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== センター試験.数B.数列(2013~) ==
【2013年度センター試験.数学Ⅱ・B】第3問(選択問題)
(1) 数列{pn}は次を満たすとする。 数列{pn}の一般項と,初項から第n項までの和を求めよう。まず,①から
となるので,数列{pn}の一般項は
である。したがって,自然数nに対して
である。 |
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(1)
【定数係数の二項間漸化式⇒等比数列】
定数係数の二項間漸化式an+1=pan+q(ただし,p, qは定数)を,原点の移動{an−α}により,{an−α}が等比数列となるように定数αを定めて,等比数列の一般項から元の数列{an}の一般項を求める方法
特性方程式の解(不動点)αを利用する方法
《用語》
• 二項間漸化式:an+1=pan+q・・・① • 特性方程式:α=pα+q・・・②
①において,
• 不動点:特性方程式の解α・・・③のこと![]() • x=a1に対応するy=px+q上の点を求めると,そのy座標がa2を表す. • 次に,水平移動を行って,x=a2となる点を求める.(このように体勢を立て直すと,再びy=px+qへ移動できるようになる) • x=a2に対応するy=px+q上の点を求めると,そのy座標がa3を表す. • 以上の作業を繰り返すと,二つの直線y=x, y=px+qの交点に収束して動けなくなる.その点を不動点と呼ぶ.数列{an}に極限値があれば,この不動点のy座標(x座標でも同じ)が求める極限値になる. 漸化式 これを使って,原点をαだけ平行移動すると,等比数列になる |
解説を読む
数列{pn}の一般項は
p1=2を代入 において,オ,カに対応する部分の和は ウ,エに対応する第1項の部分の和は,初項 結局 |
(2) 正の数からなる数列{an}は,初項から第3項がa1=3, a2=3, a3=3であり,すべての自然数nに対して
を満たすとする。また,数列{bn}, {cn}を,自然数nに対して,bn=a2n−1, cn=a2nで定める。数列{bn}, {cn}の一般項を求めよう。まず,②から
である。したがって,b1=b2=b3=b4=3となるので bn=3 (n=1, 2, 3, ・・・)・・・③ と推定できる。 ③を示すためには,b1=3から,すべての自然数nに対して bn+1=bn ・・・④ であることを示せばよい。このことを「まず,n=1のとき④が成り立つことを示し,次に,n=kのとき④が成り立つと仮定すると,n=k+1のときも④が成り立つことを示す方法」を用いて証明しよう。この方法をソという。ソに当てはまるものを,次の⓪~③のうちから一つ選べ。
⓪ 組立除法 ① 弧度法 ② 数学的帰納法 ③ 背理法
|
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(2)
② 数学的帰納法→ソ bn=a2n−1は,数列{an}の奇数番目の項を並べたもの
b1=a1=3
cn=a2nは,数列{an}の偶数番目の項を並べたものb2=a3=3 b3=a5=3 b4=a7=3
c1=a2=3
c2=a4=2 c3=a6= c4=a8= |
[Ⅰ] n=1のとき,b1=3, b2=3であることから④は成り立つ。
[Ⅱ] n=kのとき,④が成り立つ,すなわち bk+1=bk と仮定する。n=k+1のとき,②のnに2kを代入して得られる等式と,2k−1を代入して得られる等式から
のなるので,bk+2は
と表される。したがって,⑤により,bk+2=bk+1が成り立つので,④はn=k+1のときにも成り立つ。 [Ⅰ],[Ⅱ]により,すべての自然数nに対して④の成り立つことが証明された。 したがって,③が成り立つので,数列{bn}の一般項はbn=3である。 次に,②のnを2n−1に置き換えて得られる等式と③から となり,c1=ヌであることと①から,数列{cn}の一般項は,(1)で求めた数列{pn}の一般項と等しくなることがわかる。 |
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②のnに2kを代入して得られる等式は
2k−1を代入して得られる等式は ここで,bn=a2n−1, cn=a2nだから,上記の2つの式はbn, cnを用いて,次の形に書ける.
