逆三角関数

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ベクトル解析の公式

→ 携帯版は別頁【逆三角関数】 ○ y=sinxのグラフは，次の図のようになります．・xの範囲に制限がなければ，一つの与えられたyの値に対して，sinx=yとなるxの値は無数に存在しますが， −.π2n≦x≦.π2n （赤で示した部分）に制限すれば，xの値はただ１通りに定まります．・区間−.π2n≦x≦.π2nにおいて，sinx=αを満たす値を主値といい，x=sin−1αで表します．（アークサインアルファと読む）　初歩的な注意として，sin−1αは.1sinαnnnnnとは関係なく，sinxの逆関数を表す専用の記号となっており，sinnαの逆関数をsin−nαと書くなどと新たに定義しない限りsin−2αなどは定義されていません．（cos−1α，tan−1αについても同様）【例】 (1) sin.π6n=.12nだから，sin−1.12n=.π6nです． (2) sin−1.13nとは，sinα=.13nとなる角αのことです．（−.π2n≦α≦.π2n）　同様にして，sin−1.14nとは，sinβ=.14nとなる角βのことです．（−.π2n≦β≦.π2n） ○ y=cosxのグラフは，次の図のようになります．・xの範囲に制限がなければ，一つの与えられたyの値に対して，cosx=yとなるxの値は無数に存在しますが， 0≦x≦π （赤で示した部分）に制限すれば，xの値はただ１通りに定まります．・区間0≦x≦πにおいて，cosx=αを満たす値を主値といい，x=cos−1αで表します．【例】 (1) cos.π6n=..√3√ni2nnだから，cos−1..√3√ni2nn=.π6nです． (2) α=cos−1.12n ⇔ cosα=.12n（0≦α≦π）　同様に，β=cos−1..√2√ni2nn ⇔ cosβ=..√2√ni2nn（0≦β≦π）　したがって， cos−1.12n+cos−1..√2√ni2nn=α+β=.π3n+.π4n=.7π12nn などと計算できます． αとβが各々主値において確定すればよく，α+βの値の範囲はそれらを使って単純に計算すればよい． ※正しい番号をクリックしてください．平成16年度技術士第一次試験問題［共通問題］【数学】Ⅲ-4 　sin(2 cos−1.15n )の値は，次のどれか． 1.25n 2..√6√ni5nn 3.2.√6√ni5nnn 4.2.√6√ni25nnn 5.4.√6√ni25nnn HELP cos α=.15n（0≦α≦π）のとき sin 2α=2 sinα cosα ←２倍角公式ここで、三角関数の相互関係 sin2α+cos2α=1により sinα=.√1−.125nn√nnnni=.2.√6√ni5nnn（0≦α≦πにより（sinα≧0））したがって sin 2α=2×.2.√6√ni5nnn×.15n=.4.√6√ni25nnn →5	○この頁に登場する【問題】は，公益社団法人日本技術士会のホームページに掲載されている「技術士第一次試験過去問題共通科目A 数学」の引用です．（=公表された著作物の引用） ○【解説】は個人の試案ですが，Ｗｅｂ教材化にあたって「問題の転記ミス」「考え方の間違い」「プログラムの作動ミス」などが含まれる場合があり得ます．　問題や解説についての質問等は，原著作者を煩わせることなく，当Ｗｅｂ教材の作成者（<浅尾>mwm48961@uniteddigital.com）に対して行ってください． ○ y=tanxのグラフは，次の図のようになります．・xの範囲に制限がなければ，一つの与えられたyの値に対して，tanx=yとなるxの値は無数に存在しますが， −.π2n<x<.π2n （赤で示した部分）に制限すれば，xの値はただ１通りに定まります．・区間−.π2n<x<.π2nにおいて，tanx=αを満たす値を主値といい，x=tan−1αで表します．【例】 (1) tan.π4n=1だから，tan−11=.π4nです． (2) α=tan−1..√3√ni3nn ⇔ tanα=..√3√ni3nn（−.π2n<α<.π2n）　同様に，β=tan−1.√3√ni ⇔ tanβ=.√3√ni（−.π2n<β<.π2n）　したがって， tan−1..√3√ni3nn+tan−1.√3√ni=α+β=.π6n+.π3n=.π2n 平成17年度技術士第一次試験問題［共通問題］【数学】Ⅲ-4 　方程式sin−1x=cos−1..√5√ni3nnの値は，次のどれか． 1.13n 2.1.√5√ninn 3.2.√5√ninn 4.23n 5..√5√ni3nn HELP cos α=..√5√ni3nn（0≦α≦π）とおくと sin−1x=α= ⇔ x=sinα ここで、三角関数の相互関係 sin2α+cos2α=1により sinα=.√1−.59n√nnni=.23n（0≦α≦πにより（sinα≧0）） →4
