無限級数(2)

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収束半径，テイラー展開，マクローリン展開
テイラーの定理，マクローリンの定理
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ラプラス変換の基本
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ガンマ関数,ベータ関数
ベクトル解析の公式

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ページ内の目次（題名をクリックすればジャンプできます）
1. 整級数（べき級数）の収束半径
2. 収束半径の求め方
3. 偶数次，奇数次の項のみから成る級数
4. テイラー展開，マクローリン展開

1. 整級数（べき級数）の収束半径

　整級数 $\sum_{n=1}^{\infty}a_nx^n$ が $\mid x\mid\lt r$ のとき収束し， $\mid x\mid\gt r$ のとき発散するとき， $r\hspace{5}(0\underline{\le}r\underline{\le}\infty)$ を整級数の収束半径という．

　ただし， $r=0$ とは，不等号に関わらず $x=0$ で収束し，それ以外では収束しないことを表す．
　 $r=\infty$ とはすべての実数 $x$ について収束することを表す．
　 $r=\pm r$ のときは，収束する場合も，発散する場合もあるので，個別に具体的な級数に応じて考えるしかない．

【例1.1】

初項1，公比1，項数nの（有限）等比数列の和 $1+ x+ x^2+ x^3+\cdots+ x^{n-1}=\frac{x^n-1}{x-1}=\frac{1-x^n}{1-x}$
は，n→∞のとき

ア）

|x|<1のとき， $x^n\rightarrow 0$ だから，整級数は収束する．
$1+ x+ x^2+ x^3+\cdots+ x^{n-1}+\cdots=\frac{1}{1-x}$

イ）

|x|>1のとき， $x^n\rightarrow \infty\hspace{5}(\pm\infty)$ だから，整級数は発散する．

ウ）

x=1のとき，1+1+1+…→∞だから，整級数は発散する．
x=−1のとき，x=1−1+1−1+1…　振動して発散する

2. 収束半径の求め方

　整級数 $\sum_{n=1}^{\infty}a_n x^n$ について，次の極限値が存在する
とき， $r$ は収束半径である．（ $r$ は∞や0になることもある）
(1) ←ダランベールの判定法
$r=\lim_{n\rightarrow\infty}\mid\frac{a_{n}}{a_{n+ 1}}\mid$
(2) ←コーシーの判定法
$r=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\sqrt[n]{\mid a_n\mid}}$

　証明は，このページにあります．
　概して(1)のダランベール方式が簡単に計算できる．(2)は $a_n=(\cdots)^n$ のような形になっている場合に使うとよい．

　上記の(1)もしくは(2)を使えば，ほとんどの整級数について「収束半径」を求めることができる．これに対して，「収束域を求めなさい」という問題では， $\mid x\mid=r$ となる値についても調べて答える必要がある．
　例えば，【例1.1】で述べた
$1+ x+ x^2+ x^3+\cdots+ x^{n-1}$
の収束半径は $r=1$ と答えればよいが，収束域を求めよという問題に答えるには， $-1\lt x\lt 1$ …(*1)， $-1\underline{\le}x\lt 1$ …(*2)， $-1\lt x\underline{\le}1$ …(*3)， $-1\underline{\le}x\underline{\le}1$ …(*4)のうちのどれが正しいかも述べなければならない：(*1)が正しい．
　後で述べる【例4.4】の $f(x)=\log(1+ x)$ では，収束半径 $r=1$ に対して，収束域は $-1\lt x\underline{\le}1$ になる．

【例2.1】

　整級数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}$ の収束半径 $r$ を求めてください．

(1)の方法で求める
$a_n=\frac{1}{n},\hspace{5}a_{n+ 1}=\frac{1}{n+ 1}$
だから
$r=\lim_{n\rightarrow\infty}\mid\frac{a_{n}}{a_{n+ 1}}\mid=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n+ 1}{n}=\lim_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{n})=1$

【例2.2】

整級数 $\sum_{n=1}^{\infty}n(n-1)x^n$ の収束半径 $r$ を求めてください

(1)の方法で求める
$a_n=n(n-1),\hspace{5}a_{n+ 1}=(n+ 1)n$
だから
$r=\lim_{n\rightarrow\infty}\mid\frac{a_{n}}{a_{n+ 1}}\mid=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n(n-1)}{(n+ 1)n}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n-1}{n+ 1}$
$=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1-\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n}}=1$

【例2.3】

整級数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{\sqrt{n}}$ の収束半径 $r$ を求めてください

(1)の方法で求める
$a_n=\frac{1}{\sqrt{n}},\hspace{5}a_{n+ 1}=\frac{1}{\sqrt{n+ 1}}$
だから
$r=\lim_{n\rightarrow\infty}\mid\frac{a_{n}}{a_{n+ 1}}\mid=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sqrt{n+ 1}}{\sqrt{n}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{1+\frac{1}{n}}$
$=1$

【例2.4】

整級数 $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$ の収束半径 $r$ を求めてください

　先頭の項として $a_0=\frac{x^0}{0!}$ を使う．
　なお， $x^0=1,\hspace{5}0!=1$ なので，先頭の項は1である

(1)の方法で求める
$a_n=\frac{1}{n!},\hspace{5}a_{n+ 1}=\frac{1}{(n+ 1)!}$
だから
$r=\lim_{n\rightarrow\infty}\mid\frac{a_{n}}{a_{n+ 1}}\mid=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{(n+ 1)!}{n!}=\lim_{n\rightarrow\infty}(n+ 1)$
$=\infty$

この整級数は，指数関数 $e^x$ のマクローリン級数展開になっており，
$e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$
の収束半径が $\infty$ である．すなわち，この級数はどんな実数値 $x$ に対しても収束する.

