■複素数の１次結合が表す図形
【要点１】
　異なる２つの複素数z1 , z2が与えられていて，実数p, qが
p+q=1, p≧0, q≧0
の条件を満たしながら変化するとき，
z=pz1+qz2
で示される点は，２点z1 , z2を結ぶ線分になる．
（解説）
　右図１のように，複素数z1に実数pを掛けたものpz1は，z1を同じ方向にp倍した点になります．
p>0のときは同じ向きに，p<0のときは逆向きになります．また，p>1ならば拡大，0<p<1ならば縮小になります．
　右図２のように，２つの複素数z1 , z2の和z1+z2は，ベクトルの和と同様に図示することができます．すなわち，
1) 平行四辺形の対角線で考える方法
原点とz1 , z2から．平行四辺形を作り，その対角線が和になる．
2) 三角形で考える方法
まず，原点からz1まで移動し，z2で表される分の移動を継ぎ足す．
　右図３のように，２つの複素数z1 , z2の差z2−z1は，ベクトルの差と同様に図示することができます．すなわち，z1からz2に向かうものとなります．
z2−z1によってできる複素数は，「（終点）−（始点）」の形になっています．向きを逆に覚えてしまう人が結構多いので，気をつけましょう．
複素数は，ベクトルで言えば「位置ベクトル」に対応しており，得られた複素数z2−z1を表す点は，右図赤丸のように原点からz2−z1だけ移動した点になります．
≪要点１の解説≫
z=pz1+qz2（p+q=1, p≧0, q≧0）
を書き換えると
z=pz1+qz2（p=1−q, 0≦p≦1, 0≦q≦1）
z=(1−q)z1+qz2（0≦q≦1）
z=z1+q(z2−z1)（0≦q≦1）
となるから，右図４のように，まずz1まで進み，次にz2−z1を0≦q≦1倍だけ足したものになります．q=0のとき点z1を,q=1のとき点z2を表し,その間の値ではz1，z2の間の点を表します．
z=pz1+qz2（p+q=1, p≧0, q≧0）
で表される複素数は，線分z1z2に埋め込まれたものを表しているのでなく，原点から線分z1，z2上の１点に向かっていることに注意
なお，
z=pz1+qz2（p+q=1, p>0, q>0）
となるときは，両端を含まない線分z1z2なります．
z=pz1+qz2（p+q=1）
だけの場合は，直線z1z2なります．（右図５）
（要点１の別の考え方）
z=pz1+qz2（p+q=1, p>0, q>0）
のとき，p+q=1だから，
z=
と書ける．これは，z1, z2をq:p=q:(1−q)に内分する点を表している．qが0<q<1の範囲で変化するとき，この値はz1z2間にある点を表す．q=0, 1のときは，元の式から線分の両端z1, z2になることがわかる．
図１
図２
図３
図４
図５
【例１】
　異なる２つの複素数z1 , z2が与えられていて，実数p, qが
p+q=, p≧0, q≧0
の条件を満たしながら変化するとき，
z=pz1+qz2
で示される点は，どのような図形を描くか？
（解答）
p+q= → p=−qを代入すると
z=(−q)z1+qz2=z1+q(z2−z1) …(A)
ただし，
p=−q≧0, q≧0より0≦q≦ …(B)
(A)(B)より，次の図の青で示した線分（両端を含む）
（別解）
z=(p+q)=, p≧0, q≧0
と変形できるから，z1 , z2の内分点（上図の茶色の部分）の絶対値を半分にしたもの．青で示した線分（両端を含む）
【例２】
　異なる２つの複素数z1 , z2が与えられていて，実数p, qが
p+q<1, p>0, q>0
の条件を満たしながら変化するとき，
z=pz1+qz2
で示される点は，どのような図形を描くか？
（解答）
z=(p+q), p>0, q>0
と変形できるから，z1 , z2の内分点を縮小（p+q<1）したもの．
すなわち，三角形O, z1 , z2の内部（周上は含まない）
【問題１】異なる２つの複素数z1 , z2が与えられていて，実数p, qが下の問題に示された条件を満たしながら変化するとき，複素数
z=pz1+qz2
が描く図形を求めてください．
　直線や線分については赤で示した部分，領域については桃色で示した部分とし，すべて境界線や端点を含まないものとします．
はじめに問題を選び，続いて右の図形を選んでください．誤答となってやり直すときは，問題を選び直すことから始めてください．











【要点２】
　１直線上にない異なる３つの複素数z1 , z2 , z3が与えられていて，実数p, q, rが
p+q+r=1, p≧0, q≧0, r≧0
の条件を満たしながら変化するとき，
z=pz1+qz2+rz3
で示される点は，３点z1 , z2 , z3で作られる三角形の内部および周上になる．
（解説）
z=pz1+qz2+rz3 (p+q+r=1, p≧0, q≧0, r≧0)
だから
