ベクトル解析の公式

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ベクトル解析の公式

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高校～大学基礎の数学用語.公式.例

1. 記号
　 $\vec{e_x}=(1,0,0),\hspace{2}\vec{e_y}=(0,1,0),\hspace{2}\vec{e_z}=(0,0,1)$ は3次元空間の基本ベクトル， $\phi$ はスカラー， $\vec{V}=(V_x,\hspace{2}V_y,\hspace{2}V_z)$ はベクトルとする．
［勾配］
$\rm{grad}\phi=$\frac{\partial\phi}{\partial x},\hspace{2}\frac{\partial\phi}{\partial y},\hspace{2}\frac{\partial\phi}{\partial z}$$
［発散］
$\rm{div}\vec{V}=\frac{\partial V_x}{\partial x}+\frac{\partial V_y}{\partial y}+\frac{\partial V_z}{\partial z}$
［回転］
$\rm{rot}\vec{V}=\Big(\frac{\partial V_z}{\partial y}-\frac{\partial V_y}{\partial z},\hspace{3}$ $\frac{\partial V_x}{\partial z}-\frac{\partial V_z}{\partial x},\hspace{3}\frac{\partial V_y}{\partial x}-\frac{\partial V_x}{\partial y}\Big)$
［ラプラシアン］
$\rm{\Delta}\phi=\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\phi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2\phi}{\partial z^2}$

2. ナブラと内積，外積を用いた表現
［ナブラ］

$\nabla=$\frac{\partial}{\partial x},\hspace{2}\frac{\partial}{\partial y},\hspace{2}\frac{\partial}{\partial z}$$
もしくは
$\nabla=\vec{e_x}\frac{\partial}{\partial x}+\vec{e_y}\frac{\partial}{\partial y}+\vec{e_z}\frac{\partial}{\partial z}$
を用いると，上記の定義は次のように書ける．

［勾配］…ベクトルのスカラー倍として書ける
$\rm{grad}\phi=$\frac{\partial\phi}{\partial x},\hspace{2}\frac{\partial\phi}{\partial y},\hspace{2}\frac{\partial\phi}{\partial z}$=\nabla\phi$
［発散］…ナブラとベクトルの内積として書ける
$\rm{div}\vec{V}=\frac{\partial V_x}{\partial x}+\frac{\partial V_y}{\partial y}+\frac{\partial V_z}{\partial z}=\nabla\cdot\vec{V}$
［回転］…ナブラとベクトルの外積として書ける

$\rm{rot}\vec{V}=\Big(\frac{\partial V_z}{\partial y}-\frac{\partial V_y}{\partial z},\hspace{3}$ $\frac{\partial V_x}{\partial z}-\frac{\partial V_z}{\partial x},\hspace{3}\frac{\partial V_y}{\partial x}-\frac{\partial V_x}{\partial y}\Big)$
$=\nabla\times\vec{V}$
行列式で書けば
$\nabla\times\vec{V}=\begin{vmatrix}\vec{e_x}&\vec{e_y}&\vec{e_z}\\ \frac{\partial}{\partial x}& \frac{\partial}{\partial y}& \frac{\partial}{\partial z}\\ V_x& V_y& V_z\end{vmatrix}$
［ラプラシアン］…ナブラとナブラの内積として書ける
$\rm{\Delta}=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}=\nabla\cdot\nabla=\nabla^2$
$\rm{\Delta}\phi=\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\phi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2\phi}{\partial z^2}=\nabla\cdot\nabla\phi=\nabla^2\phi$

（参考）
ナブラと内積，外積を用いた表現で機械的に処理するには，次のように行うとよい
$\nabla=\vec{e_x}\frac{\partial}{\partial x}+\vec{e_y}\frac{\partial}{\partial y}+\vec{e_z}\frac{\partial}{\partial z}$
$\vec{V}=\vec{e_x}V_x+\vec{e_y}V_y+\vec{e_z}V_z$
に対して，内積，外積については次の一覧表によって計算する．通常の場合，内積（・）は第1変数と第2変数（左右）を入れ換えても結果は変わらない．ただし，下記の注参照．外積（×）は第1変数と第2変数を入れ換えると符号が変わる．下の表では左欄を第1変数（左側），上欄を第2変数（右側）として計算する．

-表1-
$\cdot$	$\vec{e_x}$	$\vec{e_y}$	$\vec{e_z}$
$\vec{e_x}$	1	0	0
$\vec{e_y}$	0	1	0
$\vec{e_z}$	0	0	1

-表2-
$\times$	$\vec{e_x}$	$\vec{e_y}$	$\vec{e_z}$
$\vec{e_x}$	$\vec{0}$	$\vec{e_z}$	$-\vec{e_y}$
$\vec{e_y}$	$-\vec{e_z}$	$\vec{0}$	$\vec{e_x}$
$\vec{e_z}$	$\vec{e_y}$	$-\vec{e_x}$	$\vec{0}$

例えば
$\nabla\cdot\vec{V}=$\vec{e_x}\frac{\partial}{\partial x}+\vec{e_y}\frac{\partial}{\partial y}+\vec{e_z}\frac{\partial}{\partial z}$\cdot$\vec{e_x}V_x+\vec{e_y}V_y+\vec{e_z}V_z$$
展開すると
$=\vec{e_x}\cdot\vec{e_x}\frac{\partial V_x}{\partial x}+\vec{e_x}\cdot\vec{e_y}\frac{\partial V_y}{\partial x}+\vec{e_x}\cdot\vec{e_z}\frac{\partial V_z}{\partial x}$
$+\vec{e_y}\cdot\vec{e_x}\frac{\partial V_x}{\partial y}+\vec{e_y}\cdot\vec{e_y}\frac{\partial V_y}{\partial y}+\vec{e_y}\cdot\vec{e_z}\frac{\partial V_z}{\partial y}$
$+\vec{e_z}\cdot\vec{e_x}\frac{\partial V_x}{\partial z}+\vec{e_z}\cdot\vec{e_y}\frac{\partial V_y}{\partial z}+\vec{e_z}\cdot\vec{e_z}\frac{\partial V_z}{\partial z}$
ここで上の表により，各々の $\vec{e_p}\cdot\vec{e_q}\hspace{10}(p,\hspace{2}q=x,\hspace{2}y,\hspace{2}z)$ を値に変えると
$=\frac{\partial V_x}{\partial x}+\frac{\partial V_y}{\partial y}+\frac{\partial V_z}{\partial z}$

