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■数列,関数の極限
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平成16年度技術士第一次試験問題［共通問題］
【数学】Ⅲ-1 発散する（収束しない）数列は，次のどれか． 1   n−1n2+1
2 √n+1−√n
31+(−1)n4 (1+1n)n
5sin nθn解説
1について
分母→∞，分子→∞のときは，各々を最大項でくくるとよい
2についてn−1n2+1=n(1−1n)n2(1+1n2)=1n1−1n1+1n2 → 0×1=0
根号を含む場合，「分母の無理化」（分子の有理化）が有効なことがある
3について√n+1−√n=(n+1)−(n)√n+1+√n=1√n+1+√n → 0
(−1)nは
4について(1) nが偶数のとき，1 (2) nが奇数のとき，−1 となる．したがって，1+(−1)nは (1) nが偶数のとき，2 (2) nが奇数のとき，0 となって，どこまで行っても値の範囲が小さくならない（振動する）から → 収束しない
次の極限値は，自然対数の底の定義となっており，重要な極限として覚えておく必要がある
limn→∞(1+
5について1n)n=e (e=2.71828...)
次の極限は，x→0の場合のもので，この問題とは関係ないことに注意
limx→0
sin xx=1この問題では，分子は−1≦sin nθ≦1であるのに対して，分母はn→∞となるから 0=limn→∞ −1n≦limn→∞sin nθn≦limn→∞1n=0→ 3 |
○この頁に登場する【問題】は，公益社団法人日本技術士会のホームページに掲載されている「技術士第一次試験過去問題 共通科目A 数学」の引用です．（=公表された著作物の引用）
○【解説】は個人の試案ですが，Ｗｅｂ教材化にあたって「問題の転記ミス」「考え方の間違い」「プログラムの作動ミス」などが含まれる場合があり得ます． 問題や解説についての質問等は，原著作者を煩わせることなく，当Ｗｅｂ教材の作成者（<浅尾>mwm48961@uniteddigital.com）に対して行ってください．
平成17年度技術士第一次試験問題［共通問題］
【数学】Ⅲ-3 ２つの数列{an}∞n=1，{bn}∞n=1について，次の命題のうち正しいものはどれか． 1an<bn (n=1,2,3,...)ならばlimn→∞an<limn→∞bnである 2数列{anbn}∞n=1が収束するならば，{an}∞n=1，{bn}∞n=1 はともに収束する． 3limn→∞an=∞かつlimn→∞bn=∞ならば，limn→∞(an−bn)=0である． 4数列{an−bn}∞n=1が収束し，数列{an}∞n=1も収束する ならば，数列{bn}∞n=1も収束する． 5limn→∞(an−bn)=∞ならｂlimn→∞an=∞かつlimn→∞bn=−∞である． 解説
1について
有限のnについて，an<bnのとき，
limn→∞an<limn→∞bnとなる場合とlimn→∞an=limn→∞bn となる場合 があり，一般にはlimn→∞an≦limn→∞bnとなる． したがって，limn→∞an<limn→∞bnとはいえない． ≪不等号が成り立たない例≫ an= 1n, bn=2nのとき，an<bnであるが，limn→∞an=limn→∞bn 2について
≪成り立たない例≫
an= 1n, bn=nのとき，limn→∞anbn=1であるが limn→∞bn=∞となる 3について
≪成り立たない例≫
an=n2, bn=nのとき， limn→∞an=∞, limn→∞bn=∞であるが limn→∞(an−bn)=limn→∞n(n−1)=∞となる 4について
≪成り立つ：証明≫
limn→∞(an−bn)=α, limn→∞an=β（α, βは有限確定値）のとき， （収束する数列の和や差は収束するから） limn→∞bn=limn→∞{an−(an−bn)}=limn→∞an−limn→∞(an−bn)=β−α となる 5について
≪成り立たない例≫
an=n2, bn=nのとき， limn→∞(an−bn)=limn→∞n(n−1)=∞ であるが limn→∞an=∞, limn→∞bn=∞ となる → 4 |
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平成18年度技術士第一次試験問題［共通問題］
【数学】Ⅲ-1 limx→0 e2x+ax−bx2=2が成立するa, bの値は，次のどれか．ただし，eは自然対数の底とする． 1a=0, b=0 2a=1, b=0 3a=−1, b=1 4a=2, b=1 5a=−2, b=1 解説
