逆三角関数

== 逆三角関数 ==

○この頁に登場する【問題】は，公益社団法人日本技術士会のホームページに掲載されている「技術士第一次試験過去問題共通科目A 数学」の引用です．（=公表された著作物の引用）

○【解説】は個人の試案ですが，Ｗｅｂ教材化にあたって「問題の転記ミス」「考え方の間違い」「プログラムの作動ミス」などが含まれる場合があり得ます．
　問題や解説についての質問等は，原著作者を煩わせることなく，当Ｗｅｂ教材の作成者（<浅尾>）に対して行ってください．

【逆三角関数】
○ y=sinxのグラフは，次の図のようになります．

・xの範囲に制限がなければ，一つの与えられたyの値に対して，sinx=yとなるxの値は無数に存在しますが，

−≦x≦

（赤で示した部分）に制限すれば，xの値はただ１通りに定まります．
・区間−≦x≦において，sinx=αを満たす値を主値といい，x=sin−1αで表します．（アークサインアルファと読む）

　初歩的な注意として，sin−1αはとは

関係なく，sinxの逆関数を表す専用の記号となっており，sinnαの逆関数をsin−2αと書くなどと新たに定義しない限りsin−2αなどは定義されていません．
（cos−1α，tan−1αについても同様）

【例】
(1) sin=だから，sin−1=です．

(2) sin−1とは，sinα=となる角αのことです．

（−≦α≦）

　同様にして，sin−1とは，sinβ=となる角βのことです．

（−≦β≦）

○ y=cosxのグラフは，次の図のようになります．

・xの範囲に制限がなければ，一つの与えられたyの値に対して，cosx=yとなるxの値は無数に存在しますが，

0≦x≦π

（赤で示した部分）に制限すれば，xの値はただ１通りに定まります．
・区間0≦x≦πにおいて，cosx=αを満たす値を主値といい，x=cos−1αで表します．
【例】
(1) cos=だから，cos−1=です．

(2) α=cos−1 ⇔ cosα=（0≦α≦π）

　同様に，β=cos−1 ⇔ cosβ=（0≦β≦π）

　したがって，

cos−1+cos−1=α+β=+=

などと計算できます．
αとβが各々主値において確定すればよく，α+βの値の範囲はそれらを使って単純に計算すればよい．

※正しい番号をクリックしてください．

平成16年度技術士第一次試験問題［共通問題］
【数学】Ⅲ-4

　sin(2 cos−1 )の値は，次のどれか．

1 2 3 4 5

解説

cos α=（0≦α≦π）のとき

sin 2α=2 sinα cosα ←２倍角公式

ここで、三角関数の相互関係 sin2α+cos2α=1により

sinα==（0≦α≦πにより（sinα≧0））

したがって

sin 2α=2××=

→5

○ y=tanxのグラフは，次の図のようになります．

・xの範囲に制限がなければ，一つの与えられたyの値に対して，tanx=yとなるxの値は無数に存在しますが，

−<x<

（赤で示した部分）に制限すれば，xの値はただ１通りに定まります．
・区間−<x<において，tanx=αを満たす値を主値といい，x=tan−1αで表します．
【例】
(1) tan=1だから，tan−11=です．

