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○ 正の整数の和 や正の整数の２乗の和や３乗の和 の公式を使うときは，どちらかと言えば機械的に公式を適用すれば答が得られます． ○ しかし，等比数列の和を表しているΣ記号から結果を求めるには，上のような機械的な当てはめだけでは無理で，
初項a，公比r，項数nの３要素に分けて読み取り，「等比数列の和の公式」
に代入するとできます. …(*)○ 等比数列の和といっても， のように，初項3，公比2，項数4が見ただけですぐ分かる形（an=a r n−1）になったものばかりとは限りません． など，さまざまな形で書かれる等比数列の和を求めるには，
(1) 初項a，公比r，項数nの３要素を「分けて読み取る」
という操作に慣れなければなりません.
 (2) 「上の公式(*)に代入する」 |
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【例1】 次の和を求めてください．
（答案）
＜等比数列の３要素を読み取る＞
に代入する． 2(2n−1)2−1=2(2n−1) …（答）2n+1−2 と書いてもよい
（別解）
と変形して，初項a=2，公比r=2，項数nを読み取ってもよいが，この教材では数学が不得意な人を念頭に置いているので，このような器用な変形は薦めない． 特に，an=a r n−1のn−1が嫌な形をしており，覚え にくいと考えられる． |
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【例2】 次の和を求めてください．
（答案）
＜等比数列の３要素を読み取る＞
に代入する．192(4n−1−1)4−1=192(4n−1−1)3=64(4n−1−1) …（答） |
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【例3】 次の和を求めてください．
（答案）
＜等比数列の３要素を読み取る＞
に代入する． 133n+1−13−1=3n+1−16 …（答） |
 ○左辺に等しいものを右辺から見つけなさい． ○左辺から1つ選び，続けて右辺から1つ選びなさい．合っていれば消えます．間違えば消えません． ○間違った場合は，下にHELPボタンが出ます．HELPを読む場合でも読まない場合でも，新たに問題を選択すれば解答を再開できます． | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
         
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HELP
○k=1を代入すると，初項a=22=4
○k=1, 2, 3, ..を順に代入すると
○1からnまでだから項数はn ⇒以上から， ○k=1, 2, 3, ..を順に代入すると
○1からn−1までだから項数はn−1 ⇒以上から， ○k=1, 2, 3, ..を順に代入すると
○1からnまでだから項数はn ⇒以上から， ○k=1, 2, 3, ..を順に代入すると
○1からn−1までだから項数はn−1 ⇒以上から， ○k=1, 2, 3, ..を順に代入すると
○1からnまでだから項数はn ⇒以上から， ○k=1, 2, 3, ..を順に代入すると
○1からnまでだから項数はn ⇒以上から， ○k=0, 1, 2, ..を順に代入すると
○0からnまで（1からｎまでよりも１つ多い）だから項数はn+1 ⇒以上から， ○k=1, 2, 3, ...を順に代入すると
○1からn−1まで（1からｎまでよりも１つ少ない）だから項数はn−1 ⇒以上から， ○k=2, 3, 4, ...を順に代入すると
○2からn−1まで（1からｎ−1までよりも１つ少ない）だから項数はn−2 ⇒以上から， （2n−4でもよい） ○k=0を代入すると，初項 ○k=0, 1, 2, ...を順に代入すると
○0からn−1まで（1からｎ−1までよりも１つ多い）だから項数はn ⇒以上から， |
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■［個別の頁からの質問に対する回答］[Σ等比数列について／17.7.22］
等比数列の和の公式について質問させてください。
先生のページでは、項比rから－１するという形になっていますが、
別の書籍等では、１から項比rをマイナスするという形になっているものもあります。
この違いは何に起因するのでしょうか？
ご教示ください。
■［個別の頁からの質問に対する回答］[等比数列の和について／17.6.14］
＝＞［作者］：連絡ありがとう． と とは等しいので，どちらで表してもかまいません．（分母と分子の両方に -１を掛ける［全体には１を掛けることになる］と分数としては等しい） あえて言えば，生徒が自然に感じる（したがって，計算間違いしにくい）方を使うようにしているだけでしょう． 数学ⅡBの段階では有限数列しか登場しないから，和の公式からさらに変形する場合でも符号を間違わないように最高次の係数を正にして が好まれるでしょう．これに対して，数学Ⅲでは無限等比級数の和も扱うので を使って とする方が自然に見えます． でももちろん「正しい」のですが，こちらを好む人は少ないでしょう． 素晴らしい よく理解できた 練習問題のなんいとまをもう少しあげてもいいと思う
＝＞［作者］：連絡ありがとう．さらに進んだものはこの頁など |
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