平成18年度技術士第一次試験問題［共通問題］【数学】Ⅲ-2 　tan−1(.√3√ni+2)+tan−1(.√3√ni−2)の値は，次のどれか． 10 2.π6n 3.π4n 4.π3n 5.π2n HELP tan α=.√3√ni+2, tan β=.√3√ni−2（−.π2n<α, β<.π2n）とおくと三角関数の加法定理により tan(α+β)=.tanα+tanβ1−tanαtanβnnnnnnnnnn=.2.√3√ni1−(3−4)nnnnnnn=.√3√ni ここで，0<α<.π2n, −.π2n<β<0 だから −.π2n<α+β<.π2n α+β=.π3n→4	平成19年度技術士第一次試験問題［共通問題］【数学】Ⅲ-2 　sin−1.12n+cos−1(−.12n)+tan−11の値は，次のどれか． 1−.76nπ 2−.512nnπ 3.712nnπ 4.1312nnπ 5.76nπ HELP sin α=.12n（−.π2n≦α≦.π2n）→ α=.π6n cos β=−.12n（0≦β≦π）→ β=.2π3nn tan γ=1（−.π2n<γ<.π2n）→ γ=.π4n したがって α+β+γ=.π6n+.2π3nn+.π4n=.1312nnπ→4
平成20年度技術士第一次試験問題［共通問題］【数学】Ⅲ-2 　tan(sin−1.13n)の値は，次のどれか． 1.13n 2.12n 3..√2√ni4nn 4..√3√ni4nn 5..√2√ni3nn HELP sin α=.13n(−.π2n<α<.π2n) のとき 0<α<.π2n 三角関数の相互関係 sin2α+cos2α=1により cosα=.√1−.19n√nnnni=.2.√2√ni3nnn（(0<α<.π2n)により cosα>0 ）したがって tanα=.sinαcosαnnnnn=.12.√2√ninnn=..√2√ni4nn →3	平成21年度技術士第一次試験問題［共通問題］【数学】Ⅲ-2 　３つの値sin−1..√3√ni2nn, cos−1..√3√ni2nn, tan−1..√3√ni2nnについて，次の大小関係のうち正しいものはどれか． 1cos−1..√3√ni2nn<sin−1..√3√ni2nn<tan−1..√3√ni2nn 2cos−1..√3√ni2nn<tan−1..√3√ni2nn<sin−1..√3√ni2nn 3tan−1..√3√ni2nn<cos−1..√3√ni2nn<sin−1..√3√ni2nn 4sin−1..√3√ni2nn<tan−1..√3√ni2nn<cos−1..√3√ni2nn 5sin−1..√3√ni2nn<cos−1..√3√ni2nn<tan−1..√3√ni2nn HELP sin α=..√3√ni2nn(−.π2n≦α≦.π2n) のとき α=.π3n cos β=..√3√ni2nn(0≦α≦π) のとき β=.π6n tan γ=..√3√ni2nn(−.π2n<α<.π2n) のとき .1.√3√ninn<..√3√ni2nn<.√3√niだから β=.π6n<γ<.π3n=α したがって cos−1..√3√ni2nn<tan−1..√3√ni2nn<sin−1..√3√ni2nn →2
平成22年度技術士第一次試験問題［共通問題］【数学】Ⅲ-2 　sin−1(−1)+cos−1(−1)+tan−1(−1)の値は，次のどれか． 1−.π2n 2−.π4n 30 4.π4n 5.π2n HELP α=sin−1(−1)とおくと sinα=−1(−.π2n≦α≦.π2n) → α=−.π2n β=cos−1(−1)とおくと cosβ=−1(0≦β≦π) → β=π γ=tan−1(−1)とおくと tanγ=−1(−.π2n<γ<.π2n) → γ=−.π4n したがって α+β+γ=−.π2n+π−.π4n=.π4n →4	平成23年度技術士第一次試験問題［共通問題］【数学】Ⅲ-2 　sin(cos−1..√7√ni4nn)の値は，次のどれか． 1.14n 2.38n 3.12n 4.58n 5.34n HELP α=cos−1..√7√ni4nnとおくと cosα=..√7√ni4nn(0≦α≦π) このとき sin(cos−1..√7√ni4nn)=sinα=.√1−cos2α√nnnnnnni=.34n (>0) →5
平成24年度技術士第一次試験問題［共通問題］【数学】Ⅲ-3 　tan−1(2+.√7√ni)+tan−1(2−.√7√ni)の値は，次のどれか． 1.π12nn 2.π8n 3.π6n 4.π4n 5.π3n HELP	α=tan−1(2+.√7√ni)とおくと tanα=2+.√7√ni (−.π2n<α<.π2n) tanα>0により0<α<.π2n β=tan−1(2−.√7√ni)とおくと tanβ=2−.√7√ni (−.π2n<β<.π2n) tanβ<0により−.π2n<β<0 このとき −.π2n<α+β<.π2nであって，かつ tan(α+β)=.tanα+tanβ1−tanαtanβnnnnnnnnnn =.(2+.√7√ni)(2−.√7√ni)1−(2+.√7√ni)(2−.√7√ni)nnnnnnnnnnnnnn=.41−(−3)nnnnnn=1 α+β=.π4n →4