（注）
ナブラとベクトルの内積は，第1変数（左から掛けるもの）と第2変数（右から掛けるもの）を入れ換えると，意味が変わる点に注意
$\nabla\cdot\vec{V}=\frac{\partial V_x}{\partial x}+\frac{\partial V_y}{\partial y}+\frac{\partial V_z}{\partial z}$
は，発散を表すのに対して
$\vec{V}\cdot\nabla=V_x\frac{\partial}{\partial x}+ V_y\frac{\partial}{\partial y}+ V_z\frac{\partial}{\partial z}$
は演算子で，右側にスカラー関数を付けたときに，何かの量を表す
$(\vec{V}\cdot\nabla)\phi=V_x\frac{\partial\phi}{\partial x}+ V_y\frac{\partial\phi}{\partial y}+ V_z\frac{\partial\phi}{\partial z}$
$(\vec{V}\cdot\nabla)\vec{W}=V_x\frac{\partial\vec{W}}{\partial x}+ V_y\frac{\partial\vec{W}}{\partial y}+V_z\frac{\partial\vec{W}}{\partial z}$

$\nabla\times\vec{V}=$\vec{e_x}\frac{\partial}{\partial x}+\vec{e_y}\frac{\partial}{\partial y}+\vec{e_z}\frac{\partial}{\partial z}$\times$\vec{e_x}V_x+\vec{e_y}V_y+\vec{e_z}V_z$$
展開すると
$=\vec{e_x}\times\vec{e_x}\frac{\partial V_x}{\partial x}+\vec{e_x}\times\vec{e_y}\frac{\partial V_y}{\partial x}+\vec{e_x}\times\vec{e_z}\frac{\partial V_z}{\partial x}$
$+\vec{e_y}\times\vec{e_x}\frac{\partial V_x}{\partial y}+\vec{e_y}\times\vec{e_y}\frac{\partial V_y}{\partial y}+\vec{e_y}\times\vec{e_z}\frac{\partial V_z}{\partial y}$
$+\vec{e_z}\times\vec{e_x}\frac{\partial V_x}{\partial z}+\vec{e_z}\times\vec{e_y}\frac{\partial V_y}{\partial z}+\vec{e_z}\times\vec{e_z}\frac{\partial V_z}{\partial z}$
ここで上の表により，各々の $\vec{e_p}\times\vec{e_q}\hspace{10}(p,\hspace{2}q=x,\hspace{2}y,\hspace{2}z)$ をベクトルに変えると
$=\vec{0}\frac{\partial V_x}{\partial x}+\vec{e_z}\frac{\partial V_y}{\partial x}-\vec{e_y}\frac{\partial V_z}{\partial x}$
$-\vec{e_z}\frac{\partial V_x}{\partial y}+\vec{0}\frac{\partial V_y}{\partial y}+\vec{e_x}\frac{\partial V_z}{\partial y}$
$+\vec{e_y}\frac{\partial V_x}{\partial z}-\vec{e_x}\frac{\partial V_y}{\partial z}+\vec{0}\frac{\partial V_z}{\partial z}$
$=\vec{e_x}$\frac{\partial V_z}{\partial y}-\frac{\partial V_y}{\partial z}$$ $+\vec{e_y}$\frac{\partial V_x}{\partial z}-\frac{\partial V_z}{\partial x}$+\vec{e_z}$\frac{\partial V_y}{\partial x}-\frac{\partial V_x}{\partial y}$$

3. grad, div, rot に関する公式
(1) $\phi,\hspace{4}\psi$ はスカラー関数とする

$\rm{grad}\hspace{2}(\phi+\psi)=\rm{grad}\hspace{2}\phi+\rm{grad}\hspace{2}\psi$

$\nabla(\phi+\psi)=\nabla\phi+\nabla\psi$

≪定義通りに計算すれば≫
$\rm{grad}\hspace{2}(\phi+\psi)=$\frac{\partial}{\partial x}(\phi+\psi),\hspace{2}\frac{\partial}{\partial y}(\phi+\psi),\hspace{2}\frac{\partial}{\partial z}(\phi+\psi)$$
$=$\frac{\partial\phi}{\partial x}+\frac{\partial\psi}{\partial x},$ $\hspace{2}\frac{\partial\phi}{\partial y}+\frac{\partial\psi}{\partial y},\hspace{2}\frac{\partial\phi}{\partial z}+\frac{\partial\psi}{\partial z}\Big)$
$=\(\frac{\partial\phi}{\partial x},\hspace{2}\frac{\partial\phi}{\partial y},\hspace{2}\frac{\partial\phi}{\partial z}$$ $+$\frac{\partial\psi}{\partial x},\hspace{2}\frac{\partial\psi}{\partial y},\hspace{2}\frac{\partial\psi}{\partial z}$$
$=\rm{grad}\hspace{2}\phi+\rm{grad}\hspace{2}\psi$

≪ベクトルの内積・外積で表せば≫
$\rm{grad}\hspace{2}(\phi+\psi)=\nabla(\phi+\psi)=\nabla\phi+\nabla\psi$

$\rm{grad}\hspace{2}(\phi\psi)=\phi\hspace{4}\rm{grad}\hspace{2}\psi+\psi\hspace{4}\rm{grad}\hspace{2}\phi$