【例2.5】

整級数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n^n}$ の収束半径 $r$ を求めてください

$a_n=\frac{1}{n^n},\hspace{5}a_{n+ 1}=\frac{1}{(n+ 1)^{n+ 1}}$
だから
$r=\lim_{n\rightarrow\infty}\mid\frac{a_{n}}{a_{n+ 1}}\mid=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{(n+ 1)^{n+ 1}}{n^n}$
$=\lim_{n\rightarrow\infty}\{\frac{n+ 1}{n}\}^n\cdot(n+ 1)=\lim_{n\rightarrow\infty}\{1+\frac{1}{n}\}^n\cdot(n+ 1)$
ここで
$\lim_{n\rightarrow\infty}\{1+\frac{1}{n}\}^n=e,\hspace{5}\lim_{n\rightarrow\infty}(n+ 1)=\infty$
であるから
$r=\infty$

（別解）
この問題のように， $a_n=(\cdots)^n$ の形をしているものは，(2)の方法が有効であることが多い．
$a_n=\frac{1}{n^n}$
だから
$r=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\sqrt[n]{\mid a_n\mid}}=\lim_{n\rightarrow\infty}n=\infty$

【例2.6】

整級数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^n}{n^n}x^n$ の収束半径 $r$ を求めてください

$a_n=\frac{3^n}{n^n},\hspace{5}a_{n+ 1}=\frac{3^{n+ 1}}{(n+ 1)^{n+ 1}}$
だから
$r=\lim_{n\rightarrow\infty}\mid\frac{a_{n}}{a_{n+ 1}}\mid=\frac{1}{3}\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{(n+ 1)^{n+ 1}}{n^n}$
$=\frac{1}{3}\lim_{n\rightarrow\infty}\{\frac{n+ 1}{n}\}^n\cdot(n+ 1)=\frac{1}{3}\lim_{n\rightarrow\infty}\{1+\frac{1}{n}\}^n\cdot(n+ 1)$
ここで
$\lim_{n\rightarrow\infty}\{1+\frac{1}{n}\}^n=e,\hspace{5}\lim_{n\rightarrow\infty}(n+ 1)=\infty$
であるから
$r=\infty$

（別解）
この問題のように， $a_n=(\cdots)^n$ の形をしているものは，(2)の方法が有効であることが多い．
$a_n=(\frac{3}{n})^n$
だから
$r=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\sqrt[n]{\mid a_n\mid}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{3}=\infty$

【例2.7】

整級数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^n}{n^2}x^n$ の収束半径 $r$ を求めてください

$a_n=\frac{3^n}{n^2},\hspace{5}a_{n+ 1}=\frac{3^{n+ 1}}{(n+ 1)^{2}$
だから
$r=\lim_{n\rightarrow\infty}\mid\frac{a_{n}}{a_{n+ 1}}\mid=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{3^n}{n^2}\cdot\frac{(n+ 1)^2}{3^{n+ 1}}$
$=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{3}(1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2})=\frac{1}{3}$

【例2.8】

整級数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{2^n}x^n$ の収束半径 $r$ を求めてください

$a_n=\frac{n^2}{2^n},\hspace{5}a_{n+ 1}=\frac{(n+ 1)^2}{2^{n+ 1}$
だから
$r=\lim_{n\rightarrow\infty}\mid\frac{a_{n}}{a_{n+ 1}}\mid=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n^2}{2^n}\cdot\frac{2^{n+ 1}}{(n+ 1)^2}$
$=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2}{(\frac{n+ 1}{n})^2}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2}{1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}}=2$

【例2.9】

整級数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^n}{n!}x^n$ の収束半径 $r$ を求めてください

$a_n=\frac{n^n}{n!},\hspace{5}a_{n+ 1}=\frac{(n+ 1)^{n+ 1}}{(n+ 1)!}$
だから
$r=\lim_{n\rightarrow\infty}\mid\frac{a_{n}}{a_{n+ 1}}\mid=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n^n}{n!}\cdot\frac{(n+ 1)!}{(n+ 1)^{n+ 1}}$
$=\lim_{n\rightarrow\infty}(\frac{n}{n+ 1})^n=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{(1+\frac{1}{n})^n}=\frac{1}{e}$