【逆三角関数の性質】

(1.1) $\sin(\sin^{-1}a)=a\hspace{10}(-1\underline{\le}a\underline{\le}1)$
$\sin^{-1}(\sin b)=b\hspace{10}(-\frac{\pi}{2}\underline{\le}b\underline{\le}\frac{\pi}{2})$

（解説）
$\sin b=a\Leftrightarrow b=\sin^{-1}a$ のとき
$\sin(\sin^{-1}a)=\sin b=a$
$\sin^{-1}(\sin b)=\sin^{-1}a=b$
※この性質は，ある関数とその逆関数を合成すると恒等関数 I(x)=x になるということを示している．

(1.2) $\cos(\cos^{-1}a)=a\hspace{10}(-1\underline{\le}a\underline{\le}1)$
$\cos^{-1}(\cos b)=b\hspace{10}(0\underline{\le}b\underline{\le}\pi)$

（解説）
$\cos b=a\Leftrightarrow b=\cos^{-1}a$ のとき
$\cos(\cos^{-1}a)=\cos b=a$
$\cos^{-1}(\cos b)=\cos^{-1}a=b$
※(1.1)と同様，ある関数とその逆関数を合成すると恒等関数 I(x)=x になるということを示している．

(1.3) $\tan(\tan^{-1}a)=a\hspace{10}(-\infty\lt a\lt\infty)$
$\tan^{-1}(\tan b)=b\hspace{10}(-\frac{\pi}{2}\lt b\lt\frac{\pi}{2})$

（解説）
$\tan b=a\Leftrightarrow b=\tan^{-1}a$ のとき
$\tan(\tan^{-1}a)=\tan b=a$
$\tan^{-1}(\tan b)=\tan^{-1}a=b$
※(1.1)(1.2)と同様，ある関数とその逆関数を合成すると恒等関数 I(x)=x になるということを示している．

(2.1) $\sin^{-1}x+\cos^{-1}x=\frac{\pi}{2}\hspace{10}(-1\underline{\le}x\underline{\le}1)$

（解説）

三角関数の公式
$\cos(\frac{\pi}{2}-\theta)=\sin\theta$ …(1)
により
$\cos(\frac{\pi}{2}-\theta)=\sin\theta=x$
のとき
$\sin^{-1}x=\theta$
$\cos^{-1}x=\frac{\pi}{2}-\theta$
だから
$\sin^{-1}x+\cos^{-1}x=\frac{\pi}{2}\hspace{10}(-1\underline{\le}x\underline{\le}1)$
この式は $0\lt\theta\lt\frac{\pi}{2}$ のときは，右図のような直角三角形を考えれば分かるが， $-\frac{\pi}{2}\underline{\le}\theta\underline{\le}\frac{\pi}{2}$ のときでも，(1)が成り立つから式は正しい．

