回転と拡大

■回転と拡大

【単位円上の複素数の積→偏角は和になる】
(cosα+i sinα)(cosβ+i sinβ)
=cos(α+β)+i sin(α+β)…(1)

（解説）
(cosα+i sinα)(cosβ+i sinβ)
=cosα.cosβ+i.cosα.sinβ+i.sinα.cosβ+i2.sinα.sinβ
=(cosα.cosβ−sinα.sinβ)+i(cosα.sinβ+sinα.cosβ)
ここで三角関数の加法定理を用いると
cos(α+β)+i sin(α+β)
になる．

【単位円上の複素数の商→偏角は差になる】

=cos(α−β)+i sin(α−β)…(2)

（解説）

の分母と分子に分母の共役複素数cosβ−i sinβを掛けて，分母を実数に変える．

分母はcos2β+sin2β=1になるから
=cosα.cosβ+sinα.sinβ+i（sinα.cosβ−cosα.sinβ) ここで三角関数の加法定理を用いると
cos(α−β)+i.sin(α−β)
になる．

【問題１】
　次の複素数を求めてください．

(1)(cos+i sin )(cos+i sin )

1 −1 i −i
解説

偏角の和を求めます．

cos+i sin=i…（答）

(2)(cos+i sin )(cos−i sin )

+i −i −+i −−i

解説

公式が適用できるように，a+biの形にします．
そのとき，sin(−θ)=−sinθ, cos(−θ)=cosθとなることに注意します．

(cos+i sin )(cos(−)+i sin(− ))

そこで，偏角の和を求めます．

+(− )=

cos+i sin=+i…（答）

(3)(cos+i sin )2

1 −1 i −i
解説

(cos+i sin )2=(cos+i sin )(cos+i sin )

=cos+i sin=i

この頁ではまだ取り上げていないが，次のド・モアブルの定理を使ってもよい．
(cosθ+i sinθ)n=cos nθ+i sin nθ（nは整数）
これにより

2×=

cos+i sin=i…（答）

(4)

+i −i −+i −−i

解説

偏角の差を求めます．

−=−

cos(− )+i sin(− )=−i…（答）

■複素数の極形式

複素数の２通りの表し方
(1)　（実部）＋i（虚部）　の形
(2)　絶対値×（cosθ+i sinθ）　の形（←これが極形式）

図４

○右図４のように，半径rの円を描くと

sinθ=

cosθ=

だから

x=r.cosθ
y=r.sinθ

になります．
したがって，

x+yi=r.cosθ+ir.sinθ=r(cosθ+i.sinθ)

という形で書くことができます．

○x+yiをr(cosθ+i.sinθ)に直すときは，

によって，絶対値rを求めることができます．

○複素数の絶対値（大きさ）は，その複素数の原点からの距離を表しています．

【例】

右図の赤で示した点が表す複素数は

5(cos+i sin)

=5(+i)

=+i

■複素数の積商の図形的な意味

【複素数の掛け算は回転・拡大】

複素数z1=r1(cosθ1+sinθ1)にz2=r2(cosθ2+sinθ2)を掛けると

z1z2=r1r2(cos(θ1+θ2)+sin(θ1+θ2))

となるので，これらの積は元の複素数z1の大きさr1をr2倍し，偏角θ1にθ2を加えたものになります．
このように，偏角θ2，大きさr2の複素数を掛けると，これらで表される角度と大きさだけ「回転と拡大」を行うことになります．

【例１】

2(cos+i sin)

は，絶対値が2で偏角がの複素数（青丸）

これに

(cos+i sin)

を掛けると，

回転して，

倍したものになる（赤丸）

2(cos+i sin)×(cos+i sin)

=2(cos+i sin)=2i

【例２】
3=3(cos0+i sin0)は，絶対値が3で偏角が0の複素数（青丸）

これに

i=cos+i sinを掛けると，

回転したものになる（赤丸：3i）

さらに，iを掛けると，回転したものになる（緑丸：−3）

さらに，iを掛けると，回転したものになる（茶丸：−3i）

さらに，iを掛けると，回転したものになる（青丸：3）

【複素数の割り算は逆回転・縮小】

複素数z1=r1(cosθ1+sinθ1)をz2=r2(cosθ2+sinθ2)で割ると

==(cos(α−β)+i.sin(α−β)) ←(4)