3. 偶数次，奇数次の項のみから成る級数

　偶数次の項のみから成る級数，例えば
$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots$
に対して，ダランベールの判定法を用いた収束半径の求め方
$r=\lim_{n\rightarrow\infty}\mid\frac{a_{n}}{a_{n+ 1}}\mid$
を形式的に適用しようとすると，奇数のnに対する $a_n$ が0であることから，
ア）nが奇数のとき
$\frac{a_{n}}{a_{n+ 1}}=0$
イ）nが偶数のとき
$\frac{a_{n}}{a_{n+ 1}}$ は定義できない
となって，収束半径が計算できないように見えるが，基本に立ち返って考えると，次のようになっている．

【ダランベールの収束判定法】
正項級数 $\sum a_n$ について，
$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{n+ 1}}{a_{n}}=R$
が存在して， $R\lt 1$ ならば $\sum a_n$ は収束する． $R\gt 1$ ならば発散する．

$\downarrow$

【整級数の収束半径】

整級数 $\sum_{n=1}^{\infty}a_nx^n$ について，
$\lim_{n\rightarrow\infty}\mid\frac{a_{n}}{a_{n+ 1}}\mid=r$
が存在すれば， $r$ が収束半径．

（証明）
$\lim_{n\rightarrow\infty}\mid\frac{a_{n+ 1}x^{n+ 1}}{a_{n}x^n}\mid=\lim_{n\rightarrow\infty}\mid\frac{a_{n+ 1}}{a_{n}}\mid\cdot\mid x\mid=R\lt 1$
ならば収束するから，
$\mid x\mid\lt\lim_{n\rightarrow\infty}\mid\frac{a_{n}}{a_{n+ 1}}\mid$
のとき収束する．すなわち，収束半径 $r$ は
$r=\lim_{n\rightarrow\infty}\mid\frac{a_{n}}{a_{n+ 1}}\mid$

　上記の内容を，偶数次の項だけから成る級数，例えば，
$1+\frac{x^2}{2^2}+\frac{x^4}{2^4}+\cdots$
に適用してみると
$\lim_{n\rightarrow\infty}\mid\frac{x^{2(n+ 1)}}{2^{2(n+ 1)}}\cdot\frac{2^{2n}}{x^{2n}}\mid=\frac{\mid x^2\mid}{4}\lt 1$
のとき収束するから，
$\mid x\mid\lt 2$
すなわち収束半径は2となる．

【例3.1】

整級数 $\sum_{n=1}^{\infty}3^nx^{2n}$ の収束半径 $r$ を求めてください

（解答）
$\lim_{n\rightarrow\infty}\mid\frac{3^{n+ 1}x^{2(n+ 1)}}{3^nx^{2n}}\mid=\mid 3x^2\mid\lt 1$
のとき収束するから，
$\mid x^2\mid\lt\frac{1}{3}$
$\mid x\mid\lt\frac{1}{\sqrt{3}}$
すなわち，収束半径は $r=\frac{1}{\sqrt{3}}$

【例3.2】

整級数 $x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots$ の収束半径 $r$ を求めてください

この級数は
$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots$
$=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+ 1}}{(2n+ 1)!}$
という形で， $\sin x$ のマクローリン級数展開を表しており，この級数の収束半径を求めるということです．

（解答）
$\lim_{n\rightarrow\infty}\mid\frac{(-1)^{n+ 1}\frac{x^{2n+ 3}}{(2n+ 3)!}}{(-1)^n\frac{x^{2n+ 1}}{(2n+ 1)!}}\mid=\lim_{n\rightarrow\infty}\mid\frac{-x^2}{(2n+ 2)(2n+ 3)}\mid\lt 1$
のとき収束するから，
$\mid x^2\mid\lt\infty$
すなわち， $\mid x\mid\lt\infty$ ， $r=\infty$ になり，この級数は任意の実数 $x$ に対して収束する．

【例3.3】

整級数
$\sum_{n=1}^{\infty}(2^n-1)x^{2n}$
の収束半径 $r$ を求めてください

（解答）
$\lim_{n\rightarrow\infty}\mid\frac{(2^{n+ 1}-1)x^{2(n+ 1)}}{(2^n-1)x^{2n}}\mid=\lim_{n\rightarrow\infty}\mid\frac{2-\frac{1}{2^n}}{1-\frac{1}{2^n}}x^2\mid$
$=\mid 2x^2\mid\lt 1$
のとき収束する．
$\mid x^2\mid\lt\frac{1}{2}$
$\mid x\mid\lt\frac{1}{\sqrt{2}}$
すなわち， $r=\frac{1}{\sqrt{2}}$

4. テイラー展開，マクローリン展開

【マクローリン展開】
　関数 $f(x)$ が $x=0$ で何回でも微分可能であるとき，
$f(x)=f(0)+ f\apos(0)x+\frac{f\apos\apos(0)}{2!}x^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+\cdots$

【近似式】　 $x\simeq 0$ のとき，ｎ次式までを使って表した近似式をｎ次近似という．
1次近似： $f(x)\simeq f(0)+ f\apos(0)x$
2次近似： $f(x)\simeq f(0)+ f\apos(0)x+\frac{f\apos\apos(0)}{2!}x^2$
3次近似： $f(x)\simeq f(0)+ f\apos(0)x+\frac{f\apos\apos(0)}{2!}x^2+\frac{f^{(3)}(0)}{n!}x^3$