z=pz1+qz2+rz3 (p=1−q−r≧0, q≧0, r≧0)
pを消去すると
z=(1−q−r)z1+qz2+rz3 (q+r≦1, q≧0, r≧0)
z=z1+q(z2−z1)+r(z3−z1) (q+r≦1, q≧0, r≧0)
となるから，上の【例２】を参考にすると，まずz1まで進み，次にz2−z1，z3−z1を２辺とする三角形の内部および周上を指すことが分かる．
※z=pz1+qz2+rz3
(p+q+r=1, q>0)
(p+q+r=1, q<0)
の場合は
z=z1+q(z2−z1)+r(z3−z1)
(q>0)
(q<0)
となるから，各々右図のような領域を表す．
p+q+r=1は，何の役に立っているのか？
一般に，ある複素数zを，与えられた（直線上にはない）３個の複素数z1 , z2 , z3を使って，
z=pz1+qz2+rz3
のように表す方法は，ただ１通りには定まらず，何通りにでも表すことができる．（p,q,rを定めるための方程式と見たときは，不定解を持つ）
すなわち
z1=a+bi, z2=c+di, z3=e+fi, z=g+hi
のとき
pa+qc+re=g …(1)
pb+qd+rf=h …(2)
となる実数p,q,rは，未知数が３個であるのに対して，方程式が２個しかないため，ただ１通りには定まらない．
　例えば，複素数0を３つの複素数1, i , −1で表す方法は
1×1+1×(−1)+0i=0
でも成り立ち
2×1+2×(−1)+0i=0
でも成り立つ．
　これに対して，
p+q+r=1 …(3)
という条件を追加しておくと，自由度が１だけ減って方程式が３個になるので，p,q,rはただ１通りに定まる．
※z=pz1+qz2+rz3
(p+q+r=1, r>0)
(p+q+r=1, r<0)
の場合は
z=z1+q(z2−z1)+r(z3−z1)
(r>0)
(r<0)
となるから，各々右図のような領域を表す．
※z=pz1+qz2+rz3
(p+q+r=1, p>0)
(p+q+r=1, p<0)
の場合は
z=pz1+qz2+(1−p−q)z3 (r=1−p−q)
z=z3+p(z1−z3)+q(z2−z3)
(p>0)
(p<0)
と変形できるから，各々右図のような領域を表す．
【例３】
　１直線上にない異なる３つの複素数z1 , z2 , z3が与えられていて，実数p, q, rが
p+q+r=1, q>0, r<0
の条件を満たしながら変化するとき，
z=pz1+qz2+rz3
で示される点は，，どのような図形を描くか？
（解答）
上記の解説で，q>0とr<0の共通部分を求めると，右図の水色の部分（境界は含まない）になる．
【例４】
　１直線上にない異なる３つの複素数z1 , z2 , z3が与えられていて，実数p, q, rが
p+q+r=1, p=,q>0, r>0
の条件を満たしながら変化するとき，
z=pz1+qz2+rz3
で示される点は，，どのような図形を描くか？
（解答）
z=z1+q(z2−z1)+r(z3−z1)
q+r=,q>0, r>0
z=z1+(−r)(z2−z1)+r(z3−z1)
0<r<
z=z1+(z2−z1)+r(z3−z2)
0<r<
となるから，順次組み立てていくと，右図の赤線（端点を含まない）になる．
【問題２】１直線上にない異なる３つの複素数z1 , z2 , z3に対して，
z=pz1+qz2+rz3
で定義される複素数が次の図形を描くとき，実数p, q, rが満たす条件として正しいものを右から選んでください．
領域については水色で示した部分，直線，半直線，線分については赤で示した部分とし，すべて境界線や端点を含まないものとします．
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(2)
(3)
(4)
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■［個別の頁からの質問に対する回答］[複素数の１次結合が表す図形について／18.5.1］
●「【問題２】１直線上にない異なる３つの複素数z1 , z2 , z3に対して，z=pz1+qz2+rz3 　で定義される複素数が次の図形を描くとき，実数p, q, rが満たす条件として正しいものを 　右から選んでください．」 　の（２）の解答「p+q+r=1　p<0, q<0 」についてですが、 　「r>0」は必要ないのでしょうか？ ●同様に「【問題２】（５）の解答「p+q+r=1, p>0, q=0」も「r<1」は必要ないのでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．前半：p+q+r=1　p<0, q<0のとき，r=1−p−q>1が当然成り立つので，r>0は書かなくても成り立ちます．
同様にして，後半：p+q+r=1, p>0, q=0のとき，r=1−p−q<1が当然成り立つので，書かなくても成り立ちます．