(2) α=tan−1 ⇔ tanα=（−<α<）

　同様に，β=tan−1 ⇔ tanβ=（−<β<）

　したがって，

tan−1+tan−1=α+β=+=

平成17年度技術士第一次試験問題［共通問題］
【数学】Ⅲ-4

　方程式sin−1x=cos−1の値は，次のどれか．

1 2 3 4 5

解説

cos α=（0≦α≦π）とおくと

sin−1x=α= ⇔ x=sinα

ここで、三角関数の相互関係 sin2α+cos2α=1により

sinα==（0≦α≦πにより（sinα≧0））

→4

平成18年度技術士第一次試験問題［共通問題］
【数学】Ⅲ-2

　tan−1(+2)+tan−1(−2)の値は，次のどれか．

10 2 3 4 5

解説

tan α=+2, tan β=−2（−<α, β<）とおくと

三角関数の加法定理により

tan(α+β)===

ここで，0<α<, −<β<0
だから
−<α+β<

α+β=→4

平成19年度技術士第一次試験問題［共通問題］
【数学】Ⅲ-2

　sin−1+cos−1(−)+tan−11の値は，次のどれか．

1−π 2−π 3π 4π 5π

解説

sin α=（−≦α≦）→ α=

cos β=−（0≦β≦π）→ β=

tan γ=1（−<γ<）→ γ=

したがって

α+β+γ=++=π→4

平成20年度技術士第一次試験問題［共通問題］
【数学】Ⅲ-2

　tan(sin−1)の値は，次のどれか．

1 2 3 4 5

解説

sin α=(−<α<) のとき 0<α<

三角関数の相互関係 sin2α+cos2α=1により

cosα==（(0<α<)により cosα>0 ）

したがって

tanα=== →3

平成21年度技術士第一次試験問題［共通問題］
【数学】Ⅲ-2

　３つの値sin−1, cos−1, tan−1について，

次の大小関係のうち正しいものはどれか．

1cos−1<sin−1<tan−1

2cos−1<tan−1<sin−1

3tan−1<cos−1<sin−1

4sin−1<tan−1<cos−1

5sin−1<cos−1<tan−1

解説

sin α=(−≦α≦) のとき α=

cos β=(0≦α≦π) のとき β=

tan γ=(−<α<) のとき

<<だから

β=<γ<=α

したがって

cos−1<tan−1<sin−1 →2

平成22年度技術士第一次試験問題［共通問題］
【数学】Ⅲ-2

　sin−1(−1)+cos−1(−1)+tan−1(−1)の値は，次のどれか．

1− 2− 30 4 5

解説

α=sin−1(−1)とおくと

sinα=−1(−≦α≦) → α=−

β=cos−1(−1)とおくと

cosβ=−1(0≦β≦π) → β=π

γ=tan−1(−1)とおくと

tanγ=−1(−<γ<) → γ=−

したがって

α+β+γ=−+π−= →4

平成23年度技術士第一次試験問題［共通問題］
【数学】Ⅲ-2

　sin(cos−1)の値は，次のどれか．

1 2 3 4 5

解説

α=cos−1とおくと

cosα=(0≦α≦π)

このとき

sin(cos−1)=sinα== (>0) →5

平成24年度技術士第一次試験問題［共通問題］
【数学】Ⅲ-3

　tan−1(2+)+tan−1(2−)の値は，次のどれか．

1 2 3 4 5

解説

α=tan−1(2+)とおくと

tanα=2+ (−<α<)

tanα>0により0<α<

β=tan−1(2−)とおくと

tanβ=2− (−<β<)

tanβ<0により−<β<0

このとき

−<α+β<であって，かつ

tan(α+β)=

===1

α+β= →4

【逆三角関数の性質】

(1.1) $\sin(\sin^{-1}a)=a\hspace{10}(-1\underline{\le}a\underline{\le}1)$
$\sin^{-1}(\sin b)=b\hspace{10}(-\frac{\pi}{2}\underline{\le}b\underline{\le}\frac{\pi}{2})$

（解説）
$\sin b=a\Leftrightarrow b=\sin^{-1}a$ のとき
$\sin(\sin^{-1}a)=\sin b=a$
$\sin^{-1}(\sin b)=\sin^{-1}a=b$
※この性質は，ある関数とその逆関数を合成すると恒等関数 I(x)=x になるということを示している．

(1.2) $\cos(\cos^{-1}a)=a\hspace{10}(-1\underline{\le}a\underline{\le}1)$
$\cos^{-1}(\cos b)=b\hspace{10}(0\underline{\le}b\underline{\le}\pi)$

（解説）
$\cos b=a\Leftrightarrow b=\cos^{-1}a$ のとき
$\cos(\cos^{-1}a)=\cos b=a$
$\cos^{-1}(\cos b)=\cos^{-1}a=b$
※(1.1)と同様，ある関数とその逆関数を合成すると恒等関数 I(x)=x になるということを示している．