(2.2) $\tan^{-1}x+\cot^{-1}x=\frac{\pi}{2}\hspace{10}(0\lt x)$

（解説）
三角関数の公式
$\cot(\frac{\pi}{2}-\theta)=\tan\theta$ …(2)
により
$\cot(\frac{\pi}{2}-\theta)=\tan\theta=x$
のとき

$\tan^{-1}x=\theta$
$\cot^{-1}x=\frac{\pi}{2}-\theta$
だから
$\tan^{-1}x+\cot^{-1}x=\frac{\pi}{2}\hspace{10}(0\lt x)$
この式は $0\lt\theta\lt\frac{\pi}{2}$ のとき，右図のような直角三角形を考えれば分かる．

(2.3) $\sec^{-1}x+\rm{cosec}^{-1}x=\frac{\pi}{2}\hspace{10}(1\underline{\le}x)$

（解説）
$\frac{1}{\cos\theta}=\sec\theta=x\Leftrightarrow \sec^{-1}x=\theta$
$\frac{1}{\sin(\frac{\pi}{2}-\theta)}=\rm{cosec}^{-1}(\frac{\pi}{2}-\theta)=x\Leftrightarrow \rm{cosec}^{-1}x=\frac{\pi}{2}-\theta$
のとき
$\sec^{-1}x+\rm{cosec}^{-1}x=\theta+\frac{\pi}{2}-\theta=\frac{\pi}{2}$

この式は $0\lt\theta\lt\frac{\pi}{2}$ のとき，右図のような直角三角形を考えれば分かる．
$\frac{1}{x}=\cos\theta\Leftrightarrow x=\frac{1}{\cos\theta}=\sec\theta$
$\frac{1}{x}=\sin(\frac{\pi}{2}-\theta)\Leftrightarrow x=\frac{1}{\sin(\frac{\pi}{2}-\theta)}=\rm{cosec}(\frac{\pi}{2}-\theta)$

(3.1)
$\sin^{-1}x=\cos^{-1}\sqrt{1-x^2}=\tan^{-1}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\hspace{10}(0\lt x\lt 1)$

（解説）
右図において
$\sin\theta=x\Leftrightarrow\theta=\sin^{-1}x$
$\cos\theta=\sqrt{1-x^2}\Leftrightarrow\theta=\cos^{-1}\sqrt{1-x^2}$
$\tan\theta=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\Leftrightarrow\theta=\tan^{-1}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$
だから
$\theta=\sin^{-1}x=\cos^{-1}\sqrt{1-x^2}=\tan^{-1}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$
が成り立つ．

(3.2)
$\cos^{-1}x=\sin^{-1}\sqrt{1-x^2}=\tan^{-1}\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}\hspace{10}(0\lt x\lt 1)$

（解説）
右図において
$\cos\theta=x\Leftrightarrow\theta=\cos^{-1}x$
$\sin\theta=\sqrt{1-x^2}\Leftrightarrow\theta=\sin^{-1}\sqrt{1-x^2}$
$\tan\theta=\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}\Leftrightarrow\theta=\tan^{-1}\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$
だから
$\theta=\cos^{-1}x=\sin^{-1}\sqrt{1-x^2}=\tan^{-1}\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$
が成り立つ．

(3.3)
$\tan^{-1}x=\sin^{-1}\frac{x}{\sqrt{1+ x^2}}=\cos^{-1}\frac{1}{\sqrt{1+ x^2}}\hspace{10}(0\underline{\le}x)$

（解説）
右図において
$\tan\theta=x\Leftrightarrow\theta=\tan^{-1}x$
$\sin\theta=\frac{x}{\sqrt{1+ x^2}}\Leftrightarrow\theta=\sin^{-1}\frac{x}{\sqrt{1+ x^2}}$
$\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{1+ x^2}}\Leftrightarrow\theta=\cos^{-1}\frac{1}{\sqrt{1+ x^2}}$
だから
$\theta=\tan^{-1}x=\sin^{-1}\frac{x}{\sqrt{1+ x^2}}=\cos^{-1}\frac{1}{\sqrt{1+ x^2}}$
が成り立つ．