（必要条件で値を絞る）
分母→0であるとき，有限確定の極限をもつためには，分子→0が必要条件になる． したがって，（分子）→1−b=0 b=1 …(1) (1)を原式に代入すると limx→0 e2x+ax−1x2=2次に，左辺に
【ロピタルの定理】
を適用する．f(x), g(x)がx=aの近傍で微分可能で limx→af(x)=0, limx→ag(x)=0のとき limx→a f ’(x)g’(x)が存在するならばlimx→a f(x)g(x)=limx→af ’(x)g’(x)が成り立つlimx→0 2e2x+a2x=2より，分母→0であるとき，有限確定の極限をもつためには，分子→0が必要条件になる． したがって，（分子）→2+a=0 a=−2 …(2) （十分条件を満たすことを示す） a=−2, b=1のとき，元の極限値が実際に2となることは，次のようにして示せる． limx→0 e2x−2x−1x2 （分母→0，分子→0）=limx→0 2e2x−22x（分母→0，分子→0）=limx→0 4e2x2=2
→ 5
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平成19年度技術士第一次試験問題［共通問題］
【数学】Ⅲ-1 次の数列のうち，収束するものはどれか．ただし，対数は自然対数とする． 1 log1n∞n=1
2(−2)n!∞n=1
32+(−1)n∞n=14 n2n+1∞n=1
5cos nπ∞n=1解説
1について
log
2について1n=log 1−log n=− log n
n→∞のとき− log n→−∞：収束しない
n→∞のとき
3について分子は有限で，分母→∞だから，分数→0：収束する
(−1)nは
4について(1) nが偶数のとき，1 (2) nが奇数のとき，−1 となる．したがって，2+(−1)nは (1) nが偶数のとき，3 (2) nが奇数のとき，1 となって，どこまで行っても値の範囲が小さくならない（振動する）から → 収束しない
分母→∞，分子→∞のときは，各々を最大項でくくるとよい
5についてn2n+1=n2n(1+1n)=n 11+1n → ∞：収束しない
cos nπは
(1) nが偶数のとき，1 (2) nが奇数のとき，−1 となる．したがって，どこまで行っても値の範囲が小さくならない（振動する）から → 収束しない → 2 |
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limx→0
cos2x−1x2=limx→0(−sin2xx2)ここでlimx→0 sinxx=1だからlimx→0(− sin2xx2)=−limx→0(sinxx)2=−1 → 2 |
【ロピタルの定理】
ロピタルの定理を適用するf(x), g(x)がx=aの近傍で微分可能で limx→af(x)=0, limx→ag(x)=0のとき limx→a f ’(x)g’(x)が存在するならばlimx→a f(x)g(x)=limx→af ’(x)g’(x)が成り立つlimx→0 x−sinxx3=limx→01−cosx3x2=limx→0sinx6x=limx→016sinxx=16
→ 2 |
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ロピタルの定理を適用する
limx→0 ex−x−1x2=limx→0ex−12x
※循環論法という疑いを持たれないためには，この段階で指数関数に関する重要な極限
=limx→0limx→0  ex−1x=1
を利用する方がよいが，この問題のような選択問題においては，途中経過は採点されないので，次のように，さらにロピタルの定理を適用して，楽な計算にしても結果は同じになる
ex2=12
→ 3
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分母，分子を各々の最大項でくくるとよい
an+1+bn+1an+bn=bn+1(an+1bn+1+1)bn(anbn+1)=b×an+1bn+1+1anbn+1
ここで，0<a<bのとき，0<ab<1だから
(ab)n→0, (ab)n+1→0
したがって，原式の極限はb
→ 2
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平成21年度と同じ問題である（選択肢は異なる組合せ）．重要問題は何度でも出るということか？
ロピタルの定理を適用するlimx→0 x−sinxx3=limx→01−cosx3x2=limx→0sinx6x=limx→016sinxx=16
→ 4
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