$\nabla(\phi\psi)=\phi\nabla\psi+\psi\nabla\phi$

≪定義通りに計算すれば≫
$\rm{grad}\hspace{2}(\phi\psi)=$\frac{\partial}{\partial x}(\phi\psi),\hspace{2}\frac{\partial}{\partial y}(\phi\psi),\hspace{2}\frac{\partial}{\partial z}(\phi\psi)$$

積の微分法： $\frac{\partial}{\partial x}(fg)=\frac{\partial f}{\partial x}g+ f\frac{\partial g}{\partial x}$ により
$\frac{\partial}{\partial x}(\phi\psi)=\frac{\partial\phi}{\partial x}\psi+\phi\frac{\partial\psi}{\partial x}$
$\frac{\partial}{\partial y}(\phi\psi)=\frac{\partial\phi}{\partial y}\psi+\phi\frac{\partial\psi}{\partial y}$
$\frac{\partial}{\partial z}(\phi\psi)=\frac{\partial\phi}{\partial z}\psi+\phi\frac{\partial\psi}{\partial z}$

したがって
$\Big(\frac{\partial\phi}{\partial x}\psi+\phi\frac{\partial\psi}{\partial x},\hspace{4}$ $\frac{\partial\phi}{\partial y}\psi+\phi\frac{\partial\psi}{\partial y},\hspace{4}$ $\frac{\partial\phi}{\partial z}\psi+\phi\frac{\partial\psi}{\partial z}\Big)$
$=\Big(\frac{\partial\phi}{\partial x},\hspace{4}\frac{\partial\phi}{\partial y},\hspace{4}\frac{\partial\phi}{\partial z}\Big)\psi$ $+\phi\Big(\frac{\partial\psi}{\partial x},\hspace{4}\frac{\partial\psi}{\partial y},\hspace{4}\frac{\partial\psi}{\partial z}\Big)$
$=\phi\Big(\frac{\partial\psi}{\partial x},\hspace{4}\frac{\partial\psi}{\partial y},\hspace{4}\frac{\partial\psi}{\partial z}\Big)$ $+\psi\Big(\frac{\partial\phi}{\partial x},\hspace{4}\frac{\partial\phi}{\partial y},\hspace{4}\frac{\partial\phi}{\partial z}\Big)$
$=\phi\hspace{4}\rm{grad}\hspace{2}\psi+\psi\hspace{4}\rm{grad}\hspace{2}\phi$

≪ベクトルの内積・外積で表せば≫
ベクトルの実数倍（定数倍）の公式では， $\vec{a}k=k\vec{a}$ であるが，ナブラ
$\nabla=$\frac{\partial}{\partial x},\hspace{2}\frac{\partial}{\partial y},\hspace{2}\frac{\partial}{\partial z}$$
は微分演算子であるからスカラー関数 $\phi$ と左右入れ換えることはできない． $\nabla\phi\leftarrow\circ$ ， $\phi\nabla\leftarrow\times$
　また，ベクトルの実数倍（定数倍）の公式では， $\vec{a}(kl)=kl\vec{a}$ であるが，上記のようにナブラは微分演算子であるから，積の微分法が成り立ち， $\nabla(\phi\psi)=\phi\psi\nabla$ などとは変形できない．結論から言えば， $\rm{grad}\hspace{2}(\phi\psi)=\phi\hspace{4}\rm{grad}\hspace{2}\psi+\psi\hspace{4}\rm{grad}\hspace{2}\phi$ をナブラで表すと， $\nabla(\phi\psi)=\phi\nabla\psi+\psi\nabla\phi$ となる．

$\rm{grad}\hspace{4}\rm{div}\hspace{4}\vec{V}=\rm{rot}\hspace{4}\rm{rot}\hspace{4}\vec{V}+\Delta\vec{V}$

$\nabla(\nabla\cdot\vec{V})=\nabla\times(\nabla\times\vec{V})+\Delta\vec{V}$

（解説）
後で登場する， $\rm{rot}\hspace{4}\rm{rot}\hspace{4}\vec{V}=\rm{grad}\hspace{4}\rm{div}\hspace{4}\vec{V}-\Delta\vec{V}$ を変形すれば，この公式が得られる.

$\rm{div}\hspace{4}\rm{grad}\hspace{4}\phi=\rm{\Delta}\phi$

$\nabla\cdot\nabla\phi=\Delta\phi$

≪定義通りに計算すれば≫
$\rm{grad}\hspace{4}\phi=$\frac{\partial\phi}{\partial x},\hspace{2}\frac{\partial\phi}{\partial y},\hspace{2}\frac{\partial\phi}{\partial z}$$
$\rm{div}\hspace{4}\rm{grad}\hspace{4}\phi=\frac{\partial}{\partial x}$\frac{\partial\phi}{\partial x}$$ $+\frac{\partial}{\partial y}$\frac{\partial\phi}{\partial y}$+\frac{\partial}{\partial z}$\frac{\partial\phi}{\partial z}$$
$=\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\phi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2\phi}{\partial z^2}$
≪ベクトルの内積・外積で表せば≫
$\rm{grad}\hspace{4}\phi=\nabla\phi$
$\rm{div}\hspace{4}\rm{grad}\hspace{4}\phi=\nabla\cdot\nabla\phi=\Delta\phi$