(4.1) $\sin^{-1}(-x)=-\sin^{-1}x$

（解説）
$\sin y=x$
のとき
$\sin(-y)=-x$
$y=\sin^{-1}x$
$-y=\sin^{-1}(-x)$
だから
$\sin^{-1}(-x)=-\sin^{-1}x$
が成り立つ

(4.2) $\cos^{-1}(-x)=\pi-\cos^{-1}x$

（解説）
$\cos y=x$
のとき
$\cos(\pi-y)=-\cos y=-x$
$y=\cos^{-1}x$
$\pi-y=\cos^{-1}(-x)$
だから
$\cos^{-1}(-x)=\pi-\cos^{-1}x$
が成り立つ

(4.3) $\tan^{-1}(-x)=-\tan^{-1}x$

（解説）
$\tan y=x$
のとき
$\tan(-y)=-\tan y=-x$
$y=\tan^{-1}x$
$-y=\tan^{-1}(-x)$
だから
$\tan^{-1}(-x)=-\tan^{-1}x$
が成り立つ

マクローリン級数を用いて，πを高精度で計算するときなどに利用される定数

(5.1) $\tan^{-1}\frac{1}{2}+\tan^{-1}\frac{1}{3}=\frac{\pi}{4}$

（オイラー）

（解説）
正接の加法定理
$\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$
に， $\tan\alpha=\frac{1}{2},\hspace{3}\tan\beta=\frac{1}{3}$ となる角度 $\alpha,\hspace{3}\beta$ を代入すると
$\tan(\alpha+\beta)=\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}}=\frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}}=1$
となるから
$\alpha+\beta=\frac{\pi}{4}$
$\tan^{-1}\frac{1}{2}+\tan^{-1}\frac{1}{3}=\frac{\pi}{4}$
が成り立つ．

(5.2) $4\tan^{-1}\frac{1}{5}-\tan^{-1}\frac{1}{239}=\frac{\pi}{4}$

（マチン）

（解説）
正接の２倍角公式
$\tan(2\alpha)=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$
に， $\tan\alpha=\frac{1}{5}$ となる角度を代入すると
$\tan(2\alpha)=\frac{\frac{2}{5}}{1-\frac{1}{25}}=\frac{5}{12}$
さらにもう一度，2倍角公式を適用すると
$\tan(4\alpha)=\frac{\frac{10}{12}}{1-\frac{25}{144}}=\frac{120}{119}$
次に， $\tan\beta=\frac{1}{239}$ となる角度を考え，正接の加法定理
$\tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\cdot\tan\beta}$
にこれらの角度 $4\alpha,\hspace{2}\beta$ を代入すると
$\tan(4\alpha-\beta)=\frac{\tan 4\alpha-\tan\beta}{1+\tan 4\alpha\cdot\tan\beta}$
$=\frac{\frac{120}{119}-\frac{1}{239}}{1+\frac{120}{119}\cdot\frac{1}{239}}=\frac{28561}{28561}=1$
したがって
$4\alpha-\beta=\frac{\pi}{4}$
$4\tan^{-1}\frac{1}{5}-\tan^{-1}\frac{1}{239}=\frac{\pi}{4}$

一般に，整数nに対して次の式が成り立つ
(5.3) $\tan^{-1}\frac{1}{n+ 1}+\tan^{-1}\frac{n}{n+ 2}=\frac{\pi}{4}$

