群数列

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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ 高卒・大学初年度
*** 単元 ***
式と証明点と直線円軌跡と領域三角関数
指数関数対数関数微分不定積分定積分
高次方程式数列漸化式と数学的帰納法
平面ベクトル空間ベクトル確率分布

※高校数学Bの「数列」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　が現在地です．

↓規則性を見つける
↓一般項に慣れる

↓等差数列
↓等比数列，循環数列

↓和の記号Σ
↓同 (2)
↓同 (3)
↓Σ記号の変形
↓等比数列のΣ
↓いろいろな数列のΣ

↓階差数列
↓S_na_n関係式
↓部分分数分解
↓等差×等比形の数列の和

↓群数列-現在地

↓自然数の累乗の和
センター試験.数B.数列

== 群数列 ==
　数列の項を，何項かの群に区切ったものを，群数列と言います。
※ここでいう「群」は数学でいう群とは関係なく，ただ区切ってあるというだけのものです。

例
1 | 2，3 | 4，5，6 | 7，8，9，10 | 11，・・・

例題
　次の群数列において，(1)第ｎ群の初項を求めなさい。(2)第ｎ群の総和を求めなさい。
1 | 2，3 | 4，5，6 | 7，8，9，10 | 11，・・・

(答案例)
(1)
　第ｎ群は，ｎ項から成り，第(n-1)群の末項までには，

　したがって，第ｎ群の初項は，元の数列の

元の数列はａ_ｎ=nだから，

・・・答
(2)
　第ｎ群は，初項

，公差1，項数ｎの等差数列だから，その和は

■要点■
群数列の問題を解くには，第ｎ群の初項が元の数列の第何項に当たるかを考えると，問題が整理でき・分かり易くなります。

例題
　次の群数列の第100項を求めなさい。

(答案例)

のように群数列に分けて，元の数列の第100項がこの群数列の第何群の第何項に当るかを考える。
　第n群の末項までには

S = 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n (n + 1)}{2}

項ある．
n=13 → S=91項
n=14 → S=105項
となるから，
第14群の第9項が求めるものとなる。
ゆえに，

■問題
１　次の群数列において，(1)第ｎ群の初項を求めなさい。(2)第ｎ群の総和を求めなさい。
　1　| 　2，3，4　| 　5，6，7，8，9　|　・・・

(答案)

(1)
第ｎ群は，2ｎ-1項から成り，第(n-1)群の末項までには，
［ア］項ある。

したがって，第ｎ群の初項は，元の数列の第［イ］項
元の数列の一般項は，ａ_ｎ=nだから，[イ]・・・答

(2)
第ｎ群は，初項［イ］，公差1，項数2n-1の等差数列だから，その和は
[ウ]・・・答

(正しいものを選びなさい。)

［ア］	(n-1)²，n²，(n+1)²
［イ］	n²-2n+2，n²+1，n²+2n+2
［ウ］	(2n-1)(n²-n+1)，n(n+1)(2n-1)

■問題
２　正の有理数を

のように並べるとき，

は元の数列の第何項か。

(答案)

のように区切ると，第ｋ群に属する各々の分母・分子の和は［ア］になる。

の分母・分子の和はm+nだから，

は第［イ］群にある。

第［イ］-1群の末項までに元の数列は全部で［ウ］項あるから，第［イ］群の第ｎ項は，元の数列の第[エ]項・・・答

(正しいものを選びなさい。)

［ア］	k-1，k，k+1
［イ］	m+n-1，m+n，m+n+1
［ウ］	，，
[エ]	，，

【問題３】

　次のように，第n群がn個の分数を含むように分けられた数列がある．

\frac{1}{1} ∣ \frac{2}{2}, \frac{1}{2} ∣ \frac{3}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{3}