指示された通りに,書き換えていくと,自然にできる.何もヒネリはない。
c1=a2=3→ヌ
あっけない幕切れで,不完全燃焼の気分になるかもしれないが
次の数列
c1=3, c2=2, c3=
の一般項がになるということが書かれている. |
【2014年度センター試験.数学Ⅱ・B】第3問(選択問題)
数列{an}の初項は6であり,{an}の階差数列は初項が9,公差が4の等差数列である。 (1) a2=アイ,a3=ウエである。数列{an}の一般項を求めよう。{an}の階差数列の第n項がオn+カであるから,数列{an}の一般項は an=キnク+ケn+コ ・・・① である。 |
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【階差数列と一般項】
(1)数列{an}の階差数列を数列{dn}とすると n≧2のとき • 階差数列は,普通{bn}で表されているが,この問題では{bn}を他の数列に使うので,階差数列を{dn}で表した. • この公式は,どの教科書にも書かれている基本です.必ず言えるようにしましょう. {an}の階差数列を数列{dn}とすると,{dn}は,初項が9,公差が4の等差数列であるから, dn=9+4(n−1)=4n+5 したがって a2=a1+d1=6+9=15→アイ a3=a1+d1+d2=6+9+13=28→ウエ 階差数列の第n項は dn=9+4(n−1)=4n+5→オ,カ 数列{an}の一般項は ア) n=1のとき,a1=6 イ) n≧2のとき
• 階差数列から元の数列の一般項を計算するために,第n−1項までの和が登場します.次の左側の形で(第n項までの和で)書かれている公式を,右側の形(第n−1項までの和)でも使えるようにしておきましょう.
• cは定数とする. ア)イ)をまとめると, n≧1のとき,an=2n2+3n+1と書ける→キ,ク,ケ,コ |
(2) 数列{bn}は,初項が
と初項から第n項までの和Snを求めよう。 ①,②により,すべての自然数nに対して
が成り立つことがわかる。 |
解説を読む |
ここで
cn=(セn+ソ)bn ・・・④ とするとき,③をcnとcn+1を用いて変形すると,すべての自然数nに対して (セn+チ)cn+1=(セn+ツ)cn が成り立つことがわかる。これにより dn=(セn+テ)cn ・・・⑤ とおくと,すべての自然数nに対して,dn+1=dnが成り立つことがわかる。d1=トであるから,すべての自然数nに対して,dn=トである。したがって,④と⑤により,数列{bn}の一般項は
である。また
が成り立つことを利用すると,数列{bn}の初項から第n項までの和Snは
であることがわかる。 |
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④→cn=(2n+1)bn
③→ ④から これを③に代入する これにより, ④と⑤により,数列{bn}の一般項は 数列{bn}の和は,次の左欄のように「縦書き」にすると見やすく分かりやすいが,形式美を好む人は右欄のように書いてもよい.(参考書や受験雑誌の解答例も右欄の(#)ように,「一般項が共通で番号だけがずれた形」に書かれることが多い)
b1+b2+b3+・・・+bn
|
【2015年度センター試験.数学Ⅱ・B】第3問(選択問題)
自然数nに対し,2nの一の位の数をanとする。また、数列{bn}は を満たすとする。 (1) a1=2, a2=ア,a3=イ,a4=ウ,a5=エである。このことから,すべての自然数nに対して,aオ=anとなることがわかる。オに当てはまるもの を,次の⓪~④のうちから一つ選べ。
⓪ 5n ① 4n+1 ② n+3 ③ n+4 ④ n+5
|
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(1) 小さい数字で規則性を見つける
1の位の数は,2→4→8→6→が繰り返されるから,an+4=an→③ オ(⓪ a5n=anも成り立つが,「一つ選べ」という問題だから,分かりやすい③を答にすればよい) |
(2) 数列{bn}の一般項を求めよう。①を繰り返し用いることにより
が成り立つことがわかる。ここで,an+3an+2an+1an=3·2キ
から,自然数kに対して
である。 |
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(2)