（解説）
正接の加法定理
$\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$
に， $\tan\alpha=\frac{1}{n+ 1},\hspace{3}\tan\beta=\frac{n}{n+ 2}$ となる角度 $\alpha,\hspace{3}\beta$ を代入すると
$\tan(\alpha+\beta)=\frac{\frac{1}{n}+\frac{2}{n+ 2}}{1-\frac{1}{n+ 1}\cdot\frac{n}{n+ 2}}=\frac{n^2+ 2n+ 2}{n^2+ 2n+ 2}=1$
となるから
$\alpha+\beta=\frac{\pi}{4}$
$\tan^{-1}\frac{1}{n+ 1}+\tan^{-1}\frac{n}{n+ 2}=\frac{\pi}{4}$
が成り立つ．

n=1, 2のときはオイラーの公式になる．
n=3, 4, 5, 6, ...を代入すると
$\tan^{-1}\frac{1}{4}+\tan^{-1}\frac{3}{5}=\frac{\pi}{4}$
$\tan^{-1}\frac{1}{5}+\tan^{-1}\frac{2}{3}=\frac{\pi}{4}$
$\tan^{-1}\frac{1}{6}+\tan^{-1}\frac{5}{7}=\frac{\pi}{4}$
$\tan^{-1}\frac{1}{7}+\tan^{-1}\frac{3}{4}=\frac{\pi}{4}$

（その他）

(6.1) $\cos^{-1}\frac{7}{25}=2\sin^{-1}\frac{3}{5}$

（解説）
$\sin\alpha=\frac{3}{5}$ のとき
$\cos 2\alpha=1-2\sin^2\alpha=1-2\times\frac{9}{25}=\frac{7}{25}$
$\alpha=\sin^{-1}\frac{3}{5},\hspace{5}2\alpha=\cos^{-1}\frac{7}{25}$ だから
$\cos^{-1}\frac{7}{25}=2\sin^{-1}\frac{3}{5}$

(6.2) $\sin^{-1}(-\frac{24}{25})=2\sin^{-1}\frac{4}{5}$

（解説）
$\sin\alpha=\frac{4}{5}$ …(1)のとき
$\sin\alpha=\frac{4}{5}\gt\sin\frac{\pi}{4}$ だから
$\frac{\pi}{2}\lt 2\alpha\lt \pi$
$\cos\alpha\lt 0$ …(2)
$\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha=1-\frac{16}{25}=\frac{9}{25}$
(2)により $\cos\alpha=-\frac{3}{5}$
(1)(2)より $\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=-2\times\frac{4}{5}\times\frac{3}{5}=-\frac{24}{25}$ …(3)
(1)より $\alpha=\sin^{-1}\frac{4}{5}$
(3)より $2\alpha=\sin^{-1}(-\frac{24}{25})$
したがって， $\sin^{-1}(-\frac{24}{25})=2\sin^{-1}\frac{4}{5}$

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○感想の内で，どの問題がどうであったかを正確な文章で伝えていただいた改善要望に対しては，可能な限り対応するようにしています．（※なお，攻撃的な文章になっている場合は，それを公開すると筆者だけでなく読者も読むことになりますので，採用しません．）