【テイラー展開】
　関数 $f(x)$ が閉区間 $[a,\hspace{3}b]$ において連続で，開区間 $(a,\hspace{3}b)$ において何回でも微分可能であるとき
$f(x)=f(a)+ f\apos(a)(x-a)+\frac{f\apos\apos(a)}{2!}(x-a)^2$
$+\cdots+\frac{f\apos\apos(a)}{n!}(x-a)^n+\cdots$

【近似式】　 $x\simeq a$ のとき， $(x-a)$ のｎ次式までを使って表した近似式をｎ次近似という．
1次近似： $f(x)\simeq f(a)+ f\apos(a)(x-a)$
2次近似： $f(x)\simeq f(a)+ f\apos(a)(x-a)+\frac{f\apos\apos(a)}{2!}(x-a)^2$
n次近似：同様にして $(x-a)$ のｎ次式で表したもの

（証明）
　テイラー展開において $a=0$ の場合がマクローリン展開であるから，テイラー展開の式を証明する．
　微分可能な関数 $f(x)$ については，平均値の定理が成り立つ．
$\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f\apos(c)$ （ $c$ は $a$ と $x$ の間の値）
　この式は， $x$ が $a$ と十分近い値のとき
$\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\simeq f\apos(a)$
という近似値が成り立つことを示している．すなわち
$f(x)\simeq f(a)+ f\apos(a)(x-a)$ …(1)

(1)は $x-a$ の１次式まで使って書かれているが，これを2次式まで精度を上げたとき
$f(x)\simeq f(a)+ f\apos(a)(x-a)+ a_2(x-a)^2$ …(2)
の係数 $a_2$ は次のようにして求められる．
　(2)の両辺を微分すると
$f\apos(x)\simeq f\apos(a)+ 2a_2(x-a)$
　さらにもう一度微分すると
$f\apos\apos(x)\simeq 2a_2$
　したがって
$a_2=\frac{f\apos\apos(x)}{2}$
$x$ が $a$ と十分近い値のとき
$a_2=\frac{f\apos\apos(a)}{2}$
　同様にして，
$f(x)\simeq f(a)+ f\apos(a)(x-a)+\frac{1}{2}(x-a)^2+ a_3(x-a)^3$ …(3)
の係数 $a_3$ は，両辺を3回微分すると求められる．
$f^{(3)}(x)\simeq 3!a_3$
$a_3\simeq\frac{f^{(3)}(x)}{3!}$
$x$ が $a$ と十分近い値のとき
$a_3\simeq\frac{f^{(3)}(a)}{3!}$
　このようにして，ｎ次式まで使うと次の形の近似式が得られる．
$f(x)\simeq f(a)+ f\apos(a)(x-a)+\frac{f\apos\apos(a)}{2}(x-a)^2$
$+\frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^3+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$ …(4)
　 $f(x)$ が $x=a$ の近傍で無限回微分可能であるとき，この次数ｎを無限に近づけると，この式は $f(x)$ に収束することが知られている．
$f(x)=f(a)+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}x^n$
　この式を $f(x)$ のテイラー展開と呼び，特に $a=0$ の場合をマクローリン展開という．

【例4.1】

　関数 $f(x)=e^x$ のマクローリン展開，およびその収束半径を求めてください．

（解答）
$f\apos(x)=e^x,\hspace{3}f\apos\apos(x)=e^x,\hspace{3}f^{(n)}(x)=e^x,\hspace{3}\cdots$ だから
$f(0)=1,\hspace{3}f\apos(0)=1,\hspace{3}f\apos\apos(0)=1,\hspace{3}f^{(n)}(0)=1,\hspace{3}\cdots$
$f(x)=1+ x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots$
∑記号を使って書けば
$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$

収束半径 $r$ は次のように求められる．（前述の例2.4の再掲）
$a_n=\frac{1}{n!},\hspace{5}a_{n+ 1}=\frac{1}{(n+ 1)!}$
だから
$r=\lim_{n\rightarrow\infty}\mid\frac{a_{n}}{a_{n+ 1}}\mid=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{(n+ 1)!}{n!}=\lim_{n\rightarrow\infty}(n+ 1)$
$=\infty$

【例4.2】

　関数 $f(x)=\cos x$ のマクローリン展開，およびその収束半径を求めてください．

（解答）
$f\apos(x)=-\sin x,\hspace{3}f\apos\apos(x)=-\cos x,\hspace{3}f^{(3)}(x)=\sin x,$
$f^{(4)}(x)=\cos x$
（４の倍数で１周する）
$f(0)=1,\hspace{3}f\apos(0)=0,\hspace{3}f\apos\apos(0)=-1,\hspace{3}f^{(3)}(0)=0,\hspace{3}\hspace{3}f^{(4)}(0)=1$
$f(x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots$
∑記号を使って書けば
$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}$

