PC用は別頁
※高校数学Bの「数列」について,このサイトには次の教材があります.
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は,他の頁を見てください.  が現在地です.
規則性を見つける
一般項に慣れる
等差数列
等比数列,循環数列
和の記号Σ-現在地
同 (2)
同 (3)
Σ記号の変形
等比数列のΣ
いろいろな数列のΣ
階差数列
Snan関係式
部分分数分解
等差×等比形の数列の和
群数列
自然数の累乗の和
センター試験.数B.数列

== 総和記号 Σ(シグマ)に慣れよう ==

○ 和を表わす記号Σでは,次のように「式」の形のところの「変数で指定されたものを」「初めの値」から「終りの値まで」「1ずつ増やして」できる項の「和」を表わす.
例1

.5Σk = 1. k = 1+2+3+4+5 ( = 15 になる)

例2

.7Σk = 1. k = 1+2+3+4+5+6+7 ( = 28 になる)

例3

.4Σk = 2. k = 2+3+4 ( = 9 になる)
○ Σ記号の内部で使う「変数」は,「式」の部分と同じ文字であればよく,どんな文字が使われているかは,和を求めた結果に影響しない.(変数が,式の部分と異なる文字のときは,無関係になりむしろ簡単になる[後出:例6,7参照])
例4

.4Σk = 1. k = 1+2+3+4 ( = 10 になる)


.4Σm = 1. m = 1+2+3+4 ( = 10 になる)

○ 「変数」で指定された文字だけを順に増加させるものとし,それ以外の文字や定数は変化させない.

例5

.4Σi = 1. 5i=5・1+5・2+5・3+5・4(=5+10+15+20=50になる)

(この i は虚数とは関係ない.単なる内部変数として使っている.)
例6

.4Σm = 1. n = n+n+n+n ( = 4n になる)


例7

.4Σk = 1. 5 = 5+5+5+5 ( = 20 になる)


○ 「変数」は添字や指数などにも使われる.
例8

.5Σk = 1. ak = a1+a2+a3+a4+a5


例9

.4Σk = 1. 2k = 21+22+23+24 = 2+4+8+16 ( = 30 になる)



○ Σ記号は積でつながっている範囲まで作用する.作用する範囲を明確にするために「かっこ」が使える.
例10

.5ΣN = 1. N+1 = ( 1+2+3+4+5 )+1 ( = 16 になる)


例11

.5ΣN = 1.( N+1 ) = ( 2+3+4+5+6) ( = 20 になる)


例12

.5Σk = 1.k( k+1)=1・2+2・3+3・4+4・5+5・6

=(2+6+12+20+30=70になる)


例13

.nΣk = 1.( k+1 )2 = ( 1+1 )2+( 2+1 )2+…+( n+1 )2
○ Σ記号が有限個の和を表わすとき,次の性質を満たす.(和差,定数倍のΣは,Σの和差,定数倍になる)

(1) .nΣk = 1. ( ak+ bk ) = .nΣk = 1. ak+ .nΣk = 1. bk

(∵) 有限個の和は,並べ変えて足しても等しいから

 .nΣk=1. ( ak+ bk ) = ( a1+ b1 )+( a2+ b2 )+…+( an+ bn )

=( a1+a2+…+an )+ ( b1+b2+…+bn )

= .nΣk=1. ak+ .nΣk=1. bk


(2) .nΣk = 1. cak = c.nΣk = 1. ak

(∵) 定数cをかっこでくくってもよいから

.nΣk=1. cak= ca1+ca2+…+can =c( a1+a2+…+an )=c.nΣk=1. ak


(ただし,積や商のΣはΣの積や商とは一般に等しくない.)
k=1nakbk(k=1nak)(k=1nbk)
(たとえば)
1×4+2×5+3×6=4+10+18=32
(1+2+3)×(4+5+6)=6×15=90と等しくないのと同様に
a1b1 +a2b2 +a3b3
(a1 +a2 +a3 )(b1 +b2 +b3 )と等しくない

k=1nakbkk=1nakk=1nbk
(たとえば)
31+42=3+2=5
3+41+2=73と等しくないのと同様に
a1b1+a2b2
a1+a2b1+b2と等しくない
○ 括弧を展開して別々に総和を求めることができる.
例14

.nΣk=1.( xk - c )2=.nΣk=1.( xk2 - 2cxk+c2 )


= .nΣk=1.xk2 - 2c.nΣk=1.xk+.nΣk=1.c2

 左欄のΣ記号に等しいものを右欄から選んでください.
はじめに左欄の問題を選択して,続けて右欄の解答を選択してください.やり直すときは,問題を選び直すことからはじめてください.
【問題1】
【問題2】
【問題3】
【問題4】

【問題5】 次の和をΣ記号を使って表してください.
(正しいものをクリック)
(1)
2+4+6++20

(2)
3+5+7++11

(3)
12+42+72++192

(4)
1×2+2×3+3×4++8×9

【問題6】 Σ記号で表された次の式と等しいものを下の選択肢から選んでください.
(選択肢をクリック)
(1)
k=1n2k+1

(2)
k=1n132k+1

(3)
k=1n13×2k1

(4)
k=1n3×2k+1


...(携帯版)メニューに戻る

...メニューに戻る


■[個別の頁からの質問に対する回答][総和記号について/17.4.6]
問題1の終わりの値が全て4なのに、答えが一つだけ三つの数になっています またその影響で、問題1の上から1番目の答えと4番目の問題の答えが同じはずなのに違う判定になっています
=>[作者]:連絡ありがとう.あなたは初めの値を見ていないようです.頁の先頭にある例3をよく見てください.