(1.3) $\tan(\tan^{-1}a)=a\hspace{10}(-\infty\lt a\lt\infty)$
$\tan^{-1}(\tan b)=b\hspace{10}(-\frac{\pi}{2}\lt b\lt\frac{\pi}{2})$

（解説）
$\tan b=a\Leftrightarrow b=\tan^{-1}a$ のとき
$\tan(\tan^{-1}a)=\tan b=a$
$\tan^{-1}(\tan b)=\tan^{-1}a=b$
※(1.1)(1.2)と同様，ある関数とその逆関数を合成すると恒等関数 I(x)=x になるということを示している．

(2.1) $\sin^{-1}x+\cos^{-1}x=\frac{\pi}{2}\hspace{10}(-1\underline{\le}x\underline{\le}1)$

（解説）

三角関数の公式
$\cos(\frac{\pi}{2}-\theta)=\sin\theta$ …(1)
により
$\cos(\frac{\pi}{2}-\theta)=\sin\theta=x$
のとき
$\sin^{-1}x=\theta$
$\cos^{-1}x=\frac{\pi}{2}-\theta$
だから
$\sin^{-1}x+\cos^{-1}x=\frac{\pi}{2}\hspace{10}(-1\underline{\le}x\underline{\le}1)$
この式は $0\lt\theta\lt\frac{\pi}{2}$ のときは，右図のような直角三角形を考えれば分かるが， $-\frac{\pi}{2}\underline{\le}\theta\underline{\le}\frac{\pi}{2}$ のときでも，(1)が成り立つから式は正しい．

(2.2) $\tan^{-1}x+\cot^{-1}x=\frac{\pi}{2}\hspace{10}(0\lt x)$

（解説）
三角関数の公式
$\cot(\frac{\pi}{2}-\theta)=\tan\theta$ …(2)
により
$\cot(\frac{\pi}{2}-\theta)=\tan\theta=x$
のとき

$\tan^{-1}x=\theta$
$\cot^{-1}x=\frac{\pi}{2}-\theta$
だから
$\tan^{-1}x+\cot^{-1}x=\frac{\pi}{2}\hspace{10}(0\lt x)$
この式は $0\lt\theta\lt\frac{\pi}{2}$ のとき，右図のような直角三角形を考えれば分かる．

(2.3) $\sec^{-1}x+\rm{cosec}^{-1}x=\frac{\pi}{2}\hspace{10}(1\underline{\le}x)$

（解説）
$\frac{1}{\cos\theta}=\sec\theta=x\Leftrightarrow \sec^{-1}x=\theta$
$\frac{1}{\sin(\frac{\pi}{2}-\theta)}=\rm{cosec}^{-1}(\frac{\pi}{2}-\theta)=x\Leftrightarrow \rm{cosec}^{-1}x=\frac{\pi}{2}-\theta$
のとき
$\sec^{-1}x+\rm{cosec}^{-1}x=\theta+\frac{\pi}{2}-\theta=\frac{\pi}{2}$

この式は $0\lt\theta\lt\frac{\pi}{2}$ のとき，右図のような直角三角形を考えれば分かる．
$\frac{1}{x}=\cos\theta\Leftrightarrow x=\frac{1}{\cos\theta}=\sec\theta$
$\frac{1}{x}=\sin(\frac{\pi}{2}-\theta)\Leftrightarrow x=\frac{1}{\sin(\frac{\pi}{2}-\theta)}=\rm{cosec}(\frac{\pi}{2}-\theta)$

(3.1)
$\sin^{-1}x=\cos^{-1}\sqrt{1-x^2}=\tan^{-1}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\hspace{10}(0\lt x\lt 1)$

（解説）
右図において
$\sin\theta=x\Leftrightarrow\theta=\sin^{-1}x$
$\cos\theta=\sqrt{1-x^2}\Leftrightarrow\theta=\cos^{-1}\sqrt{1-x^2}$
$\tan\theta=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\Leftrightarrow\theta=\tan^{-1}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$
だから
$\theta=\sin^{-1}x=\cos^{-1}\sqrt{1-x^2}=\tan^{-1}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$
が成り立つ．

