは歳のせいか．訂正しました．

丁寧な作り、びっくりします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．連絡をもらうとその頁を見るようにしていますが，ブラウザ(IEなど)によっては空欄の枠が表示されない場合があるようですので，ついでに訂正しておきました．