収束半径 $r$ は次のように求められる．（前述の例3.2と類似）
$\lim_{n\rightarrow\infty}\mid\frac{(-1)^{n+ 1}\frac{x^{2(n+ 1)}}{(2(n+ 1))!}}{(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}}\mid=\lim_{n\rightarrow\infty}\mid\frac{x^2}{(2n+ 1)(2n+ 2)}\mid\lt 1$
のとき収束するから，
$\mid x^2\mid\lt\infty$
すなわち， $\mid x\mid\lt\infty$ ， $r=\infty$ になり，この級数は任意の実数 $x$ に対して収束する．

【例4.3】

　関数 $f(x)=xe^x$ のマクローリン展開，およびその収束半径を求めてください．

（解答）
$f\apos(x)=(x+ 1)e^x,\hspace{3}f\apos\apos(x)=(x+ 2)e^x,\hspace{3}f^{(n)}(x)=(x+ n)e^x,\hspace{3}\cdots$ だから
$f(0)=0,\hspace{3}f\apos(0)=1,\hspace{3}f\apos\apos(0)=2,\hspace{3}f^{(n)}(0)=n,\hspace{3}\cdots$
$f(x)=0+ x+\frac{2x^2}{2!}+\cdots+\frac{nx^n}{n!}+\cdots$
$=x+\frac{x^2}{1!}+\cdots+\frac{x^n}{(n-1)!}+\cdots$
∑記号を使って書けば
$f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{(n-1)!}$

（参考）
通常，例4.1に示した $e^x$ のマクローリン展開は，何度も見るから覚えてしまうことが多い．その結果からスタートすると，即答可能になる．
$e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$
だから
$xe^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n+ 1}}{n!}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{(n-1)!}$

収束半径 $r$ は次のように求められる．
$a_n=\frac{1}{(n-1)!},\hspace{5}a_{n+ 1}=\frac{1}{n!}$
だから
$r=\lim_{n\rightarrow\infty}\mid\frac{a_{n}}{a_{n+ 1}}\mid=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n!}{(n-1)!}=\lim_{n\rightarrow\infty}n=\infty$

【例4.4】

　関数 $f(x)=\log(1+ x)$ のマクローリン展開，およびその収束半径を求めてください．

（解答）
$f\apos(x)=\frac{1}{x+ 1},\hspace{3}f\apos\apos(x)=-\frac{1}{(x+ 1)^2},\hspace{3}f^{(3)}(x)=\frac{2}{(x+ 1)^3}$
$f^{(4)}(x)=-\frac{6}{(x+ 1)^4},\hspace{3}f^{(5)}(x)=\frac{24}{(x+ 1)^5}$
$f^{(n)}(x)=(-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{(x+ 1)^n}$
だから
$f(0)=0,\hspace{3}f\apos(0)=1,\hspace{3}f\apos\apos(0)=-1,\hspace{3}f^{(3)}(0)=2,\hspace{3}\cdots$
$f^{(n)}(0)=(-1)^{n-1}(n-1)!$
$f(x)=0+ x-\frac{1}{2!}x^2+\frac{2}{3!}x^3-\frac{3!}{4!}x^4+\cdots$
$=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots$
∑記号を使って書けば
$f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}$

収束半径 $r$ は次のように求められる．
$a_n=\frac{(-1)^{n-1}}{n},\hspace{5}a_{n+ 1}=\frac{(-1)^{n}}{n+ 1}$
だから
$r=\lim_{n\rightarrow\infty}\mid\frac{a_{n}}{a_{n+ 1}}\mid=\lim_{n\rightarrow\infty}\mid-\frac{n+ 1}{n}\mid=1$

【例4.5】

　関数 $f(x)=\sqrt{1-x}$ のマクローリン展開を $x^2$ の項まで求めてください．

（解答）
$f\apos(x)=-\frac{1}{2\sqrt{1-x}},\hspace{3}f\apos\apos(x)=-\frac{1}{4(1-x)^{\frac{3}{2}}}$
だから
$f(0)=1,\hspace{3}f\apos(0)=-\frac{1}{2},\hspace{3}f\apos\apos(0)=-\frac{1}{4}$
$f(x)\simeq 1-\frac{1}{2}\cdot\frac{x}{1!}-\frac{1}{4}\cdot\frac{x^2}{2!}$
$f(x)\simeq 1-\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}$

【例4.6】

　 $\mid x\mid$ が十分小さいとき， $\frac{1}{1+ x}$ の2次の近似式を求めてください．

（解答）
$f\apos(x)=-\frac{1}{(1+ x)^2},\hspace{3}f\apos\apos(x)=\frac{2}{(1+ x)^3}$
だから
$f(0)=1,\hspace{3}f\apos(0)=-1,\hspace{3}f\apos\apos(0)=2$
$f(x)\simeq 1+\frac{-1}{1!}x+\frac{2}{2!}x^2$
$=1-x+ x^2$

