PC用は別頁
※高校数学Bの「数列」について,このサイトには次の教材があります.
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は,他の頁を見てください.  が現在地です.
規則性を見つける
一般項に慣れる
等差数列
等比数列,循環数列
和の記号Σ
同 (2)
同 (3)
Σ記号の変形
等比数列のΣ
いろいろな数列のΣ
階差数列
Snan関係式
部分分数分解
等差×等比形の数列の和-現在地
群数列
自然数の累乗の和
センター試験.数B.数列

== 等差と等比の積になっている数列 ==

【要点】
・中間項が消えれば和が求まります。
・中間項が等比数列などになっても和が求まります。

○等比数列の和
等比数列の和は,次のようにして求めました。

(1) 求める和をSとおく。
(2) 公比rをかけてrSを作る。
(3) S-rSを求めると,中間項が消えて,Sが求まる。


S(1−r)=a-arn となるから

○等差数列と等比数列の積になっている数列の和
「等差数列と等比数列の積になっている数列」とは,例えば次のようなものをいいます.
【例1】
初項1,交差1の等差数列an=nと初項1,公比2の等比数列bn=2n−1の積
anbn=n×2n−1
初めの幾つかを書くと
1, 2×21, 3×22,..., r×2r−1,..., n×2n−1
【例2】
初項3,交差2の等差数列an=2n+1と初項3,公比3の等比数列bn=3nの積
anbn=(2n+1)3n
初めの幾つかを書くと
3×31, 5×32, 7×33,..., (2r+1)3r,..., (2n+1)3n

 等比数列の場合,S-rS により「中間項が消えるので」和が求まります.
 等差×等比型の場合,結果を覚える形にすることはできませんが,上で示した方法を真似すると 「中間項が消えなくても」「中間項の和が求まるので」全体の和が求まります。
この場合は,「中間項が等比数列」となり,和が求まることになります。
【要点】
S−rSを作る
Sが等比数列の和ならば
 「中間項が消えて」和が求まる.
Sが等差数列×等比数列の和ならば
 「中間項が等比数列になって」和が求まる.

【例1】 次の和を求めなさい。ただし,r≠1とする。
1+2r+3r2+4r3+5r4+・・・+nrn−1
答案
S=1+2r+3r2+4r3+5r4+・・・+nrn−1とおく
−)rS=r+2r2+3r3+4r4+・・・+(n-1)rn−1+nrn
S−rS=(r0+r1+r2+r3+r4+・・・+rn−1)−nrn

()内は等比数列の和になるので公式で和が求まります。
()内は初項1,公比等比r,項数nr1からrn−1まででn−1項,これに1=r0の項を付け加えるとn項)の等差数列の和数列の和だから
1(rn1)r1
結局,求めるものは
(1r)S=1(rn1)r1nrn=1rn1rnrn
S=1rn(1r)2nrn1r=rn(nrn1)(1r)2+1(1r)2 …(答)

(ビックリ答案から学ぼう)
次の数列は等比数列ではありません: S=1+2r+3r2+4r3+5r4+・・・+nrn−1
今までに出会った間違い答案で,「どうしても合わない」という人は,この数列の公比を
anan1=nrn1(n1)rn2=rnn1
と考えていた例がありました。公比は”公”なのでnによらない共通な定数でなければなりませんが,この数列には公比はありません!

どうしても納得しない方は,
1,3,5,7,… ,(2n−3),(2n−1)
という数列[公差2の等差数列]公比が
r=2n12n3
とは言えない
ことを思い出しましょう.

(参考)
wxMaxima(←インストール方法など)を使って,検算する方法
メニューから:微積分→数列の総和→
[関数]k*r^(k-1)
[変数]k
[下端]1
[上端]n
[数式で出力]にチェックを入れる
これにより,次の形で出力されます.
rn(nrn1)(1r)2+1(1r)2

【例2】 次の和を求めなさい。ただし,x≠1とする。 k=1n(k+1)xk
答案
S=2x+3x2+4x3+5x4+・・・+(n+1)xnとおく
−)xS=2x2+3x3+4x4+・・・+nxn+(n+1)xn+1
S−xS=2x+(x2+x3+x4+・・・+xn)−(n+1)xn+1

()内は等比数列の和になるので公式で和が求まります。
()内は初項x2,公比等比x,項数n−1の等差数列の和数列の和だから
x2(xn11)x1=x2(1xn1)1x

結局,求めるものは
(1x)S=2x+x2(1xn1)1x(n+1)xn+1
S=x2(1xn1)(1x)2+2x(n+1)xn+11x
=xn+1{(n+1)xn2}+2xx2(1x)2 …(答)

(参考)
wxMaximaを使って,検算する方法
メニューから:微積分→数列の総和→
[関数](k+1)*x^k
[変数]k
[下端]1
[上端]n
[数式で出力]にチェックを入れる
これにより,次の形で出力されます.
xn+1(nx+xn2)(x1)2(x2)x(x1)2

■問題
1 次の和を求めなさい。ただし,x≠1とする。
1+3x+5x2+7x3+・・・+(2n-1)xn-1
(答案)
(正しいものを選びなさい。)
 
[ア] (2n-1)xn-1, (2n-3)xn-12nxn-1, (2n+1)xn-1
[イ] 1x2x
[ウ] x2x2x2
[エ] n-1nn+1
 

■問題
2 次の和を求めなさい。
(答案)
(正しいものを選びなさい。)
 
[ア] n3n-13n(n-1)3nn3n
[イ] 1332
[ウ] x332
[エ] n-1nn+1


...(携帯版)メニューに戻る

...メニューに戻る

■このサイト内のGoogle検索■

△このページの先頭に戻る△
【 アンケート送信 】
… このアンケートは教材改善の参考にさせていただきます

この頁について,良い所,悪い所,間違いの指摘,その他の感想があれば送信してください.
○文章の形をしている感想は全部読ませてもらっています.
○感想の内で,どの問題がどうであったかを正確な文章で伝えていただいた改善要望に対しては,可能な限り対応するようにしています.(※なお,攻撃的な文章になっている場合は,それを公開すると筆者だけでなく読者も読むことになりますので,採用しません.)


質問に対する回答の中学版はこの頁,高校版はこの頁にあります