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→ 携帯版は別頁【逆三角関数】 ○ y=sinxのグラフは，次の図のようになります．・xの範囲に制限がなければ，一つの与えられたyの値に対して，sinx=yとなるxの値は無数に存在しますが， −.π2n≦x≦.π2n （赤で示した部分）に制限すれば，xの値はただ１通りに定まります．・区間−.π2n≦x≦.π2nにおいて，sinx=αを満たす値を主値といい，x=sin−1αで表します．（アークサインアルファと読む）　初歩的な注意として，sin−1αは.1sinαnnnnnとは関係なく，sinxの逆関数を表す専用の記号となっており，sinnαの逆関数をsin−nαと書くなどと新たに定義しない限りsin−2αなどは定義されていません．（cos−1α，tan−1αについても同様）【例】 (1) sin.π6n=.12nだから，sin−1.12n=.π6nです． (2) sin−1.13nとは，sinα=.13nとなる角αのことです．（−.π2n≦α≦.π2n）　同様にして，sin−1.14nとは，sinβ=.14nとなる角βのことです．（−.π2n≦β≦.π2n） ○ y=cosxのグラフは，次の図のようになります．・xの範囲に制限がなければ，一つの与えられたyの値に対して，cosx=yとなるxの値は無数に存在しますが， 0≦x≦π （赤で示した部分）に制限すれば，xの値はただ１通りに定まります．・区間0≦x≦πにおいて，cosx=αを満たす値を主値といい，x=cos−1αで表します．【例】 (1) cos.π6n=..√3√ni2nnだから，cos−1..√3√ni2nn=.π6nです． (2) α=cos−1.12n ⇔ cosα=.12n（0≦α≦π）　同様に，β=cos−1..√2√ni2nn ⇔ cosβ=..√2√ni2nn（0≦β≦π）　したがって， cos−1.12n+cos−1..√2√ni2nn=α+β=.π3n+.π4n=.7π12nn などと計算できます． αとβが各々主値において確定すればよく，α+βの値の範囲はそれらを使って単純に計算すればよい． ※正しい番号をクリックしてください．平成16年度技術士第一次試験問題［共通問題］【数学】Ⅲ-4 　sin(2 cos−1.15n )の値は，次のどれか． 1.25n 2..√6√ni5nn 3.2.√6√ni5nnn 4.2.√6√ni25nnn 5.4.√6√ni25nnn HELP cos α=.15n（0≦α≦π）のとき sin 2α=2 sinα cosα ←２倍角公式ここで、三角関数の相互関係 sin2α+cos2α=1により sinα=.√1−.125nn√nnnni=.2.√6√ni5nnn（0≦α≦πにより（sinα≧0））したがって sin 2α=2×.2.√6√ni5nnn×.15n=.4.√6√ni25nnn →5	○この頁に登場する【問題】は，公益社団法人日本技術士会のホームページに掲載されている「技術士第一次試験過去問題共通科目A 数学」の引用です．（=公表された著作物の引用） ○【解説】は個人の試案ですが，Ｗｅｂ教材化にあたって「問題の転記ミス」「考え方の間違い」「プログラムの作動ミス」などが含まれる場合があり得ます．　問題や解説についての質問等は，原著作者を煩わせることなく，当Ｗｅｂ教材の作成者（<浅尾>mwm48961@uniteddigital.com）に対して行ってください． ○ y=tanxのグラフは，次の図のようになります．・xの範囲に制限がなければ，一つの与えられたyの値に対して，tanx=yとなるxの値は無数に存在しますが， −.π2n<x<.π2n （赤で示した部分）に制限すれば，xの値はただ１通りに定まります．・区間−.π2n<x<.π2nにおいて，tanx=αを満たす値を主値といい，x=tan−1αで表します．【例】 (1) tan.π4n=1だから，tan−11=.π4nです． (2) α=tan−1..√3√ni3nn ⇔ tanα=..√3√ni3nn（−.π2n<α<.π2n）　同様に，β=tan−1.√3√ni ⇔ tanβ=.√3√ni（−.π2n<β<.π2n）　したがって， tan−1..√3√ni3nn+tan−1.√3√ni=α+β=.π6n+.π3n=.π2n 平成17年度技術士第一次試験問題［共通問題］【数学】Ⅲ-4 　方程式sin−1x=cos−1..√5√ni3nnの値は，次のどれか． 1.13n 2.1.√5√ninn 3.2.√5√ninn 4.23n 5..√5√ni3nn HELP cos α=..√5√ni3nn（0≦α≦π）とおくと sin−1x=α= ⇔ x=sinα ここで、三角関数の相互関係 sin2α+cos2α=1により sinα=.√1−.59n√nnni=.23n（0≦α≦πにより（sinα≧0）） →4
