数列,関数の極限

→ 携帯版は別頁 ■数列,関数の極限 → 印刷用PDF版は別頁 ※正しい番号をクリックしてください．平成16年度技術士第一次試験問題［共通問題］【数学】Ⅲ-1 　発散する（収束しない）数列は，次のどれか． 1 2− 31+(−1)n 4(1+)n 5 解説 1について分母→∞，分子→∞のときは，各々を最大項でくくるとよい == → 0×1=0 2について根号を含む場合，「分母の無理化」（分子の有理化）が有効なことがある −== → 0 3について (−1)nは (1)　nが偶数のとき，1 (2)　nが奇数のとき，−1 となる．したがって，1+(−1)nは (1)　nが偶数のとき，2 (2)　nが奇数のとき，0 となって，どこまで行っても値の範囲が小さくならない（振動する）から → 収束しない 4について次の極限値は，自然対数の底の定義となっており，重要な極限として覚えておく必要がある (1+)n=e (e=2.71828...) 5について次の極限は，x→0の場合のもので，この問題とは関係ないことに注意 =1 この問題では，分子は−1≦sin nθ≦1であるのに対して，分母はn→∞となるから 0=≦≦=0 → 3	○この頁に登場する【問題】は，公益社団法人日本技術士会のホームページに掲載されている「技術士第一次試験過去問題共通科目A 数学」の引用です．（=公表された著作物の引用） ○【解説】は個人の試案ですが，Ｗｅｂ教材化にあたって「問題の転記ミス」「考え方の間違い」「プログラムの作動ミス」などが含まれる場合があり得ます．　問題や解説についての質問等は，原著作者を煩わせることなく，当Ｗｅｂ教材の作成者（<浅尾>）に対して行ってください．平成17年度技術士第一次試験問題［共通問題］【数学】Ⅲ-3 　　２つの数列{an}∞n=1，{bn}∞n=1について，次の命題のうち正しいものはどれか． 1an<bn (n=1,2,3,...)ならばan<bnである 2数列{anbn}∞n=1が収束するならば，{an}∞n=1，{bn}∞n=1 はともに収束する． 3an=∞かつbn=∞ならば，(an−bn)=0である． 4数列{an−bn}∞n=1が収束し，数列{an}∞n=1も収束するならば，数列{bn}∞n=1も収束する． 5(an−bn)=∞ならｂan=∞かつbn=−∞である．解説 1について有限のnについて，an<bnのとき， an<bnとなる場合とan=bn となる場合があり，一般にはan≦bnとなる．したがって，an<bnとはいえない． ≪不等号が成り立たない例≫ an=, bn=のとき， an<bnであるが，an=bn 2について ≪成り立たない例≫ an=, bn=nのとき， anbn=1であるが bn=∞となる 3について ≪成り立たない例≫ an=n2, bn=nのとき， an=∞, bn=∞であるが (an−bn)=n(n−1)=∞となる 4について ≪成り立つ：証明≫ (an−bn)=α, an=β（α, βは有限確定値）のとき，（収束する数列の和や差は収束するから） bn={an−(an−bn)}=an−(an−bn)=β−α となる 5について ≪成り立たない例≫ an=n2, bn=nのとき， (an−bn)=n(n−1)=∞ であるが an=∞, bn=∞ となる → 4
平成18年度技術士第一次試験問題［共通問題］【数学】Ⅲ-1 　=2が成立するa, bの値は，次のどれか．ただし，eは自然対数の底とする． 1a=0, b=0 2a=1, b=0 3a=−1, b=1 4a=2, b=1 5a=−2, b=1 解説（必要条件で値を絞る）分母→0であるとき，有限確定の極限をもつためには，分子→0が必要条件になる．したがって，（分子）→1−b=0 b=1 …(1) (1)を原式に代入すると　=2 次に，左辺に【ロピタルの定理】 f(x), g(x)がx=aの近傍で微分可能で f(x)=0, g(x)=0のときが存在するならば =が成り立つを適用する．　=2 より，分母→0であるとき，有限確定の極限をもつためには，分子→0が必要条件になる．したがって，（分子）→2+a=0 a=−2 …(2) （十分条件を満たすことを示す） a=−2, b=1のとき，元の極限値が実際に2となることは，次のようにして示せる．（分母→0，分子→0） =（分母→0，分子→0） ==2 → 5	平成19年度技術士第一次試験問題［共通問題］【数学】Ⅲ-1 　次の数列のうち，収束するものはどれか．ただし，対数は自然対数とする． 1log∞n=1 2∞n=1 32+(−1)n∞n=1 4∞n=1 5cos nπ∞n=1 解説 1について log=log 1−log n=− log n n→∞のとき− log n→−∞：収束しない 2について n→∞のとき分子は有限で，分母→∞だから，分数→0：収束する 3について (−1)nは (1)　nが偶数のとき，1 (2)　nが奇数のとき，−1 となる．したがって，2+(−1)nは (1)　nが偶数のとき，3 (2)　nが奇数のとき，1 となって，どこまで行っても値の範囲が小さくならない（振動する）から → 収束しない 4について分母→∞，分子→∞のときは，各々を最大項でくくるとよい ==n → ∞：収束しない 5について cos nπは (1)　nが偶数のとき，1 (2)　nが奇数のとき，−1 となる．したがって，どこまで行っても値の範囲が小さくならない（振動する）から → 収束しない → 2
平成20年度技術士第一次試験問題［共通問題］【数学】Ⅲ-1 　極限値は，次のどれか． 1−2 2−1 30 41 52 解説 =(−) ここで=1だから (−)=−()2=−1 → 2	平成21年度技術士第一次試験問題［共通問題］【数学】Ⅲ-1 　極限値は，次のどれか． 10 2 3 41 5∞ 解説【ロピタルの定理】 f(x), g(x)がx=aの近傍で微分可能で f(x)=0, g(x)=0のときが存在するならば =が成り立つロピタルの定理を適用する ==== → 2
平成22年度技術士第一次試験問題［共通問題］【数学】Ⅲ-1 　極限値は，次のどれか．ただし，eは自然対数の底とする． 10 2 3 4 51 解説ロピタルの定理を適用する = ※循環論法という疑いを持たれないためには，この段階で指数関数に関する重要な極限 =1 を利用する方がよいが，この問題のような選択問題においては，途中経過は採点されないので，次のように，さらにロピタルの定理を適用して，楽な計算にしても結果は同じになる == → 3	平成23年度技術士第一次試験問題［共通問題］【数学】Ⅲ-1 　0<a<bのとき，極限値は，次のどれか． 1a 2b 32a 42b 50 解説分母，分子を各々の最大項でくくるとよい ==b× ここで，0<a<bのとき，0<<1だから ()n→0, ()n+1→0 したがって，原式の極限はb → 2
平成24年度技術士第一次試験問題［共通問題］【数学】Ⅲ-1 　極限値は，次のどれか． 1− 2− 30 4 5 解説	平成21年度と同じ問題である（選択肢は異なる組合せ）．重要問題は何度でも出るということか？ロピタルの定理を適用する ==== → 4

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■［個別の頁からの質問に対する回答］[数列,関数の極限について／16.11.11］

平成23年度の問題についてなんですが、lim[x→∞]なのにnの関数になっていました。一つ一つの解説が丁寧で分かりやすかったです。これからも使わせていただきたいと思います。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．転記ミスがありましたので訂正しました．