$\rm{div}(\vec{V}+\vec{W})=\rm{div}\vec{V}+\rm{div}\vec{W}$

$\nabla\cdot(\vec{V}+\vec{W})=\nabla\cdot\vec{V}+\nabla\cdot\vec{W}$

≪定義通りに計算すれば≫
$\vec{V}+\vec{W}=(V_x,V_y,V_z)+(W_x,W_y,W_z)$
$=(V_x+ W_x,V_y+ W_y,V_z+ W_z)$
$\rm{div}(\vec{V}+\vec{W})=\frac{\partial}{\partial x}(V_x+ W_x)+\frac{\partial}{\partial y}(V_y+ W_y)$
$+\frac{\partial}{\partial z}(V_z+ W_z)$
$=$\frac{\partial V_x}{\partial x}+\frac{\partial V_y}{\partial y}+\frac{\partial V_z}{\partial z}$+$\frac{\partial W_x}{\partial x}+\frac{\partial W_y}{\partial y}+\frac{\partial W_z}{\partial z}$$
$=\rm{div}\vec{V}+\rm{div}\vec{W}$
≪ベクトルの内積・外積で表せば≫

内積の展開公式がそのまま使える
$\vec{a}\cdot(\vec{b_1}+\vec{b_2})=\vec{a}\cdot\vec{b_1}+\vec{a}\cdot\vec{b_2}$

$\rm{div}(\vec{V}+\vec{W})=\nabla\cdot(\vec{V}+\vec{W})=\nabla\cdot\vec{V}+\nabla\cdot\vec{W}$

$\rm{div}(\phi\vec{V})=\phi\hspace{4}\rm{div}\vec{V}+\rm{grad}\phi\cdot\vec{V}$

$\nabla\cdot(\phi\vec{V})=\nabla\phi\cdot\vec{V}+\phi\nabla\cdot\vec{V}$

≪定義通りに計算すれば≫
$\rm{div}(\phi\vec{V})=\frac{\partial}{\partial x}(\phi V_x)+\frac{\partial}{\partial y}(\phi V_y)+\frac{\partial}{\partial z}(\phi V_z)$

積の微分法： $\frac{\partial}{\partial x}(fg)=\frac{\partial f}{\partial x}g+ f\frac{\partial g}{\partial x}$
などにより
$\frac{\partial}{\partial x}(\phi V_x)=\frac{\partial\phi}{\partial x}V_x+\phi\frac{\partial V_x}{\partial x}$
$\frac{\partial}{\partial y}(\phi V_y)=\frac{\partial\phi}{\partial y}V_y+\phi\frac{\partial V_y}{\partial y}$
$\underline{+\hspace{5}\big)\frac{\partial}{\partial z}(\phi V_z)=\frac{\partial\phi}{\partial z}V_z+\phi\frac{\partial V_z}{\partial z}}$
右辺は $\rm{grad}\phi\cdot\vec{V}+\phi\hspace{4}\rm{div}\vec{V}$
だから等しい
≪ベクトルの内積・外積で表せば≫
$\rm{div}(\phi\vec{V})=\nabla\cdot(\phi\vec{V})$
$=\nabla\phi\cdot\vec{V}+\phi\nabla\cdot\vec{V}$
※積の微分が含まれているから，ベクトルの公式 $\vec{a}\cdot(k\vec{b})=k\vec{a}\cdot\vec{b}$ のままではない

$\rm{div}(\phi\hspace{4}\rm{grad}\psi)=\rm{grad}\phi\cdot\rm{grad}\psi+\phi\Delta \psi$

$\nabla\cdot(\phi\nabla\psi)=\nabla\phi\cdot\nabla\psi+\phi\Delta \psi$

≪ベクトルの内積・外積で表せば≫
$\nabla\psi=\vec{e_x}\frac{\partial\psi}{\partial x}+\vec{e_y}\frac{\partial\psi}{\partial y}+\vec{e_z}\frac{\partial\psi}{\partial z}$
$\phi\hspace{2}\nabla\psi=\vec{e_x}\hspace{2}\phi\hspace{2}\frac{\partial\psi}{\partial x}$ $+\vec{e_y}\hspace{2}\phi\hspace{2}\frac{\partial\psi}{\partial y}+\vec{e_z}\hspace{2}\phi\hspace{2}\frac{\partial\psi}{\partial z}$

$\nabla\cdot(\phi\hspace{2}\nabla\psi)$
$=$\vec{e_x}\frac{\partial}{\partial x}+\vec{e_y}\frac{\partial}{\partial y}+\vec{e_z}\frac{\partial}{\partial z}$$ $\cdot$\vec{e_x}\hspace{2}\phi\hspace{2}\frac{\partial\psi}{\partial x}$ $+\vec{e_y}\hspace{2}\phi\hspace{2}\frac{\partial\psi}{\partial y}+\vec{e_z}\hspace{2}\phi\hspace{2}\frac{\partial\psi}{\partial z}\Big)$
$=\frac{\partial}{\partial x}\(\phi\hspace{2}\frac{\partial\psi}{\partial x}$$ $+\frac{\partial}{\partial y}$\phi\hspace{2}\frac{\partial\psi}{\partial y}$+\frac{\partial}{\partial z}$\phi\hspace{2}\frac{\partial\psi}{\partial z}$$ $=\frac{\partial\phi}{\partial x}\frac{\partial\psi}{\partial x}+\phi\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}$ $+\frac{\partial\phi}{\partial y}\frac{\partial\psi}{\partial y}+\phi\frac{\partial^2\psi}{\partial y^2}$ $+\frac{\partial\phi}{\partial z}\frac{\partial\psi}{\partial z}+\phi\frac{\partial^2\psi}{\partial z^2}$
$=\frac{\partial\phi}{\partial x}\frac{\partial\psi}{\partial x}+\frac{\partial\phi}{\partial y}\frac{\partial\psi}{\partial y}+\frac{\partial\phi}{\partial z}\frac{\partial\psi}{\partial z}$ $+\phi\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}+\phi\frac{\partial^2\psi}{\partial y^2}+\phi\frac{\partial^2\psi}{\partial z^2}$
$=\nabla\phi\cdot\nabla\psi+\phi\Delta \psi$

$\rm{div}(\vec{V}\times\vec{W})=\vec{W}\cdot\rm{rot}\vec{V}-\vec{V}\cdot\rm{rot}\vec{W}$