（マクローリン展開の応用）

【例5.1】

　マクローリン展開を利用して，次の極限値を求めてください．
(1) $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x-x}{x^3}$
(2) $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\cos x-1}{x^2}$
(3) $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\tan x-x}{x^3}$

（解答）
(1)
$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots$
だから
$\sin x-x=-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots$
$\frac{\sin x-x}{x^3}=-\frac{1}{3!}+\frac{x^2}{5!}-\cdots\rightarrow -\frac{1}{6}\hspace{5}(x\rightarrow 0)$

(2)
$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots$
だから
$\cos x-1=-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots$
$\frac{\cos x-1}{x^2}=-\frac{1}{2!}+\frac{x^2}{4!}-\cdots\rightarrow -\frac{1}{2}\hspace{5}(x\rightarrow 0)$
(3)
$\tan x=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+\frac{17x^7}{315}+\cdots$
だから
$\tan x-x=\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+\frac{17x^7}{315}+\cdots$
$\frac{\tan x-x}{x^3}=\frac{1}{3}+\frac{2x^2}{15}+\frac{17x^4}{315}+\cdots\rightarrow \frac{1}{3}\hspace{5}(x\rightarrow 0)$

これらの問題は，ロピタルの定理を用いても解ける．どちらの方法も微分を利用する．微分を使わずに解くのは難しい．

（その他，マクローリン展開と収束域の例）
**三角関数**
(5.1) $\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots$
$=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}x^{2n-1}}{(2n-1)!}\hspace{10}(-\infty\lt x\lt\infty)$ ･･･(5.1A)
$=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n+ 1}}{(2n+ 1)!}\hspace{10}(-\infty\lt x\lt\infty)$ ･･･(5.1B)
(5.2) $\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots$
$=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}x^{2n-2}}{(2n-2)!}\hspace{10}(-\infty\lt x\lt\infty)$ ･･･(5.2A)
$=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}\hspace{10}(-\infty\lt x\lt\infty)$ ･･･(5.2B)
(5.3) $\tan x=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+\frac{17x^7}{315}+\cdots$
$=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_n}{(2n)!}x^{2n-1}\hspace{10}(-\frac{\pi}{2}\lt x\lt\frac{\pi}{2})$
B_nはベルヌーイ数
$B_0=1,\hspace{3}B_1=-\frac{1}{2},\hspace{3}B_2=\frac{1}{6},\hspace{3}B_3=0,\hspace{3}B_4=-\frac{1}{30},\hspace{3}B_5=0$
$B_6=\frac{1}{42},\hspace{3}B_7=0,\hspace{3}B_8=-\frac{1}{30},\hspace{3}B_9=0,\hspace{3}B_{10}=\frac{5}{66},\hspace{3}\cdots$

3以上の奇数に対するベルヌーイ数は0になるので，偶数項かつ正の数で考えた $B_1=\frac{1}{6},\hspace{3}B_2=\frac{1}{30},\hspace{3}B_3=\frac{1}{42},\hspace{3}B_4=\frac{1}{30},\hspace{3}B_5=\frac{5}{66},\hspace{3}\cdots$
をベルヌーイ数とする書物もある．

(5.4) $\cot x=\frac{1}{x}-\frac{x}{3}-\frac{x^3}{45}-\frac{2x^5}{945}-\cdots$
$=\sum_{n=1}^{\infty}\{-\frac{2^{2n}B_n}{(2n)!}x^{2n-1}\}\hspace{10}(-\pi\lt x\lt\pi)$
(5.5) $\rm{cosec}x=\frac{1}{x}+\frac{x}{6}+\frac{7x^3}{360}+\frac{31x^5}{15120}+\cdots$
$=\sum_{n=1}^{\infty}\{\frac{2(2^{2n-1}-1)B_n}{(2n)!}x^{2n-1}\}\hspace{10}(-\pi\lt x\lt\pi)$
(5.6) $\sec x=1+\frac{x^2}{2}+\frac{5x^4}{24}+\frac{61x^6}{720}+\cdots$
$=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{E_n}{(2n)!}x^{2n}\hspace{10}(-\frac{\pi}{2}\lt x\lt\frac{\pi}{2})$
E_nはオイラー数
$E_0=1,\hspace{3}E_1=0,\hspace{3}E_2=-1,\hspace{3}E_3=0,\hspace{3}E_4=5,\hspace{3}E_5=0$
$E_6=-61,\hspace{3}E_7=0,\hspace{3}E_8=1385,\hspace{3}E_9=0,\hspace{3}\cdots$

奇数に対するオイラー数は0になるので，偶数項かつ正の数で考えた $E_1=1,\hspace{3}E_2=5,\hspace{3}E_3=61,\hspace{3}E_4=1385$
をオイラー数とする書物もある．

**逆三角関数**
(6.1)
$\sin^{-1} x=x+\frac{1}{2\cdot 3}x^3+\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 5}x^5+\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 7}x^7+\cdots$
$=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2n-2)!}{2^{2n-2}\{(n-1)!\}^2(2n-1)}x^{2n-1}\hspace{10}(-1\lt x\lt 1)$

