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== 点Ａの周りの回転 ==
【複素数の極形式】
　２つの複素数を極形式で表したとき，それらの積は回転・拡大を表す．
　すなわち
z1=r1(cosθ1+i sinθ1)
z2=r2(cosθ2+i sinθ2)
のとき
z1z2=r1r2{ cos(θ1+θ2)+i sin(θ1+θ2) }となるから
z1z2はz1をr2倍して，角θ2だけ回転したものを表す．
z1z2はz2をr1倍して，角θ1だけ回転したものを表すと考えてもよい．
図１
　特に，絶対値が1の複素数を掛けると，原点の周りに回転したものを表す．
z1=r1(cosθ1+i sinθ1)
z2=cosθ2+i sinθ2
のとき
z1z2=r1{ cos(θ1+θ2)+i sin(θ1+θ2) }となる．
【例１】
z1=1+i=(cos+i sin)
z2=2i=2(cos+i sin)
のとき
z1z2=2i(1+i)=−2+2i=2{ cos+i sin }
となるから
z1z2はz1を2倍して，角だけ回転したものを表す．
図２
【例２】
z1=1+i=2(cos+i sin)
z2=i=cos+i sin
のとき
z1z2=i(1+i)=−+i=2{ cos+i sin }
となるから
z1z2はz1を，角だけ回転したものを表す．

【点αの周りの回転】
　点zを点αの周りに角θだけ回転した点wは
w=(z−α)(cosθ+i sinθ)+α
（解説）
(1)　初めに，点αと点zをいずれも−αだけ平行移動すると，点αは原点に，点zは点z−αにきます．
(2)　次に，z−αを原点の周りに角θだけ回転すると
(z−α)(cosθ+i sinθ)
になります．
(3)　最後に，この点を+αだけ平行移動すると，回転した点が得られます．
w=(z−α)(cosθ+i sinθ)+α
図３
【例３】
点z=3を点α=1の周りにθ=だけ回転して得られる点wは
w=(3−1)(cos+i sin)+1
=2(+i)+1=1+i+1=2+i

【三角形の形状】
　A(z1 ), B(z2 ), C(z3 )について
z3−z1=(z2−z1)×r(cosθ+i sinθ)…(1)
もしくは
=r(cosθ+i sinθ)…(2)
のとき
AC=AB×r
∠BAC=θ
図４

【例４】
　複素数平面上に３点A, B, Cが反時計回りの順に並んでいる．A(−1+2i), B(1−i), C(z)とするとき，△ABCが∠A=90°の直角二等辺三角形となるようにzを定めてください．
（解答）
図５
　Aの周りにABを90°だけ回転したときACに重なるから，
z−(−1+2i)={ 1−i−(−1+2i) }×(cos90°+i sin90°)
={ 1−i+1−2i) }×i=(2−3i)×i=3+2i
z=3+2i−1+2i=2+4i…（答）
【例５】
　複素数平面上に３点A, B, Cが反時計回りの順に並んでいる．A(1), B(2+i), C(z)とするとき，△ABCが∠A=30°, AB=ACの二等辺三角形となるようにzを定めてください．
（解答）
図６
　Aの周りにABを30°だけ回転したときACに重なるから，
z−1=(2+i−1)×(cos30°+i sin30°)
=(1+i)×=2i
z=1+2i…（答）

【問題】各々正しいものを選んでください．
(1)点+iを点2iの周りに30°だけ回転すると，どんな点に移されますか．

1+i +i 2+2i 2+i
(2)原点を点3+iの周りに90°だけ回転すると，どんな点に移されますか．

3−i 3+i 4−2i 4+2i
(3)複素数平面上に３点A, B, Cが反時計回りの順に並んでいる．A(−1+2i), B(3+i), C(z)とするとき，△ABCがABを斜辺とする直角二等辺三角形となるようにzを定めてください．
(5)複素数平面上で３点A(z1 ), B(z2 ), C(z3 )について，z3−z1=(z2−z1)(1+i)が成り立つとき，△ABCはどのような形の三角形ですか．


∠A=90°の直角二等辺三角形
∠B=90°の直角二等辺三角形
∠C=90°の直角二等辺三角形
正三角形

［注］直前にPC版から入られた場合は，自動転送でスマホ版に来ていますので，ブラウザの［戻るキー］では戻れません（堂々巡りになる）．下記のリンクを使ってメニューに戻ってください．
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■［個別の頁からの質問に対する回答］[点Ａの周りの回転について／16.12.7］
点αの周りの回転、最後の＋αを知らないで覚えてました どうりで合わないわけだ ありがとうございました
＝＞［作者］：連絡ありがとう．
■［個別の頁からの質問に対する回答］[点Ａの周りの回転について／16.11.18］
様々な解説をお読みさせて頂きました。 とても分かりやすく、いい解説でした。 ここからは要望です。 カリキュラム上この順番なのかも知れませんが、出来れば「回転と拡大」のページの後に入れた方が理解が楽かも知れません。 お願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．やや応用問題ということで，深い考えもなく後ろの方に配置していましたが，内容のまとまりという点からはご指摘の通りですので訂正しました．