$\nabla\cdot(\vec{V}\times\vec{W})=\vec{W}\cdot(\nabla\times\vec{V})-\vec{V}\cdot(\nabla\times\vec{W})$

≪定義通りに計算すれば≫
$\vec{V}\times\vec{W}=\begin{vmatrix}\vec{e_x}&\vec{e_y}&\vec{e_z}\\ V_x& V_y& V_z\\ W_x& W_y& W_z\end{vmatrix}$
$=(V_yW_z-V_zW_y,\hspace{5}V_zW_x-V_xW_z,\hspace{5}V_xW_y-V_yW_x)$
$\rm{div}(\vec{V}\times\vec{W})$
$=\frac{\partial}{\partial x}(V_yW_z-V_zW_y)$
$+\frac{\partial}{\partial y}(V_zW_x-V_xW_z)$
$+\frac{\partial}{\partial z}(V_xW_y-V_yW_x)$

積の微分法： $\frac{\partial}{\partial x}(V_yW_z)=\frac{\partial V_y}{\partial x}W_z+ V_y\frac{\partial W_z}{\partial x}$
などにより
$\frac{\partial V_y}{\partial x}W_z$ $+ V_y\frac{\partial W_z}{\partial x}$ $-\frac{\partial V_z}{\partial x}W_y$ $-V_z\frac{\partial W_y}{\partial x}$
$+\frac{\partial V_z}{\partial y}W_x$ $+ V_z\frac{\partial W_x}{\partial y}$ $-\frac{\partial V_x}{\partial y}W_z$ $-V_x\frac{\partial W_z}{\partial y}$
$+\frac{\partial V_x}{\partial z}W_y$ $+ V_x\frac{\partial W_y}{\partial z}$ $-\frac{\partial V_y}{\partial z}W_x$ $-V_y\frac{\partial W_x}{\partial z}$
$=W_x$\frac{\partial V_z}{\partial y}-\frac{\partial V_y}{\partial z}$+ W_y$\frac{\partial V_x}{\partial z}-\frac{\partial V_z}{\partial x}$$ $+ W_z$\frac{\partial V_y}{\partial x}-\frac{\partial V_x}{\partial y}$$
$-V_x$\frac{\partial W_z}{\partial y}-\frac{\partial W_y}{\partial z}$+ V_y$\frac{\partial W_x}{\partial z}-\frac{\partial W_z}{\partial x}$$ $+ V_z$\frac{\partial W_y}{\partial x}-\frac{\partial W_x}{\partial y}$$
$=\vec{W}\cdot\rm{rot}\vec{V}$ $-\vec{V}\cdot\rm{rot}\vec{W}$

≪ベクトルの内積・外積で表せば≫
$\vec{V}\times\vec{W}=(\vec{e_x}V_x+\vec{e_y}V_y+\vec{e_z}V_z)$
$\times(\vec{e_x}W_x+\vec{e_y}W_y+\vec{e_z}W_z)$
$=\vec{e_x}\times\vec{e_x}V_xW_x+\vec{e_x}\times\vec{e_y}V_xW_y+\vec{e_x}\times\vec{e_z}V_xW_z$
$+\vec{e_y}\times\vec{e_x}V_yW_x+\vec{e_y}\times\vec{e_y}V_yW_y+\vec{e_y}\times\vec{e_z}V_yW_z$
$+\vec{e_z}\times\vec{e_x}V_zW_x+\vec{e_z}\times\vec{e_y}V_zW_y+\vec{e_z}\times\vec{e_z}V_zW_z$
初めの方で示した表2により，各々のベクトルを書き換えると
$=\vec{0}V_xW_x+\vec{e_z}V_xW_y-\vec{e_y}V_xW_z$
$-\vec{e_z}V_yW_x+\vec{0}V_yW_y+\vec{e_x}V_yW_z$
$+\vec{e_y}V_zW_x-\vec{e_x}V_zW_y+\vec{0}V_zW_z$
$=\vec{e_x}(V_yW_z-V_zW_y)+\vec{e_y}(V_zW_x-V_xW_z)$
$+\vec{e_z}(V_xW_y-V_yW_x)$
$\nabla\cdot(\vec{V}\times\vec{W})$
$=(\vec{e_x}\frac{\partial}{\partial x}+\vec{e_y}\frac{\partial}{\partial y}+\vec{e_z}\frac{\partial}{\partial z})$ $\cdot\{\vec{e_x}(V_yW_z-V_zW_y)$
$+\vec{e_y}(V_zW_x-V_xW_z)+\vec{e_z}(V_xW_y-V_yW_x)\}$
初めの方に示した表1により，基本ベクトルの内積を0と1に書き換えると
$=\frac{\partial}{\partial x}(V_yW_z-V_zW_y)$
$+\frac{\partial}{\partial y}(V_zW_x-V_xW_z)$
$+\frac{\partial}{\partial z}(V_xW_y-V_yW_x)$
各々，積の微分法によって微分する
$=\frac{\partial V_y}{\partial x}W_z+ V_y\frac{\partial W_z}{\partial x}-\frac{\partial V_z}{\partial x}W_y-V_z\frac{\partial W_y}{\partial x}$
$+\frac{\partial V_z}{\partial y}W_x+ V_z\frac{\partial W_x}{\partial y}-\frac{\partial V_x}{\partial y}W_z-V_x\frac{\partial W_z}{\partial y}$
$+\frac{\partial V_x}{\partial z}W_y+ V_x\frac{\partial W_y}{\partial z}-\frac{\partial V_y}{\partial z}W_x-V_y\frac{\partial W_x}{\partial z}$
$=W_x$\frac{\partial V_z}{\partial y}-\frac{\partial V_y}{\partial z}$+ W_y$\frac{\partial V_x}{\partial z}-\frac{\partial V_z}{\partial x}$$ $+ W_z$\frac{\partial V_y}{\partial x}-\frac{\partial V_x}{\partial y}$$
$-V_x$\frac{\partial W_z}{\partial y}-\frac{\partial W_y}{\partial z}$+ V_y$\frac{\partial W_x}{\partial z}-\frac{\partial W_z}{\partial x}$$ $+ V_z$\frac{\partial W_y}{\partial x}-\frac{\partial W_x}{\partial y}$$
$=\vec{W}\cdot(\nabla\times\vec{V})-\vec{V}\cdot(\nabla\times\vec{W})$