(3.2)
$\cos^{-1}x=\sin^{-1}\sqrt{1-x^2}=\tan^{-1}\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}\hspace{10}(0\lt x\lt 1)$

（解説）
右図において
$\cos\theta=x\Leftrightarrow\theta=\cos^{-1}x$
$\sin\theta=\sqrt{1-x^2}\Leftrightarrow\theta=\sin^{-1}\sqrt{1-x^2}$
$\tan\theta=\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}\Leftrightarrow\theta=\tan^{-1}\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$
だから
$\theta=\cos^{-1}x=\sin^{-1}\sqrt{1-x^2}=\tan^{-1}\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$
が成り立つ．

(3.3)
$\tan^{-1}x=\sin^{-1}\frac{x}{\sqrt{1+ x^2}}=\cos^{-1}\frac{1}{\sqrt{1+ x^2}}\hspace{10}(0\underline{\le}x)$

（解説）
右図において
$\tan\theta=x\Leftrightarrow\theta=\tan^{-1}x$
$\sin\theta=\frac{x}{\sqrt{1+ x^2}}\Leftrightarrow\theta=\sin^{-1}\frac{x}{\sqrt{1+ x^2}}$
$\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{1+ x^2}}\Leftrightarrow\theta=\cos^{-1}\frac{1}{\sqrt{1+ x^2}}$
だから
$\theta=\tan^{-1}x=\sin^{-1}\frac{x}{\sqrt{1+ x^2}}=\cos^{-1}\frac{1}{\sqrt{1+ x^2}}$
が成り立つ．

(4.1) $\sin^{-1}(-x)=-\sin^{-1}x$

（解説）
$\sin y=x$
のとき
$\sin(-y)=-x$
$y=\sin^{-1}x$
$-y=\sin^{-1}(-x)$
だから
$\sin^{-1}(-x)=-\sin^{-1}x$
が成り立つ

(4.2) $\cos^{-1}(-x)=\pi-\cos^{-1}x$

（解説）
$\cos y=x$
のとき
$\cos(\pi-y)=-\cos y=-x$
$y=\cos^{-1}x$
$\pi-y=\cos^{-1}(-x)$
だから
$\cos^{-1}(-x)=\pi-\cos^{-1}x$
が成り立つ

(4.3) $\tan^{-1}(-x)=-\tan^{-1}x$

（解説）
$\tan y=x$
のとき
$\tan(-y)=-\tan y=-x$
$y=\tan^{-1}x$
$-y=\tan^{-1}(-x)$
だから
$\tan^{-1}(-x)=-\tan^{-1}x$
が成り立つ

マクローリン級数を用いて，πを高精度で計算するときなどに利用される定数

(5.1) $\tan^{-1}\frac{1}{2}+\tan^{-1}\frac{1}{3}=\frac{\pi}{4}$

（オイラー）

（解説）
正接の加法定理
$\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$
に， $\tan\alpha=\frac{1}{2},\hspace{3}\tan\beta=\frac{1}{3}$ となる角度 $\alpha,\hspace{3}\beta$ を代入すると
$\tan(\alpha+\beta)=\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}}=\frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}}=1$
となるから
$\alpha+\beta=\frac{\pi}{4}$
$\tan^{-1}\frac{1}{2}+\tan^{-1}\frac{1}{3}=\frac{\pi}{4}$
が成り立つ．