二重階乗の記号を使うと，もう少し簡単に書ける．
二重階乗とは，
(1) ある数が偶数であるとき，その数以下の正の偶数を掛け合わせたもの
$2!!=2,\hspace{3}4!!=2\cdot 4=8,\hspace{3}6!!=2\cdot 4\cdot 6=48,\hspace{3}\cdots$
ただし， $0!!=1$ は別途定義する．
(2) ある数が奇数であるとき，その数以下の正の奇数を掛け合わせたもの
$1!!=1,\hspace{3}3!!=1\cdot 3=3,\hspace{3}5!!=1\cdot 3\cdot 5=15$
$7!!=1\cdot 3\cdot 5\cdot 7=105,\hspace{3}\cdots$
この二重階乗の記号を用いると
$\sin^{-1}=x+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\cdot\frac{x^{2n+ 1}}{2n+ 1}\hspace{10}(-1\lt x\lt 1)$

(6.2)

$A+ B=\frac{\pi}{2}$

のとき， $\sin A=x\rightarrow\sin^{-1}x=A$
$\cos B=x\rightarrow\cos^{-1}x=B$
$\sin^{-1}x+\cos^{-1}x=\frac{\pi}{2}$

$\sin^{-1}x+\cos^{-1}x=\frac{\pi}{2}$
すなわち
$\cos^{-1}=\frac{\pi}{2}-\sin^{-1}x$
が成り立つから，(6.1)から次の式が得られる．

$\cos^{-1} x=\frac{\pi}{2}-\left(x+\frac{1}{2\cdot 3}x^3+\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 5}x^5+\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 7}x^7+\cdots\right)$
$=\frac{\pi}{2}-\left(x+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\cdot\frac{x^{2n+ 1}}{2n+ 1}\right)\hspace{10}(-1\lt x\lt 1)$
(6.3)
$\tan^{-1}x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\cdots$
$=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}x^{2n-1}}{2n-1}\hspace{10}(-1\lt x\lt 1)$

**双曲線関数**
(7.1)
$\sinh x=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^7}{7!}+\cdots$
$=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2n-1}}{2n-1}\hspace{10}(-\infty\lt x\lt\infty)$
(7.2)
$\cosh x=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^6}{6!}+\cdots$
$=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{(2n)!}\hspace{10}(-\infty\lt x\lt\infty)$

(7.3)
$\tanh x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{2x^5}{15}-\frac{17x^7}{315}+\cdots$
$=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_n}{(2n)!}x^{2n-1}\hspace{10}(-\frac{\pi}{2}\lt x\lt\frac{\pi}{2})$
B_nはベルヌーイ数

**指数関数**
(8.1) $e^x=1+ x+\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{4!}x^4+\cdots$
$=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\hspace{10}(-\infty\lt x\lt\infty)$
(8.2) $e^{2x}=1+ 2x+\frac{2^2}{2!}x^2+\frac{2^3}{3!}x^3+\frac{2^4}{4!}x^4+\cdots$
$=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^nx^n}{n!}\hspace{10}(-\infty\lt x\lt\infty)$
（ $e^x$ のマクローリン展開の結果に $2x$ を代入すればよい）
(8.3) $e^{-x}=1-x+\frac{1}{2!}x^2-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{4!}x^4-\cdots$
$=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-x)^n}{n!}\hspace{10}(-\infty\lt x\lt\infty)$
（ $e^x$ のマクローリン展開の結果に $-x$ を代入すればよい）
(8.4) $xe^x=x+ x^2+\frac{1}{2!}x^3+\frac{1}{3!}x^4+\frac{1}{4!}x^5+\cdots$
$=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n+ 1}}{n!}\hspace{10}(-\infty\lt x\lt\infty)$
（ $e^x$ のマクローリン展開の両辺に $2x$ を掛けるとよい）

(8.5) $e^x\sin x=x+ x^2+\frac{x^3}{3}-\frac{x^5}{30}-\frac{x^6}{90}-\cdots$
$(-\infty\lt x\lt\infty)$
（※一般項を求めて∑記号で表すことは，かなり骨の折れる作業になる）
(8.6) $e^x\cos x=1+ x-\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{6}-\frac{x^5}{30}+\cdots$
$(-\infty\lt x\lt\infty)$
(8.7) $e^{\sin x}=1+ x+\frac{x^2}{2!}-\frac{3x^4}{4!}-\frac{8x^5}{5!}-\frac{3x^6}{6!}+\cdots$
$(-\infty\lt x\lt\infty)$
(8.8) $e^{\cos x}=e\left(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{4x^4}{4!}-\frac{31x^6}{6!}+\cdots\right)$
$(-\infty\lt x\lt\infty)$
(8.9) $e^{\tan x}=1+ x+\frac{x^2}{2!}+\frac{3x^3}{3!}+\frac{9x^4}{4!}+\frac{37x^5}{5!}+\cdots$
$(-\frac{\pi}{2}\lt x\lt\frac{\pi}{2})$