$\rm{div}\hspace{4}\rm{rot}\vec{V}=0$

$\nabla\cdot(\nabla\times\vec{V})=0$

$\rm{rot}(\vec{V}+\vec{W})=\rm{rot}\vec{V}+\rm{rot}\vec{W}$

$\nabla\times(\vec{V}+\vec{W})=\nabla\times\vec{V}+\nabla\times\vec{W}$

≪定義通りに計算すれば≫
$\vec{V}+\vec{W}=(V_x,V_y,V_z)+(W_x,W_y,W_z)$
$=(V_x+ W_x,V_y+ W_y,V_z+ W_z)$
$\rm{rot}(\vec{V}+\vec{W})$
$=\begin{vmatrix}\vec{e_x}&\vec{e_y}&\vec{e_z}\\ \frac{\partial}{\partial x}& \frac{\partial}{\partial y}& \frac{\partial}{\partial z}\\ V_x+ W_x& V_y+ W_y& V_z+ W_z\end{vmatrix}$
$=\vec{e_x}\{\frac{\partial}{\partial y}(V_z+ W_z)-\frac{\partial}{\partial z}(V_y+ W_y)\}$
$+\vec{e_y}\{\frac{\partial}{\partial z}(V_x+ W_x)-\frac{\partial}{\partial x}(V_z+ W_z)\}$
$+\vec{e_z}\{\frac{\partial}{\partial x}(V_y+ W_y)-\frac{\partial}{\partial y}(V_x+ W_x)\}$
$=\vec{e_x}\{(\frac{\partial V_z}{\partial y}-\frac{\partial V_y}{\partial z})+(\frac{\partial W_z}{\partial y}-\frac{\partial W_y}{\partial z})\}$
$+\vec{e_y}\{(\frac{\partial V_x}{\partial z}-\frac{\partial V_z}{\partial x})+(\frac{\partial W_x}{\partial z}-\frac{\partial W_z}{\partial x})\}$
$+\vec{e_z}\{(\frac{\partial V_y}{\partial x}-\frac{\partial V_x}{\partial y})+(\frac{\partial W_y}{\partial x}-\frac{\partial W_x}{\partial y})\}$
$=\(\frac{\partial V_z}{\partial y}-\frac{\partial V_y}{\partial z},\hspace{5}\frac{\partial V_x}{\partial z}-\frac{\partial V_z}{\partial x}$ $,\hspace{5}\frac{\partial V_y}{\partial x}-\frac{\partial V_x}{\partial y}\Big)$
$+\(\frac{\partial W_z}{\partial y}-\frac{\partial W_y}{\partial z},\hspace{5}\frac{\partial W_x}{\partial z}-\frac{\partial W_z}{\partial x}$ $,\hspace{5}\frac{\partial W_y}{\partial x}-\frac{\partial W_x}{\partial y}\Big)$
$=\rm{rot}\vec{V}+\rm{rot}\vec{W}$
≪ベクトルの内積・外積で表せば≫

外積の展開公式がそのまま使える
$\vec{a}\times(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\times\vec{b}+\vec{a}\times\vec{c}$

$\nabla\times(\vec{V}+\vec{W})=\nabla\times\vec{V}+\nabla\times\vec{W}$

$\rm{rot}(\phi\vec{V})=(\rm{grad}\hspace{2}\phi)\times\vec{V}+\phi\hspace{2}\rm{rot}\vec{V}$

$\nabla\times(\phi\vec{V})=(\nabla\phi)\times\vec{V}+\phi(\nabla\times\vec{V})$

≪定義通りに計算すれば≫
$\phi\vec{V}=(\phi V_x,\hspace{4}\phi V_y,\hspace{4}\phi V_z)$
$\rm{rot}(\phi\vec{V})=\begin{vmatrix}\vec{e_x}&\vec{e_y}&\vec{e_z}\\ \frac{\partial}{\partial x}& \frac{\partial}{\partial y}& \frac{\partial}{\partial z}\\ \phi V_x& \phi V_y& \phi V_z\end{vmatrix}$
$=\vec{e_x}\{\frac{\partial}{\partial y}(\phi V_z)-\frac{\partial}{\partial z}(\phi V_y)\}$
$+\vec{e_y}\{\frac{\partial}{\partial z}(\phi V_x)-\frac{\partial}{\partial x}(\phi V_z)\}$
$+\vec{e_z}\{\frac{\partial}{\partial x}(\phi V_y)-\frac{\partial}{\partial y}(\phi V_x)\}$