(5.2) $4\tan^{-1}\frac{1}{5}-\tan^{-1}\frac{1}{239}=\frac{\pi}{4}$

（マチン）

（解説）
正接の２倍角公式
$\tan(2\alpha)=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$
に， $\tan\alpha=\frac{1}{5}$ となる角度を代入すると
$\tan(2\alpha)=\frac{\frac{2}{5}}{1-\frac{1}{25}}=\frac{5}{12}$
さらにもう一度，2倍角公式を適用すると
$\tan(4\alpha)=\frac{\frac{10}{12}}{1-\frac{25}{144}}=\frac{120}{119}$
次に， $\tan\beta=\frac{1}{239}$ となる角度を考え，正接の加法定理
$\tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\cdot\tan\beta}$
にこれらの角度 $4\alpha,\hspace{2}\beta$ を代入すると
$\tan(4\alpha-\beta)=\frac{\tan 4\alpha-\tan\beta}{1+\tan 4\alpha\cdot\tan\beta}$
$=\frac{\frac{120}{119}-\frac{1}{239}}{1+\frac{120}{119}\cdot\frac{1}{239}}=\frac{28561}{28561}=1$
したがって
$4\alpha-\beta=\frac{\pi}{4}$
$4\tan^{-1}\frac{1}{5}-\tan^{-1}\frac{1}{239}=\frac{\pi}{4}$

一般に，整数nに対して次の式が成り立つ
(5.3) $\tan^{-1}\frac{1}{n+ 1}+\tan^{-1}\frac{n}{n+ 2}=\frac{\pi}{4}$

（解説）
正接の加法定理
$\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$
に， $\tan\alpha=\frac{1}{n+ 1},\hspace{3}\tan\beta=\frac{n}{n+ 2}$ となる角度 $\alpha,\hspace{3}\beta$ を代入すると
$\tan(\alpha+\beta)=\frac{\frac{1}{n}+\frac{2}{n+ 2}}{1-\frac{1}{n+ 1}\cdot\frac{n}{n+ 2}}=\frac{n^2+ 2n+ 2}{n^2+ 2n+ 2}=1$
となるから
$\alpha+\beta=\frac{\pi}{4}$
$\tan^{-1}\frac{1}{n+ 1}+\tan^{-1}\frac{n}{n+ 2}=\frac{\pi}{4}$
が成り立つ．

n=1, 2のときはオイラーの公式になる．
n=3, 4, 5, 6, ...を代入すると
$\tan^{-1}\frac{1}{4}+\tan^{-1}\frac{3}{5}=\frac{\pi}{4}$
$\tan^{-1}\frac{1}{5}+\tan^{-1}\frac{2}{3}=\frac{\pi}{4}$
$\tan^{-1}\frac{1}{6}+\tan^{-1}\frac{5}{7}=\frac{\pi}{4}$
$\tan^{-1}\frac{1}{7}+\tan^{-1}\frac{3}{4}=\frac{\pi}{4}$

（その他）

(6.1) $\cos^{-1}\frac{7}{25}=2\sin^{-1}\frac{3}{5}$

（解説）
$\sin\alpha=\frac{3}{5}$ のとき
$\cos 2\alpha=1-2\sin^2\alpha=1-2\times\frac{9}{25}=\frac{7}{25}$
$\alpha=\sin^{-1}\frac{3}{5},\hspace{5}2\alpha=\cos^{-1}\frac{7}{25}$ だから
$\cos^{-1}\frac{7}{25}=2\sin^{-1}\frac{3}{5}$

(6.2) $\sin^{-1}(-\frac{24}{25})=2\sin^{-1}\frac{4}{5}$

（解説）
$\sin\alpha=\frac{4}{5}$ …(1)のとき
$\sin\alpha=\frac{4}{5}\gt\sin\frac{\pi}{4}$ だから
$\frac{\pi}{2}\lt 2\alpha\lt \pi$
$\cos\alpha\lt 0$ …(2)
$\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha=1-\frac{16}{25}=\frac{9}{25}$
(2)により $\cos\alpha=-\frac{3}{5}$
(1)(2)より $\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=-2\times\frac{4}{5}\times\frac{3}{5}=-\frac{24}{25}$ …(3)
(1)より $\alpha=\sin^{-1}\frac{4}{5}$
(3)より $2\alpha=\sin^{-1}(-\frac{24}{25})$
したがって， $\sin^{-1}(-\frac{24}{25})=2\sin^{-1}\frac{4}{5}$

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