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平成16年度技術士第一次試験問題［共通問題］
【数学】Ⅲ-13
　複素数zに関する２次方程式z2+2iz−2=0の解は，次のどれか．ただし，i=.√−1√nniとする．
11±i 2−1±i 3i±1 4−i±1 5解なし
HELP

z=a+bi（a, bは実数）とおく
(a+bi)2+2i(a+bi)−2=0より
a2+2abi−b2+2ai−2b−2=0
(a2−b2−2b−2)+2(ab+a)i=0
a, bは実数だから
a2−b2−2b−2=0…(1)
a(b+1)=0…(2)
(2)より,（ア）a=0 　（イ）b=−1
（ア）の場合
（イ）の場合
≪別解≫
解の公式により z=.−i±.√i2+2√nnnni1nnnnnnnn=−i±1

○この頁に登場する【問題】は，公益社団法人日本技術士会のホームページに掲載されている「技術士第一次試験過去問題 共通科目A 数学」の引用です．（=公表された著作物の引用）

○【解説】は個人の試案ですが，Ｗｅｂ教材化にあたって「問題の転記ミス」「考え方の間違い」「プログラムの作動ミス」などが含まれる場合があり得ます．
　問題や解説についての質問等は，原著作者を煩わせることなく，当Ｗｅｂ教材の作成者（<浅尾>mwm48961@uniteddigital.com）に対して行ってください．

平成17年度技術士第一次試験問題［共通問題］
【数学】Ⅲ-11
　1でない複素数ωがω3=1を満たすとき，
2+ω−ω2−2ω4
の値は次のどれか． 10 21 32 43 54 HELP

ω3=1, ω2=−ω−1だから
2+ω−ω2−2ω4=2+ω−ω2−2ω
=2+ω−(−ω−1)−2ω=2+ω+ω+1−2ω=3 → 4

平成18年度技術士第一次試験問題［共通問題］
【数学】Ⅲ-11
　x=1−2iのとき，x4+2x3−4x2+22x+5の値は次のどれか．ただし，i=.√−1√nniとする．
11+2i 21+i 30 41 510
HELP

そこで，x4+2x3−4x2+22x+5をx2−2x+5で割って，商と余りを求めると，商がx2+4x−1で余りが10となるので
ここで，x=1−2iのとき，x2−2x+5=0だから，

平成19年度技術士第一次試験問題［共通問題］
【数学】Ⅲ-12
　３次方程式2x3−7x2+ax−6=0の１つの解が複素数1+iのとき，実数aの値は次のどれか．ただし，i=.√−1√nniとする．
12 24 36 48 510
HELP

(1+i)2=2i, (1+i)3=−2+2iだから
このときa=10 → 5 ≪別解≫･･･「実係数方程式が複素数解をもつならば，その共役複素数もまた解となる」ことを利用する
実係数方程式が複素数α=1+iを解にもつから，その共役複素数β=1−iもまた解となる
α+β=2, αβ=2だから，解と係数の関係により，これらは２次方程式
x2−2x+2=0
の解となる．
割り算を行うと，右のようになりa=10が条件となる

平成20年度技術士第一次試験問題［共通問題］
【数学】Ⅲ-12
　複素数(1+i)nが実数となる最小の自然数nは，次のどれか．ただし，i=.√−1√nniである．
11 22 33 44 55
HELP

※幾つか実験してみる
(1+i)1=1+i
(1+i)2=1+2i−1=2i
(1+i)3=(1+i)2i=−2+2i
(1+i)4=(2i)2=−4
だから，n=4 → 4

平成21年度技術士第一次試験問題［共通問題］
【数学】Ⅲ-11
　複素平面上で，z3=1を満たす複素数を３頂点とする三角形の面積は，次のどれか．
1.2.√3√ni3nnn 2.3.√3√ni4nnn 3.√3√ni 4.4.√3√ni3nnn 5.3.√3√ni2nnn
HELP

１の３乗根は
cos.2π3nn+i sin.2π3nn=.−1+.√3√nii2nnnnnnn cos.4π3nn+i sin.4π3nn=.−1−.√3√nii2nnnnnnn 1
の３個（右図）だから，三角形の面積は
.12n.√3√ni×.32n=.3.√3√ni4nnn → 2

平成22年度技術士第一次試験問題［共通問題］
【数学】Ⅲ-11
　３次方程式z3+i=0の解でiと異なる複素数解は，次のどれか．ただし，i=.√−1√nniである．
1±..√3√ni2nn+.i2n 2±..√3√ni2nn−.i2n 3.12n±..√3√ni2nn
4−.12n±..√3√ni2nni 5±.12n−..√3√ni2nni HELP

i3=−iだから
z3−i3=0
(z−i)(z2+zi+i2)=0
(z−i)(z2+zi−1)=0
z=i以外の解を，z2+zi−1=0から解の公式で求めると
z=.−i±.√i2+4√nnnni2nnnnnnnn=.−i±.√3√ni2nnnnn → 2 ≪別解≫
z=cosθ+i sinθとおいて，ド・モアブルの定理
(cosθ+i sinθ)n=cos nθ+i sin nθ
を用いると
z3=−i=i3
より
cos 3θ+i sin 3θ=cos.3π2nn+i sin.3π2nn
3θ=.3π2nn, .3π2nn+2π, .3π2nn+4π
θ=.π2n, .7π6nn, .11π6nnn
z=cosθ+i sinθ=i, −..√3√ni2nn−.i2n, ..√3√ni2nn−.i2n
→ 2

平成23年度技術士第一次試験問題［共通問題］
【数学】Ⅲ-11
　複素数(1+i)−8は，次のどれか．ただし，i=.√−1√nniである．
1.i22nn 2.124nn 3.i24nn 4.128nn 5.i28nn HELP

ド・モアブルの定理
(cosθ+i sinθ)n=cos nθ+i sin nθ
はnが負の整数の場合でも成り立つ．
1+i=.√2√ni(cos.π4n+i sin.π4n) だから (1+i)−8={ .√2√ni(cos.π4n+i sin.π4n) }−8 =.124nn{cos(−2π)+i sin(−2π)}=.124nn → 2 ≪別解≫
(1+i)2=1+2i−1=2i
(1+i)4=(2i)2=−4
(1+i)8=(−4)2=16
だから (1+i)−8=.116nn=.124nn → 2

平成24年度技術士第一次試験問題［共通問題］
【数学】Ⅲ-11
　複素数.(1+2i)(3−i)(1−2i)(1+i)nnnnnnnnn2の絶対値は，次のどれか．
ただし，i=.√−1√nniとする．
11 22 33 44 55 HELP

複素数自体を計算しなくても|αβ|=|α|·|β|, |.αβn|=.|α||β|nn を組み合わせて，絶対値だけ求めるとよい．
|1+2i|=|1−2i|, |3−i|=.√10√nni, |1+i|=.√2√ni
だから
(..√10√nni.√2√ninnn)2=(.√5√ni)2=5 → 2