となるので，この商は元の複素数z1の大きさr1をr2で割り，偏角θ1からθ2を引いたものになります．
このように，偏角θ2，大きさr2の複素数で割ると，これらで表される角度と大きさだけ「逆回転と縮小」を行うことになります．

【例１】
8(cos+i sin)=4+4iは，

絶対値が8で偏角がの複素数（青丸）

これを

2(cos+i sin)=2iで割ると，

時計回りに回転して，絶対値を半分にしたものになる．

（赤丸：）

==−2i+2=2−2i

さらに，2iで割ると，時計回りに回転して，絶対値を半分にしたものになる．
（緑丸：−−i）

【問題２】

(1)次の図において，青で示した点は複素数

z1=2(cos+i sin )

を表しています．
　もう一つの複素数を

z2=(cos+i sin )

とするとき，これらの積z1z2を次の複素数平面上で示してください．

解説

　z1，z2の絶対値は各々2，だから

z1z2の絶対値は2×=4

　z1，z1の偏角は各々だから

z1z2の偏角は+=

になります．
　したがって，

z1z2=4(cos+i sin )=4i

をポイントします．

(2)次の図において，青で示した点は複素数

z1=2(cos+i sin )

を表しています．
　もう一つの複素数を

z2=cos−i sin

とするとき，これらの積z1z2を次の複素数平面上で示してください．

解説

　sin(−θ)=−sinθ, cos(−θ)=cosθだから

　z2=cos(− )+i sin(− )と書ける．

　z1，z2の絶対値は各々2，1だから

z1z2の絶対値は2×1=2

　z1，z1の偏角は各々, −だから

z1z2の偏角は−=−

になります．
　したがって，

z1z2=2(cos(− )+i sin(− )=2−2i

をポイントします．

(3)次の図において，赤で示した点は複素数

z1=3(cos+i sin )

を表しています．
　もう一つの複素数を

z2=3(cos+i sin )

とするとき，これらの商を次の複素数平面上で示してください．

解説

　z1，z2の絶対値は各々3，3だから

の絶対値は=

　z1，z1の偏角は各々, だから

の偏角は−=

になります．
　したがって，

=(cos+i sin )=1+i

をポイントします．

(4)次の図において，赤で示した点は複素数

z1=3(cos+i sin )

を表しています．
　もう一つの複素数を

z2=(cos−i sin )

とするとき，これらの商を次の複素数平面上で示してください．

解説

　sin(−θ)=−sinθ, cos(−θ)=cosθだから

　z2=(cos(− )+i sin(− )と書ける．

　z1，z2の絶対値は各々3，だから

の絶対値は=3

　z1，z1の偏角は各々, −だから

の偏角は−(− )=

になります．
　したがって，

=3(cos+i sin )=−3i

をポイントします．

【問題３】　♪～クロスワード・パズル風～軽く明るく！♪

○はじめに空欄を１つクリックし，続いてその空欄に入る複素数を下の選択肢から選んで１つクリックしてください．
○正しければ代入されます．
○間違っていれば解説を読むことができます．

レベル1

$\cos\frac{\pi}{6}+ i\sin\frac{\pi}{6}$		$2(\cos\frac{\pi}{4}+ i\sin\frac{\pi}{4})$

$3(\cos\frac{\pi}{3}+ i\sin\frac{\pi}{3})$		$2(\cos\frac{\pi}{2}+ i\sin\frac{\pi}{2})$

［選択肢］
$3(\cos\frac{\pi}{3}+ i\sin\frac{\pi}{3})$ $2(\cos\frac{5\pi}{12}+ i\sin\frac{5\pi}{12})$ $2(\cos\frac{2\pi}{3}+ i\sin\frac{2\pi}{3})$

$3(\cos\frac{\pi}{2}+ i\sin\frac{\pi}{2})$ $4(\cos\frac{3\pi}{4}+ i\sin\frac{3\pi}{4})$ $6(\cos\frac{7\pi}{12}+ i\sin\frac{7\pi}{12})$