であるが

です.
次に,一般項の違いですが

であるが

です.さらに

です.
■[個別の頁からの質問に対する回答][総和記号Σ(シグマ)に慣れようについて/16.12.5]
<Σに慣れよう1>の問3の、<一番下の問題=Σ(j+1)の2乗>ですが、答えの4の2乗は必要ないのでは? もし必要だとすればそれはなぜでしょうか?
=>[作者]:連絡ありがとう.
(j+1)2j=0を代入すると12
(j+1)2j=1を代入すると22
(j+1)2j=2を代入すると32
(j+1)2j=3を代入すると42
要するに,3+14になるからです.あなたの理解は,まだ十分ではないかも・・・
■[個別の頁からの質問に対する回答][総和記号Σについて/16.11.7]
例12のkが3の時の計算が抜けてる気がします 間違ってたらゴメンナサイ…
=>[作者]:連絡ありがとう.訂正しました.

隨�ソス邵コ阮呻ソス郢ァ�オ郢ァ�、郢昜コ・�ス邵コ�ョGoogle隶€諛�スエ�「隨�ソス

隨�スウ邵コ阮呻ソス郢晏」ケ�ス郢ァ�ク邵コ�ョ陷育」ッ�ス�ュ邵コ�ォ隰鯉スサ郢ァ驫€辟。
邵イ�ス 郢ァ�「郢晢スウ郢ァ�ア郢晢スシ郢晉」ッツ€竏ス�ソ�。 邵イ�ス
… 邵コ阮呻ソス郢ァ�「郢晢スウ郢ァ�ア郢晢スシ郢晏現�ス隰ィ蜻取駁隰セ�ケ陜滂ソス�ス陷ソ繧環€�ス竊鍋クコ霈披雷邵コ�ヲ邵コ�ス笳�クコ�ス邵コ髦ェ竏ェ邵コ�ス

隨�ソス邵コ阮呻ソス鬯��竊鍋クコ�、邵コ�ス窶サ�ス迹壽�邵コ�ス蝨抵ソス譴ァ縺檎クコ�ス蝨抵ソス遒∽ソ」鬩戊シ費シ樒クコ�ョ隰厄ソス驕ュ�ス蠕娯落邵コ�ョ闔画じ�ス隲「貊鳶ヲ邵コ蠕娯旺郢ァ蠕鯉ソス鬨セ竏ス�ソ�。邵コ蜉ア窶サ邵コ荳岩味邵コ霈費シ橸ソス�ス
隨ウ蛹コ譫夐��ス邵コ�ョ陟厄ス「郢ァ蛛オ��邵コ�ヲ邵コ�ス�玖ォ「貊鳶ヲ邵コ�ッ陷茨スィ鬩幢スィ髫ア�ュ邵コ�セ邵コ蟶吮€サ郢ァ繧�ス臥クコ�」邵コ�ヲ邵コ�ス竏ェ邵コ蜻サ�シ�ス
隨ウ蛹コ笏€隲��ウ邵コ�ョ陷€�ス縲抵ソス蠕娯�邵コ�ョ陜�蝓趣ス。蠕娯€イ邵コ�ゥ邵コ�ス縲堤クコ繧�夢邵コ貅伉ー郢ァ蜻茨スュ�」驕抵スコ邵コ�ェ隴�ソス�ォ�ス邵コ�ァ闔ィ譏エ竏エ邵コ�ヲ邵コ�ス笳�クコ�ス邵コ�ス笳�ャセ�ケ陜滂ソス�ヲ竏オ謔咲クコ�ォ陝�スセ邵コ蜉ア窶サ邵コ�ッ�ス謔溷コ�妙�ス邵コ�ェ鬮ッ闊鯉ス願汞�セ陟「諛岩�郢ァ荵晢ス育クコ�ス竊鍋クコ蜉ア窶サ邵コ�ス竏ェ邵コ蜻サ�シ雜」�シ驕コツ€�サ邵コ�ェ邵コ螂�スシ譴ァ蛻、隰ヲ�ス蝎ェ邵コ�ェ隴�ソス�ォ�ス邵コ�ォ邵コ�ェ邵コ�」邵コ�ヲ邵コ�ス�玖撻�エ陷キ蛹サ�ス�ス蠕娯落郢ァ蠕鯉ス定怦�ャ鬮「荵昶�郢ァ荵昶�驕イ�スツ€�ス笆。邵コ莉」縲堤クコ�ェ邵コ蜑ー�ェ�ュ髢��ス�る坡�ュ郢ァツ€邵コ阮吮�邵コ�ォ邵コ�ェ郢ァ鄙ォ竏ェ邵コ蜷カ�ス邵コ�ァ�ス譴ァ豐サ騾包スィ邵コ蜉ア竏ェ邵コ蟶呻ス難ソス雜」�シ�ス


髮会スェ陜�荳岩�陝�スセ邵コ蜷カ�玖摎讓抵スュ譁撰ソス闕ウ�ュ陝�スヲ霑壼現�ス邵コ阮呻ソス鬯�ソス�ス遒�スォ菫カ�ス�。霑壼現�ス邵コ阮呻ソス鬯�ソス邵コ�ォ邵コ繧�ス顔クコ�セ邵コ�ス