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■合成関数
○ ２つの関数の合成関数は，関数の和や積よりももっと有機的に組み合わされたもので，合成関数f(g(x))はf(x)のxの場所にg(x)を代入したものです．
【例１】また，合成関数g(f(x))はg(x)のxの場所にf(x)を代入したものです． f(x)=x2, g(x)=2x+1のとき
f(g(x))=(g(x))2=(2x+1)2
g(f(x))=2(f(x))+1=2(x2)+1
○ 合成関数f(g(x))を記号f○g(x)で表します．
【例２】f(x)=sin x, g(x)=exのとき
f○g(x)=f(g(x))=sin(ex)
g○f(x)=g(f(x))=esin x 右に続く→
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※ 【例１】【例２】からわかるように，合成関数f○gとg○fとは，一般には等しくなりません． ※ 初歩的な注意として，関数を合成するときは，代入すべきxの場所に( )を付けると間違いが少なくなります．
《数年前の話》 以前，「x=−5のときx2の値を求めよ」という中学１年生の問題で，どうしてもx2は−25になるといって頑張る人がおられて，困ったことがあります．
※ f(x)のxの場所が２つ以上あるとき，f(g(x))を求めるためには，それら全部のxの場所をg(x)に書き換える必要があります．彼（彼女？）は「xの場所に( )を付けずに−5を代入していたので−52を求めており，話が合わなかったのである． 【例３】 f(x)=x2+2x, g(x)=x−1のとき
f(g(x))=(x−1)2+2(x−1)=x2−1
f(x)= x+1x−1, g(x)=exのとき
f(g(x))=
ex+1ex−1 |
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以下，正しい番号を選択してください．
f(g(x))=(g(x))2+1=(x−1)2+1=x2−2x+1+1=x2−2x+2
→4
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g○f(x)=g(f(x))=3(x+2)−1=3x+5
→2
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f(x)のxの場所が２つ以上あるとき，f(g(x))を求めるためには，それら全部のxの場所をg(x)に書き換える必要があります．
f(g(x))=(g(x))2−2(g(x))=(x+2)2−2(x+2)=x2+2+4x+4−2x−4=x2+2x
→1
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f(x)のxの場所が２つ以上あるとき，f(g(x))を求めるためには，それら全部のxの場所をg(x)に書き換える必要があります．
f(g(x))= (g(x))−1(g(x))+1=(x+2x−2)−1(x+2x−2)+1=x+2−x+2x+2+x−2=42x=2x
→1
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