$6(\cos\frac{5\pi}{6}+ i\sin\frac{5\pi}{6})$ $12(\cos\frac{5\pi}{4}+ i\sin\frac{5\pi}{4})$ $24(\cos\frac{4\pi}{3}+ i\sin\frac{4\pi}{3})$
解説

レベル2

$6(\cos\frac{2\pi}{3}+ i\sin\frac{2\pi}{3}$		$3(\cos\frac{\pi}{4}+ i\sin\frac{\pi}{4})$

$2(\cos\frac{\pi}{3}+ i\sin\frac{\pi}{3})$		$(\cos\frac{\pi}{6}+ i\sin\frac{\pi}{6})$

［選択肢］
$(\cos\frac{\pi}{12}+ i\sin\frac{\pi}{12})$ $3(\cos\frac{\pi}{12}+ i\sin\frac{\pi}{12})$ $2(\cos\frac{\pi}{6}+ i\sin\frac{\pi}{6})$

$3(\cos\frac{\pi}{6}+ i\sin\frac{\pi}{6})$ $(\cos\frac{\pi}{4}+ i\sin\frac{\pi}{4})$ $3(\cos\frac{\pi}{3}+ i\sin\frac{\pi}{3})$

$2(\cos\frac{5\pi}{12}+ i\sin\frac{5\pi}{12})$ $(\cos\frac{\pi}{2}+ i\sin\frac{\pi}{2})$ $(\cos\frac{7\pi}{12}+ i\sin\frac{7\pi}{12})$
解説

レベル3

$(\cos\frac{\pi}{4}+ i\sin\frac{\pi}{4})$				$6(\cos\frac{\pi}{2}+ i\sin\frac{\pi}{2})$



$(\cos\frac{\pi}{6}+ i\sin\frac{\pi}{6})$				$2(\cos\frac{\pi}{3}+ i\sin\frac{\pi}{3})$

［選択肢］
$(\cos\frac{\pi}{12}+ i\sin\frac{\pi}{12})$ $3(\cos\frac{\pi}{12}+ i\sin\frac{\pi}{12})$ $2(\cos\frac{\pi}{6}+ i\sin\frac{\pi}{6})$

$3(\cos\frac{\pi}{6}+ i\sin\frac{\pi}{6})$ $2(\cos\frac{\pi}{4}+ i\sin\frac{\pi}{4})$ $6(\cos\frac{\pi}{4}+ i\sin\frac{\pi}{4})$

$2(\cos\frac{\pi}{3}+ i\sin\frac{\pi}{3})$ $(\cos\frac{\pi}{2}+ i\sin\frac{\pi}{2})$ $6(\cos\frac{2\pi}{3}+ i\sin\frac{2\pi}{3})$
解説

レベル4

$(-3+ 3\sqrt{3}i)$				$-18$

$\frac{1+ \sqrt{3}i}{2}$

				$9(\cos\frac{5\pi}{12}+ i\sin\frac{5\pi}{12})$

［選択肢］
$\frac{2}{3}(\cos\frac{\pi}{12}+ i\sin\frac{\pi}{12})$ $\frac{3}{2}(\cos\frac{\pi}{12}+ i\sin\frac{\pi}{12})$ $3(\cos\frac{\pi}{6}+ i\sin\frac{\pi}{6})$

$2(\cos\frac{\pi}{4}+ i\sin\frac{\pi}{4})$ $2(\cos\frac{5\pi}{12}+ i\sin\frac{5\pi}{12})$ $3(\cos\frac{5\pi}{12}+ i\sin\frac{5\pi}{12})$

$3(\cos\frac{\pi}{3}+ i\sin\frac{\pi}{3})$ $6(\cos\frac{\pi}{3}+ i\sin\frac{\pi}{3})$ $2(\cos\frac{7\pi}{12}+ i\sin\frac{7\pi}{12})$
解説

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■［個別の頁からの質問に対する回答］[回転と拡大について／17.1.5］

問題2-3は1-iではないでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．画面上のHelpを見てください．