**対数関数**
(9.1) $\log(1+ x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots$
$=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}x^{n}}{n}\hspace{10}(-1\lt x\underline{\le}1)$
(9.2) $\log(1+\sin x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}-\frac{x^4}{12}+\cdots$
（※一般項をｎの式として示し， $\mid\frac{a_n}{a_{n+ 1}}\mid$ の極限を計算するという手順を踏まなければ，収束半径は求められない［以下の問題も同様］）

(9.3) $\log(\cos x)=-\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{12}-\frac{x^6}{45}-\cdots$
(9.4) $\log(e^x+ 1)=\log 2+\frac{x}{2}+\frac{x^2}{8}-\frac{x^4}{192}+\cdots$
(9.5)
$\log(x^2+ x+ 1)=x+\frac{x^2}{2}-\frac{2x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}-\cdots$

**無理関数**
(10.1) $\sqrt{1+ x}=1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{2^2\cdot 2!}+\frac{3x^3}{2^3\cdot 3!}-\frac{3\cdot 5x^4}{2^4\cdot 4!}+\cdots$
(10.2) $\sqrt{1-x}=1-\frac{x}{2}-\frac{x^2}{2^2\cdot 2!}-\frac{3x^3}{2^3\cdot 3!}-\frac{3\cdot 5x^4}{2^4\cdot 4!}+\cdots$

(10.3)
$\frac{1}{\sqrt{1+ x}}=1-\frac{x}{2}+\frac{3x^2}{2^2\cdot 2!}-\frac{3\cdot 5x^3}{2^3\cdot 3!}+\frac{3\cdot 5\cdot 7x^4}{2^4\cdot 4!}-\cdots$
(10.4)
$\frac{1}{\sqrt{1+ x^2}}=1-\frac{x^2}{2}+\frac{3x^4}{2^2\cdot 2!}-\frac{3\cdot 5x^6}{2^3\cdot 3!}+\frac{3\cdot 5\cdot 7x^8}{2^4\cdot 4!}-\cdots$

**分数関数など**
(11.1)
$\frac{1}{1-x}}=1+ x+ x^2+ x^3+ x^4+\cdots$
$=\sum_{n=0}^{\infty}x^n\hspace{20}(-1\lt x\lt 1)$
(11.2)
$\frac{1}{1+ x}}=1-x+ x^2-x^3+ x^4-\cdots$
$=\sum_{n=0}^{\infty}(-x)^n\hspace{20}(-1\lt x\lt 1)$
　分母が２次以上の場合でも，理屈上は
$f\apos(0),\hspace{3}f\apos\apos(0),\hspace{3}f^{(3)}(0),\hspace{3}f^{(4)}(0),\hspace{3}\cdots$ と求めて行けば，マクローリン展開が得られますが，元の分数式のまま微分していくと，しばしば計算が煩雑になります．
　分母が因数分解できる場合は，部分分数分解を利用することにより，上記の(11.1)(11.2)などの和差に帰着できることがあります．
(11.3)
$\frac{1}{1+ 3x+ 2x^2}}=\frac{1}{(1+ x)(1+ 2x)}=\frac{2}{1+ 2x}-\frac{1}{1+ x}$
$=2(1-2x+ 4x^2-8x^3+\cdots)-(1-x+ x^2-x^3+\cdots)$
$=1-3x+ 7x^2-15x^3+\cdots$

(11.4)
$\frac{1}{1+ x-2x^2}}=\frac{1}{(1-x)(1+ 2x)}=\frac{1}{3}\{\frac{2}{1+ 2x}+\frac{1}{1- x}\}$
$=\frac{1}{3}\{2(1-2x+ 4x^2-8x^3+\cdots)+(1+ x+ x^2+ x^3+\cdots)\}$
$=\frac{1}{3}\{3-3x+ 9x^2-15x^3+ 33x^4-\cdots\}$
$=1-x+ 3x^2-5x^3+ 11x^4-\cdots$
分数式の取り扱いとして，分数を商と余りに分けて，分子の次数が分母の次数よりも小さくなるように変形してから，マクローリン展開を考えます．（数研の参考書で「分数式は富士の山」と呼ばれる前処理を行っておきます）
(11.5)
$\frac{2-3x+ 2x^2}{1-3x+ 2x^2}=1+\frac{1}{1-3x+ 2x^2}$
$=1+\frac{1}{(1-x)(1-2x)}=1+\frac{2}{1-2x}-\frac{1}{1-x}$
$=1+ 2(1+ 2x+ 4x^2+\cdots)-(1+ x+ x^2+ x^3+\cdots)$
$=2+ 3x+ 7x^2+ 15x^3+\cdots$
分母が因数分解できない場合（D<0）でも，３乗の形を利用できることもあります．
(11.6)
$\frac{1}{1-x+ x^2}=\frac{1+ x}{1+ x^3}=(1+ x)(1-x^3+ x^6-x^9+\cdots)$
$=1-x^3+ x^6-x^9+\cdots$
$+ x-x^4+ x^7-x^{10}+\cdots$
$=1+ x-x^3-x^4+ x^6+ x^7-x^9-x^{10}+\cdots$

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