①を繰り返し用いると n+3, n+2, n+1, nは連続する4個の自然数だから,オの結果から,順序は別として,an+3, an+2, an+1, anには,2, 4, 8, 6が1個ずつ含まれる. an+3an+2an+1an=2·4·8·6=24·1·2·4·3=3·27→キ カ,キの結果を用いると ①により ク,ケの結果から,自然数k=1, 2, 3, ···に対して
内容的には,
と同じであるが,問題の形に合わせて答える必要がある.(以下の問題も同様) |
(3)
である。 (4) 積b1b2···bnをTnとおく。自然数kに対して
であることから,自然数mに対して
|
解説を読む |
【2016年度センター試験.数学Ⅱ・B】第3問(選択問題)
真分数を分母の小さい順に,分母が同じ場合には分子の小さい順に並べてできる数列 を{an}とする。真分数とは,分子と分母がともに自然数で,分子が分母より小さい分数のことであり,上の数列では,約分できる形の分数も含めて並べている。以下の問題に分数形で解答する場合は,解答上の注意にあるように,それ以上約分できない形で答えよ。
項は,aウエである。 (2) kを2以上の自然数とする。数列{an}において,
|
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(1)
次のように群数列に分ける 1群2群3群4群 このとき,第m群の第n項と元の数列の第k項との関係を調べると,第m群の末項までには 1+2+3+・・・+m= だから,元の数列の第15項,すなわちa15は,第5群の末項,すなわち,第5項であるから 分母に初めて8が現れるのは,第7群の初項 ところで,第6群の末項までにある項数は であるから,求めるものは,その次の項a22→ウ,エ (2) 数列{an}において, 番目の項,すなわち
この問題で「初めて現れる項」となっているが,例えば
解答する場合は,約分して答えるようになっているが,問題は約分されていないから,この「初めて」は必要ないと考えられる.次の問題でも同様
この問題で「よって」と書かれているが,筆者の解き方では,後の結果は前の結果から得られたものではないから,この「よって」は必要ない,もしくは,紛らわしいと考えられる.(「よって」が生きる解き方があるのかもしれない)
|
(3) kを2以上の自然数とする。数列{an}の第Mk項から
数列{an}の初項から第Nk項までの和は
である。よって
である。 |
解説を読む
(3)
第Mk項から第Nk項までは,分母がすべてkで,分子が各々1, 2, 3, ... , k−1だから,それらの和は 数列{an}の初項から第Nk項までの和は,上記の結果(#1)に対して,2, 3, ..., kまでの和を求めるとよいから a1+a2+a3+・・・+a103は第14群(k=15)の末項(第N14項)までの和から,(a104+a105)を取り除けばよい |
【2017年度センター試験.数学Ⅱ・B】第3問(選択問題)
以下において考察する数列の項は,すべて実数であるとする。 (1) 等比数列{sn}の初項が1,公比が2であるとき s1s2s3=ア,s1+s2+s3=イ である。 (2) {sn}を初項x,公比rの等比数列とする。a, bを実数(ただしa≠0)とし,{sn}の最初の3項が s1s2s3=a3 ・・・① s1+s2+s3=b ・・・② を満たすとする。このとき xr=ウ ・・・③ である。さらに,②③を用いてr, a, bの満たす関係式を求めると エr2+(オ−カ)r+キ=0 ・・・④ を得る。④を満たす実数rが存在するので クa2+ケab−b2≦0 ・・・⑤ である。 逆に,a, bが⑤を満たすとき,③④を用いてr, xの値を求めることができる。 |
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(1)
sn=2n−1だから s1s2s3=20×21×22=8→ア s1+s2+s3=20+21+22=1+2+4=7→イ (2) sn=x·rn−1とおける s1s2s3=x·r0×x·r1×x·r2=(xr)3=a3・・・① (文字はすべて実数.さらに,a≠0)