積の微分法： $\frac{\partial}{\partial y}(\phi V_z)=\frac{\partial \phi}{\partial y}V_z+ \phi\frac{\partial V_z}{\partial y}$
などにより
$\vec{e_x}\{\frac{\partial\phi}{\partial y}V_z+\phi\frac{\partial V_z}{\partial y}-\frac{\partial\phi}{\partial z}V_y-\phi\frac{\partial V_y}{\partial z}\}$
$+\vec{e_y}\{\frac{\partial\phi}{\partial z}V_x+\phi\frac{\partial V_x}{\partial z}-\frac{\partial\phi}{\partial x}V_z-\phi\frac{\partial V_z}{\partial x}\}$
$+\vec{e_z}\{\frac{\partial\phi}{\partial x}V_y+\phi\frac{\partial V_y}{\partial x}-\frac{\partial\phi}{\partial y}V_x-\phi\frac{\partial V_x}{\partial y}\}$
$=\vec{e_x}\{\frac{\partial\phi}{\partial y}V_z-\frac{\partial\phi}{\partial z}V_y+\phi(\frac{\partial V_z}{\partial y}-\frac{\partial V_y}{\partial z})\}$
$+\vec{e_y}\{\frac{\partial\phi}{\partial z}V_x-\frac{\partial\phi}{\partial x}V_z+\phi(\frac{\partial V_x}{\partial z}-\frac{\partial V_z}{\partial x})\}$
$+\vec{e_z}\{\frac{\partial\phi}{\partial x}V_y-\frac{\partial\phi}{\partial y}V_x+\phi(\frac{\partial V_y}{\partial x}-\frac{\partial V_x}{\partial y})\}$
$=\begin{vmatrix}\vec{e_x}&\vec{e_y}&\vec{e_z}\\ \frac{\partial\phi}{\partial x}& \frac{\partial\phi}{\partial y}& \frac{\partial\phi}{\partial z}\\ V_x& V_y& V_z\end{vmatrix}$ $+\phi\begin{vmatrix}\vec{e_x}&\vec{e_y}&\vec{e_z}\\ \frac{\partial}{\partial x}& \frac{\partial}{\partial y}& \frac{\partial}{\partial z}\\ V_x& V_y& V_z\end{vmatrix}$
$=(\rm{grad}\hspace{2}\phi)\times\vec{V}+\phi\hspace{2}\rm{rot}\vec{V}$
≪ベクトルの内積・外積で表せば≫
$\rm{grad}\rightarrow\nabla,\hspace{10}\rm{rot}\rightarrow\nabla\times$ と対応させると
$\nabla\times(\phi\vec{V})=(\nabla\phi)\times\vec{V}+\phi(\nabla\times\vec{V})$

$\rm{rot}\hspace{4}\rm{grad}\hspace{4}\phi=\vec{0}$

$\nabla\times(\nabla\phi)=\vec{0}$

≪定義通りに計算すれば≫
$\rm{grad}\phi=$\frac{\partial\phi}{\partial x},\hspace{2}\frac{\partial\phi}{\partial y},\hspace{2}\frac{\partial\phi}{\partial z}$$
$\rm{rot}\hspace{5}\rm{grad}\hspace{5}\phi$
$=\vec{e_x}\{\frac{\partial}{\partial y}$\frac{\partial\phi}{\partial z}$-\frac{\partial}{\partial z}$\frac{\partial\phi}{\partial y}$\}$
$+\vec{e_y}\{\frac{\partial}{\partial z}$\frac{\partial\phi}{\partial x}$-\frac{\partial}{\partial x}$\frac{\partial\phi}{\partial z}$\}$
$+\vec{e_z}\{\frac{\partial}{\partial x}$\frac{\partial\phi}{\partial y}$-\frac{\partial}{\partial y}$\frac{\partial\phi}{\partial x}$\}$
連続関数については，偏微分の順序を交換しても等しいから
$\frac{\partial}{\partial y}$\frac{\partial\phi}{\partial z}$=\frac{\partial}{\partial z}$\frac{\partial\phi}{\partial y}$$
などが成り立つ
したがって， $\rm{rot}\hspace{5}\rm{grad}\hspace{5}\phi=\vec{0}$
≪ベクトルの内積・外積で表せば≫
$\rm{rot}\rightarrow\nabla\times,\hspace{10}\rm{grad}\rightarrow\nabla$ のように対応させると
$\nabla\times(\nabla\phi)=\vec{0}$

$\rm{rot}\hspace{4}\rm{rot}\hspace{4}\vec{V}=\rm{grad}\hspace{4}\rm{div}\hspace{4}\vec{V}-\Delta\vec{V}$

$\nabla\times(\nabla\times\vec{V})=\nabla(\nabla\cdot\vec{V})-\Delta\vec{V}$

≪定義通りに計算すれば≫
$\rm{rot}\vec{V}=\begin{vmatrix}\vec{e_x}&\vec{e_y}&\vec{e_z}\\ \frac{\partial}{\partial x}& \frac{\partial}{\partial y}& \frac{\partial}{\partial z}\\ V_x& V_y& V_z\end{vmatrix}$
$=\Big(\frac{\partial V_z}{\partial y}-\frac{\partial V_y}{\partial z},\hspace{3}$ $\frac{\partial V_x}{\partial z}-\frac{\partial V_z}{\partial x},\hspace{3}\frac{\partial V_y}{\partial x}-\frac{\partial V_x}{\partial y}\Big)$
$\rm{rot}\hspace{4}\rm{rot}\vec{V}$
$=\vec{e_x}\{\frac{\partial}{\partial y}$\frac{\partial V_y}{\partial x}-\frac{\partial V_x}{\partial y}$$ $-\frac{\partial}{\partial z}$\frac{\partial V_x}{\partial z}-\frac{\partial V_z}{\partial x}$\Bigr\}$
$+\vec{e_y}\{\frac{\partial}{\partial z}(\frac{\partial V_y}{\partial x}-\frac{\partial V_x}{\partial y})-\frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial V_z}{\partial y}-\frac{\partial V_y}{\partial z})\}$
$+\vec{e_z}\{\frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial V_z}{\partial y}-\frac{\partial V_y}{\partial z})-\frac{\partial}{\partial y}(\frac{\partial V_x}{\partial z}-\frac{\partial V_z}{\partial x})\}$
x成分は
$\frac{\partial^2}{\partial y\partial x}V_y-\frac{\partial^2}{\partial y^2}V_x-\frac{\partial^2}{\partial z^2}V_x+\frac{\partial^2}{\partial z\partial x}V_z$
$\frac{\partial^2}{\partial x^2}V_x$ を足して引くと
$\frac{\partial^2}{\partial x^2}V_x+\frac{\partial^2}{\partial y\partial x}V_y+\frac{\partial^2}{\partial z\partial x}V_z$ $-$\frac{\partial^2}{\partial x^2}V_x+\frac{\partial^2}{\partial y^2}V_x+\frac{\partial^2}{\partial z^2}V_x$$
$=\frac{\partial}{\partial x}$\frac{\partial V_x}{\partial x}+\frac{\partial V_y}{\partial y}+\frac{\partial V_z}{\partial z}$$ $-$\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}$V_x$
$=\frac{\partial}{\partial x}\rm{div}\vec{V}-\Delta V_x$
同様にして，ｙ，ｚ成分は各々
$\frac{\partial}{\partial y}\rm{div}\vec{V}-\Delta V_y$
$\frac{\partial}{\partial x}\rm{div}\vec{V}-\Delta V_z$
まとめると
$$\frac{\partial}{\partial x},\hspace{3}\frac{\partial}{\partial y},\hspace{3}\frac{\partial}{\partial z}$\rm{div}\vec{V}-\Delta(V_x,\hspace{3}V_y,\hspace{3}V_z)$
$=\rm{grad}\hspace{4}\rm{div}\hspace{4}\vec{V}-\Delta\vec{V}$
≪結果をベクトルの内積・外積で表せば≫
$\rm{rot}\rightarrow\nabla\times,\hspace{10}\rm{grad}\rightarrow\nabla,\hspace{10}\rm{div}\rightarrow\nabla\cdot$ のように対応させると
$\rm{rot}\hspace{4}\rm{rot}\hspace{4}\vec{V}=\rm{grad}\hspace{4}\rm{div}\hspace{4}\vec{V}-\Delta\vec{V}$
は，次の形に書ける
$\nabla\times(\nabla\times\vec{V})=\nabla(\nabla\cdot\vec{V})-\Delta\vec{V}$