平成18年度技術士第一次試験問題［共通問題］【数学】Ⅲ-2 　tan−1(.√3√ni+2)+tan−1(.√3√ni−2)の値は，次のどれか． 10 2.π6n 3.π4n 4.π3n 5.π2n HELP tan α=.√3√ni+2, tan β=.√3√ni−2（−.π2n<α, β<.π2n）とおくと三角関数の加法定理により tan(α+β)=.tanα+tanβ1−tanαtanβnnnnnnnnnn=.2.√3√ni1−(3−4)nnnnnnn=.√3√ni ここで，0<α<.π2n, −.π2n<β<0 だから −.π2n<α+β<.π2n α+β=.π3n→4	平成19年度技術士第一次試験問題［共通問題］【数学】Ⅲ-2 　sin−1.12n+cos−1(−.12n)+tan−11の値は，次のどれか． 1−.76nπ 2−.512nnπ 3.712nnπ 4.1312nnπ 5.76nπ HELP sin α=.12n（−.π2n≦α≦.π2n）→ α=.π6n cos β=−.12n（0≦β≦π）→ β=.2π3nn tan γ=1（−.π2n<γ<.π2n）→ γ=.π4n したがって α+β+γ=.π6n+.2π3nn+.π4n=.1312nnπ→4
平成20年度技術士第一次試験問題［共通問題］【数学】Ⅲ-2 　tan(sin−1.13n)の値は，次のどれか． 1.13n 2.12n 3..√2√ni4nn 4..√3√ni4nn 5..√2√ni3nn HELP sin α=.13n(−.π2n<α<.π2n) のとき 0<α<.π2n 三角関数の相互関係 sin2α+cos2α=1により cosα=.√1−.19n√nnnni=.2.√2√ni3nnn（(0<α<.π2n)により cosα>0 ）したがって tanα=.sinαcosαnnnnn=.12.√2√ninnn=..√2√ni4nn →3	平成21年度技術士第一次試験問題［共通問題］【数学】Ⅲ-2 　３つの値sin−1..√3√ni2nn, cos−1..√3√ni2nn, tan−1..√3√ni2nnについて，次の大小関係のうち正しいものはどれか． 1cos−1..√3√ni2nn<sin−1..√3√ni2nn<tan−1..√3√ni2nn 2cos−1..√3√ni2nn<tan−1..√3√ni2nn<sin−1..√3√ni2nn 3tan−1..√3√ni2nn<cos−1..√3√ni2nn<sin−1..√3√ni2nn 4sin−1..√3√ni2nn<tan−1..√3√ni2nn<cos−1..√3√ni2nn 5sin−1..√3√ni2nn<cos−1..√3√ni2nn<tan−1..√3√ni2nn HELP sin α=..√3√ni2nn(−.π2n≦α≦.π2n) のとき α=.π3n cos β=..√3√ni2nn(0≦α≦π) のとき β=.π6n tan γ=..√3√ni2nn(−.π2n<α<.π2n) のとき .1.√3√ninn<..√3√ni2nn<.√3√niだから β=.π6n<γ<.π3n=α したがって cos−1..√3√ni2nn<tan−1..√3√ni2nn<sin−1..√3√ni2nn →2
平成22年度技術士第一次試験問題［共通問題］【数学】Ⅲ-2 　sin−1(−1)+cos−1(−1)+tan−1(−1)の値は，次のどれか． 1−.π2n 2−.π4n 30 4.π4n 5.π2n HELP α=sin−1(−1)とおくと sinα=−1(−.π2n≦α≦.π2n) → α=−.π2n β=cos−1(−1)とおくと cosβ=−1(0≦β≦π) → β=π γ=tan−1(−1)とおくと tanγ=−1(−.π2n<γ<.π2n) → γ=−.π4n したがって α+β+γ=−.π2n+π−.π4n=.π4n →4	平成23年度技術士第一次試験問題［共通問題］【数学】Ⅲ-2 　sin(cos−1..√7√ni4nn)の値は，次のどれか． 1.14n 2.38n 3.12n 4.58n 5.34n HELP α=cos−1..√7√ni4nnとおくと cosα=..√7√ni4nn(0≦α≦π) このとき sin(cos−1..√7√ni4nn)=sinα=.√1−cos2α√nnnnnnni=.34n (>0) →5
平成24年度技術士第一次試験問題［共通問題］【数学】Ⅲ-3 　tan−1(2+.√7√ni)+tan−1(2−.√7√ni)の値は，次のどれか． 1.π12nn 2.π8n 3.π6n 4.π4n 5.π3n HELP	α=tan−1(2+.√7√ni)とおくと tanα=2+.√7√ni (−.π2n<α<.π2n) tanα>0により0<α<.π2n β=tan−1(2−.√7√ni)とおくと tanβ=2−.√7√ni (−.π2n<β<.π2n) tanβ<0により−.π2n<β<0 このとき −.π2n<α+β<.π2nであって，かつ tan(α+β)=.tanα+tanβ1−tanαtanβnnnnnnnnnn =.(2+.√7√ni)(2−.√7√ni)1−(2+.√7√ni)(2−.√7√ni)nnnnnnnnnnnnnn=.41−(−3)nnnnnn=1 α+β=.π4n →4