①より(xr, aが実数だから)xr=a→ウ・・・③ また,②より x+xr+xr2=b x(1+r+r2)=b・・・②' ③から a(1+r+r2)=br ar2+(a−b)r+a=0→エ,オ,カ,キ・・・④ ④をrに関する2次方程式として,判別式Dを求めると D=(a−b)2−4a2≧0 3a2+2ab−b2≦0→ク,ケ・・・⑤ |
(3) a=64, b=336のとき,(2)の条件①,②を満たし,公比が1より大きい等比数列{sn}を考える。③,④を用いて{sn}の公比rと初項xを求めると,r=コ,x=サシである。
{sn}を用いて,数列{tn}を tn=snlogコsn (n=1, 2, 3, ・・・) と定める。このとき,{tn}の一般項は tn=(n+ス)·コn+セである。{tn}の初項から第n項までの和Unは,Un−コUnを計算することにより
であることがわかる。 |
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(3)
![]() x(1+r+r2)=336・・・②" ①"を②"に代入してxを消去する 4(1+r+r2)=21 4r2−17r+4=0 (4r−1)(r−4)=0 仮定によりr>1だから r=4→コ これを①"に代入 x=16→サ,シ ⇒ sn=16·4n−1=4n+1になる
tn=snlog4sn=4n+1·log4(4n+1)=4n+1·(n+1) =(n+1)·4n+1→ス,セ Un=2·42+3·43+4·44+・・・+n·4n+(n+1)·4n+1 − ) 4Un=2·43+3·44+4·45+・・・+n·4n+1+(n+1)·4n+2 −3Un=2·42+(43+44+・・・+4n)−(n+1)·4n+1
【循環数列の和】
等差数列 のような数列は,「等差×等比型の数列」「循環数列」などと呼ばれる. このような数列の和を公式として覚えることはしないが,求める数列SnとrSnの差を作れば「等比数列」になることからSnを求めることができる. 【例】Sn=1+2r+3r2+4r3+・・・+nrn−1 (r≠1)の場合 − ) rSn=r+2r2+3r3+44+・・・+nrn (1−r)Sn=1+(r+r2+r3+・・・+nrn−1)−nrn ※r=1のときは,単なる等差数列になるので,等差数列として和を求めるとよい. |
【2018年度センター試験.数学Ⅱ・B】第3問(選択問題)
第4項が30,初項から第8項までの和が288である等差数列を{an}とし,{an}の初項から第n項までの和をSnとする。また,第2項が36,初項から第3項までの和が156である等比数列で公比が1よりも大きいものを{bn}とし,{bn}の初項から第n項までの和をTnとする。 (1) {an}の初項はアイ,公差はウエであり Sn=オn2−カキn である。 (2) {bn}の初項はクケ,公比はコであり Tn=サ(シn−ス) である。 |
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(1)
{an}の初項をa,公差をdとおくと a4=a+3d=30・・・① ②÷4 2a+7d=72・・・②’ ①×2 2a+6d=60・・・①’ ②’−①’ d=12→ウエ ①に代入 a=−6→アイ {bn}の初項をb,公比をr (>1)とおくと b2=br=36・・・③ b1+b2+b3=b(1+r+r2)=156・・・④ r>1(r≠0)により,③からbを消去して④に代入する 36(1+r+r2)=156r 3(1+r+r2)=13r 3r2−10r+3=0 (3−1)(r−3)=0 r>1により r=3→コ これを③に代入すると b=12→クケ |
(3) 数列{cn}を次のように定義する。
(n=1, 2, 3, ・・・) たとえば c1=a1−b1,c2=2(a1−b1)+(a2−b2) c3=3(a1−b1)+2(a2−b2)+(a3−b3) である。数列{cn}の一般項を求めよう。 {cn}の階差数列を{dn}とする。dn=cn+1−cnであるから,dn=セを満たす。セに当てはまるものを,次の⓪~⑦のうちから一つ選べ。
⓪ Sn+Tn
① Sn−Tn
② −Sn+Tn
③ −Sn−Tn
④ Sn+1+Tn+1
⑤ Sn+1−Tn+1
⑥ −Sn+1+Tn+1
⑦ −Sn+1−Tn+1
したがって,(1)と(2)により dn=ソn2−2·タn+チ である。cn=ツテトであるから,{cn}の一般項は cn=ナn3−ニn2+n+ヌ−タn+ネ である。 |