$\Delta(\phi\psi)=\psi\Delta\phi+\phi\Delta\psi+ 2\rm{grad}\phi\cdot\rm{grad}\psi$

$\Delta(\phi\psi)=\psi\Delta\phi+\phi\Delta\psi+ 2\nabla\phi\cdot\nabla\psi$

≪定義通りに計算すれば≫
$\Delta(\phi\psi)=\frac{\partial^2(\phi\psi)}{\partial x^2}+\frac{\partial^2(\phi\psi)}{\partial y^2}+\frac{\partial^2(\phi\psi)}{\partial z^2}$
xによる微分の部分は
$\frac{\partial (\phi\psi)}{\partial x}=\frac{\partial \phi}{\partial x}\psi+\phi\frac{\partial \psi}{\partial x}$
$\frac{\partial}{\partial x}\big(\frac{\partial (\phi\psi)}{\partial x}\big)$ $=\frac{\partial}{\partial x}\big(\frac{\partial \phi}{\partial x}\psi\big)+\frac{\partial}{\partial x}\big(\phi\frac{\partial \psi}{\partial x}\big)$
$=\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}\psi+\frac{\partial\phi}{\partial x}\frac{\partial \psi}{\partial x}$ $+\frac{\partial\phi}{\partial x}\frac{\partial \psi}{\partial x}+\phi\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}$
$=\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}\psi+ 2\frac{\partial\phi}{\partial x}\frac{\partial \psi}{\partial x}+\phi\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}$
同様にして，y,zによる微分の部分は
$\frac{\partial^2\phi}{\partial y^2}\psi+ 2\frac{\partial\phi}{\partial y}\frac{\partial \psi}{\partial y}+\phi\frac{\partial^2\psi}{\partial y^2}$
$\frac{\partial^2\phi}{\partial z^2}\psi+ 2\frac{\partial\phi}{\partial z}\frac{\partial \psi}{\partial z}+\phi\frac{\partial^2\psi}{\partial z^2}$
これらを加えると
$\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}\psi+\frac{\partial^2\phi}{\partial y^2}\psi+\frac{\partial^2\phi}{\partial z^2}\psi$
$+ 2$\frac{\partial\phi}{\partial x}\frac{\partial \psi}{\partial x}+\frac{\partial\phi}{\partial y}\frac{\partial \psi}{\partial y}+\frac{\partial\phi}{\partial z}\frac{\partial \psi}{\partial z}$$
$+\phi\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}\phi\frac{\partial^2\psi}{\partial y^2}\phi\frac{\partial^2\psi}{\partial z^2}$
$=\psi\Delta\phi+\phi\Delta\psi+ 2\rm{grad}\phi\cdot\rm{grad}\psi$

≪ベクトルの内積・外積で表せば≫
前記の結果により
$\nabla(\phi\psi)=\phi\nabla\psi+\psi\nabla\phi$
$\nabla\cdot(\nabla(\phi\psi))=\nabla\cdot(\phi\nabla\psi)+\nabla\cdot(\psi\nabla\phi)$
また
$\nabla\cdot(\phi\vec{V})=\nabla\phi\cdot\vec{V}+\phi\nabla\cdot\vec{V}$ により
$\nabla\cdot(\phi\nabla\psi)=\nabla\phi\cdot\nabla\psi+\phi\nabla\cdot\nabla\psi$
$=\nabla\phi\cdot\nabla\psi+\phi\Delta\psi$
$\nabla\cdot(\psi\nabla\phi)=\nabla\psi\cdot\nabla\phi+\psi\nabla\cdot\nabla\phi$
$=\nabla\psi\cdot\nabla\phi+\psi\Delta\phi$
結局
$\nabla\cdot(\nabla(\phi\psi))=\psi\Delta\phi+\phi\Delta\psi+ 2\nabla\psi\cdot\nabla\phi$
$\Delta(\phi\psi))=\psi\Delta\phi+\phi\Delta\psi+ 2\nabla\psi\cdot\nabla\phi$

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