○この頁に登場する【問題】は，公益社団法人日本技術士会のホームページに掲載されている「技術士第一次試験過去問題 共通科目A 数学」の引用です．（=公表された著作物の引用）

○【解説】は個人の試案ですが，Ｗｅｂ教材化にあたって「問題の転記ミス」「考え方の間違い」「プログラムの作動ミス」などが含まれる場合があり得ます．
　問題や解説についての質問等は，原著作者を煩わせることなく，当Ｗｅｂ教材の作成者（<浅尾>）に対して行ってください．

平成16年度技術士第一次試験問題［共通問題］
【数学】�V-13
　複素数zに関する２次方程式z2+2iz−2=0の解は，次のどれか．ただし，i=とする．
11±i 2−1±i 3i±1 4−i±1 5解なし
解説

z=a+bi（a, bは実数）とおく
(a+bi)2+2i(a+bi)−2=0より
a2+2abi−b2+2ai−2b−2=0
(a2−b2−2b−2)+2(ab+a)i=0
a, bは実数だから
a2−b2−2b−2=0…(1)
a(b+1)=0…(2)
(2)より,（ア）a=0 　（イ）b=−1
（ア）の場合
（イ）の場合
≪別解≫
解の公式により z==−i±1

平成17年度技術士第一次試験問題［共通問題］
【数学】�V-11
　1でない複素数ωがω3=1を満たすとき，
2+ω−ω2−2ω4
の値は次のどれか． 10 21 32 43 54 解説

ω3=1, ω2=−ω−1だから
2+ω−ω2−2ω4=2+ω−ω2−2ω
=2+ω−(−ω−1)−2ω=2+ω+ω+1−2ω=3 → 4

平成18年度技術士第一次試験問題［共通問題］
【数学】�V-11
　x=1−2iのとき，x4+2x3−4x2+22x+5の値は次のどれか．ただし，i=とする．
11+2i 21+i 30 41 510
解説

そこで，x4+2x3−4x2+22x+5をx2−2x+5で割って，商と余りを求めると，商がx2+4x−1で余りが10となるので
ここで，x=1−2iのとき，x2−2x+5=0だから，

平成19年度技術士第一次試験問題［共通問題］
【数学】�V-12
　３次方程式2x3−7x2+ax−6=0の１つの解が複素数1+iのとき，実数aの値は次のどれか．ただし，i=とする．
12 24 36 48 510
解説

(1+i)2=2i, (1+i)3=−2+2iだから
このときa=10 → 5 ≪別解≫･･･「実係数方程式が複素数解をもつならば，その共役複素数もまた解となる」ことを利用する
実係数方程式が複素数α=1+iを解にもつから，その共役複素数β=1−iもまた解となる
α+β=2, αβ=2だから，解と係数の関係により，これらは２次方程式
x2−2x+2=0
の解となる．
割り算を行うと，右のようになりa=10が条件となる

平成20年度技術士第一次試験問題［共通問題］
【数学】�V-12
　複素数(1+i)nが実数となる最小の自然数nは，次のどれか．ただし，i=である．
11 22 33 44 55
解説

※幾つか実験してみる
(1+i)1=1+i
(1+i)2=1+2i−1=2i
(1+i)3=(1+i)2i=−2+2i
(1+i)4=(2i)2=−4
だから，n=4 → 4

平成21年度技術士第一次試験問題［共通問題］
【数学】�V-11
　複素平面上で，z3=1を満たす複素数を３頂点とする三角形の面積は，次のどれか．
1 2 3 4 5
解説

１の３乗根は
cos+i sin= cos+i sin= 1
の３個（右図）だから，三角形の面積は
×= → 2

平成22年度技術士第一次試験問題［共通問題］
【数学】�V-11
　３次方程式z3+i=0の解でiと異なる複素数解は，次のどれか．ただし，i=である．
1±+ 2±− 3±
4−±i 5±−i 解説

i3=−iだから
z3−i3=0
(z−i)(z2+zi+i2)=0
(z−i)(z2+zi−1)=0
z=i以外の解を，z2+zi−1=0から解の公式で求めると
z== → 2 ≪別解≫
z=cosθ+i sinθとおいて，ド・モアブルの定理
(cosθ+i sinθ)n=cos nθ+i sin nθ
を用いると
z3=−i=i3
より
cos 3θ+i sin 3θ=cos+i sin
3θ=, +2π, +4π
θ=, ,
z=cosθ+i sinθ=i, −−, −
→ 2

平成23年度技術士第一次試験問題［共通問題］
【数学】�V-11
　複素数(1+i)−8は，次のどれか．ただし，i=である．
1 2 3 4 5 解説

ド・モアブルの定理
(cosθ+i sinθ)n=cos nθ+i sin nθ
はnが負の整数の場合でも成り立つ．
1+i=(cos+i sin) だから (1+i)−8={ (cos+i sin) }−8 ={cos(−2π)+i sin(−2π)}= → 2 ≪別解≫
(1+i)2=1+2i−1=2i
(1+i)4=(2i)2=−4
(1+i)8=(−4)2=16
だから (1+i)−8== → 2

平成24年度技術士第一次試験問題［共通問題］
【数学】�V-11
　複素数2の絶対値は，次のどれか．
ただし，i=とする．
11 22 33 44 55 解説

複素数自体を計算しなくても|αβ|=|α|·|β|, ||= を組み合わせて，絶対値だけ求めるとよい．
|1+2i|=|1−2i|, |3−i|=, |1+i|=
だから
()2=()2=5 → 2