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【2019年度センター試験.数学Ⅱ・B】第3問(選択問題)
初項が3,公比が4の等比数列の初項から第n項までの和をSnとする。また,数列{Tn}は,初項が−1であり,{Tn}の階差数列が数列{Sn}であるような数列とする。 (1) S2=アイ,T2=ウである。 (2) {Sn}と{Tn}の一般項は,それぞれ Sn=エオ−カ
である。ただし,オとクについては,当てはまるものを,次の⓪~④のうちから一つずつ選べ。同じものを選んでもよい。
⓪ n−1 ① n ② n+1 ③ n+2 ④ n+3
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(1)
S2=3+12=15→アイ T2=T1+S1=−1+3=2→ウ (2)
(1)(2)までは基本問題であり,受験生のほとんどが正解すると思われる
|
(3) 数列{an}は,初項が−3であり,漸化式
nan+1=4(n+1)an+8Tn (n=1, 2, 3, ···) を満たすとする。{an}の一般項を求めよう。 そのために, {Tn}は漸化式 Tn+1=セTn+ソn+タ (n=1, 2, 3, ···) を満たすから,{bn}は漸化式 bn+1=チbn+ツ (n=1, 2, 3, ···) を満たすことがわかる。よって,{bn}の一般項は bn=テト・チナ−ニ である。ただし,ナについては,当てはまるものを,次の⓪~④のうちから一つ選べ。
⓪ n−1 ① n ② n+1 ③ n+2 ④ n+3
したがって,{Tn},{bn}の一般項から{an}の一般項を求めると
である。 |
解説を読む
(3)
(3)の問題は大変込み入っており,正解率は高くないと思われる.
問題の指示通りに空欄を埋めて行けば,正解にたどり着くが,変形の目的などが分かりにくいかも (2)の結果から だから ![]() (#2)を(#1)に代入して (#3)を(#4)に代入 (#5)の両辺を (#6)より と変形できるから,数列 を代入する |
【2020年度センター試験.数学Ⅱ・B】第3問(選択問題)
数列{an}は,初項が0であり,n=1, 2, 3, ···のとき次の漸化式を満たすものとする。 (1) a2=アである。 (2) {bn}の初項b1はイである。①の両辺を
を得る。ただし,エ<オとする。 したがって,
である。 |
解説を読む |
nを2以上の自然数とするとき
が成り立つことを利用すると
が得られる。これはn=1のときも成り立つ。 |
解説を読む |
(3) (2)により,{an}の一般項は
で与えられる。ただし,ナ<ニとする。 このことから,すべての自然数nについて,anは整数となることがわかる。 (4) kを自然数とする。a3k,a3k+1,a3k+2を3で割った余りはそれぞれネ,ノ,ハである。また,{an}の初項から第2020項までの和を3で割った余りはヒである。 |
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(3)
(4) k≧1のとき,第1項は3で割り切れる. 第2項は ここで,連続2整数の積k(k+1)は2で割り切れるから, 結局,a3kを3で割った余りは1→ネ k≧1のとき,第1項は3で割り切れる. 第2項は 連続2整数の積k(k+1)は2で割り切れるから, 以上により,a3k+1を3で割った余りは0→ノ k≧1のとき,第1項は3で割り切れる. 第2項は 連続2整数の積k(k+1)は2で割り切れるから, 以上により,a3k+2を3で割った余りは0→ハ
【裏技】
ネ,ノ,ハの部分を記述式答案で書くと上記のようになるが,この問題は「穴埋め問題」であるから,答は1つだと割りきると算数で解ける. • ネ→n=3を代入すると, ⇒3で割った余りは1 • ノ→n=4を代入すると, ⇒3で割った余りは0 • ハ→n=5を代入すると, ⇒3で割った余りは0 2020=3×673+1 • a1, a4からa2020まで,3で割ると1余るものが673個ある • a2, a5からa2018まで,3で割ると0余る • a3, a6からa2019まで,3で割ると0余る 以上から,673=3×224+1だから,和を3で割った余りは1→ヒ |
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