∣ \frac{4}{4}, \frac{3}{4}, \frac{2}{4}, \frac{1}{4} ∣ \frac{5}{5}, \dots

(1) 第n群に属するすべての分数の和を求めよ．
(2) 初めから数えて，最初に

\frac{1}{100}

となるのは第何項目か．
(3) 初めから数えて，第100項目にある分数を求めよ．

（2011年度岡山理科大入試問題）

解説を読む解説を隠す

(1) 第n群に属する分数は，分母がnで，分子はnから1までのn項だから，その和は

\frac{1}{n} \times \frac{n (n + 1)}{2} = \frac{n + 1}{2}

(2) 第100群の100番目の分数が

\frac{1}{100}

となる．
第100群の末項までに並んでいる分数の個数は

\frac{100 \times 101}{2} = 5050

個だから，初めから数えて5050項目

※問題文に，なぜ「最初に」と書かれているのか．この「最初に」は必要なのか，と引っかかってみる．
　そもそも，分数や小数で表現される有理数

\frac{1}{100}

は，値が等しければ同じ物を表すので，

\frac{1}{100}, \frac{2}{200}, \frac{3}{300}, 0.01

などは，有理数としてはすべて同じ物を表している．これに対して，分母と分子を使って表す分数の符号としては，

\frac{1}{100}, \frac{2}{200}, \frac{3}{300}

は一応別物として扱う．
　そこで，受験生が「有理数の0.01に等しいものは」と突っ込みを入れないように（

\frac{2}{200}, \frac{3}{300}

でもよいと多義的に解釈されないように），「最初に

\frac{1}{100}

となる」と注意的に書いたものと思われる．

(3) 第n群の末尾までには，

S_{n} = \frac{n (n + 1)}{2}

項ある．

S_{13} = \frac{13 \times 14}{2} = 91, S_{14} = \frac{14 \times 15}{2} = 105

であるから，初めから数えて100項目は，第14群の前から9番目（後ろから6番目）にある．

\frac{6}{14}

…（答）

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【問題４】

　自然数の列を次のような群に分けたとき，第n群の最初の自然数はである．ただし，第n群にはn個の自然数が入るものとする．

1 ∣ 2, 3 ∣ 4, 5, 6 ∣ 7, 8, 9, 10 ∣ 11, \dots

（2016年度京都産業大入試問題）

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第n−1群の末尾までには，

\frac{(n - 1) n}{2}

項ある．
その次の項は

\frac{(n - 1) n}{2} + 1 = \frac{n^{2} - n + 2}{2}

番目
初めから数えた番号と同じ自然数があるから

\frac{n^{2} - n + 2}{2}

…（答）

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【問題５】

数列

\frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{2}{2}

, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{3}{3}, \dots,

\frac{1}{n}, \frac{2}{n}, \dots, \frac{n - 1}{n}, \frac{n}{n}, \dots

を次のような群に分ける．

\frac{1}{1} ∣ \frac{1}{2}, \frac{2}{2}

∣ \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{3}{3} ∣ \dots

∣ \frac{1}{n}, \frac{2}{n}, \dots, \frac{n - 1}{n}, \frac{n}{n} ∣ \dots

第1群第2群第3群第n群
(1) 第28群に入るすべての項の和を求めよ．
(2) 第n群の最初の数が第何項かを求めよ．
(3) 第2016項を求めよ．

（2016年度滋賀大入試問題）

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(1) 第28群の項は，分母が28で分子は1から28まであるから，その和は

\frac{1}{28} \times \frac{28 \times 29}{2} = \frac{29}{2}

(2) 第n−1群の末尾までには

\frac{(n - 1) n}{2}

項あるから
第n群の最初の数は
第

\frac{n^{2} - n + 2}{2}

項
(3) 第n群の末尾までには，

S_{n} = \frac{n (n + 1)}{2}

項ある．

※2016年度の入試問題だから，受験生に束の間のジョークとして第2016項と言ってみた？
これで笑える人は，余裕あるな～♪

S_{63} = \frac{63 \times 64}{2} = 2016

であるから，初めから数えて2016項は，第63群の最後の項．

\frac{63}{63}

…（答）

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【問題６】

1	3	7	13	21
5	9	15	23	…
11	17	25	…	…
19	27	…	…	…
29	…	…	…	…

　右の表のように奇数が並んでいる．上からm行，左からn列にある数をam,nと表す．例えば，a2,3=15である．
(1) a1,nをnを用いて表せ．
(2) 右の表のa1,nとan,1を結ぶ直線上にあるすべての数の集合を第n群と呼ぶ．例えば､第3群は{7, 9, 11}である．このとき，第n群に含まれるすべての数の和をnを用いて表せ．
(3) 251は(2)で定めた第何群にあるか．また，am,n=251とするとき，mとnを求めよ．

（2014年度宇都宮大入試問題）

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(1) 数列{an} 1,3,7,13,... は初項が1で，階差数列の一般項がbk=2kとなるから，