等差・等比型

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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ 高卒・大学初年度
*** 単元 ***
式と証明点と直線円軌跡と領域三角関数
指数関数対数関数微分不定積分定積分
高次方程式数列漸化式と数学的帰納法
平面ベクトル空間ベクトル確率分布

※高校数学Bの「数列」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　が現在地です．

↓規則性を見つける
↓一般項に慣れる

↓等差数列
↓等比数列，循環数列

↓和の記号Σ
↓同 (2)
↓同 (3)
↓Σ記号の変形
↓等比数列のΣ
↓いろいろな数列のΣ

↓階差数列
↓S_na_n関係式
↓部分分数分解
↓等差×等比形の数列の和-現在地

↓群数列

↓自然数の累乗の和
センター試験.数B.数列

== 等差と等比の積になっている数列 ==

【要点】
・中間項が消えれば和が求まります。
・中間項が等比数列などになっても和が求まります。

○等比数列の和
等比数列の和は，次のようにして求めました。

(1)　求める和をＳとおく。
(2)　公比ｒをかけてｒＳを作る。
(3)　Ｓ－ｒＳを求めると，中間項が消えて，Ｓが求まる。

S(1−r)=a-arn となるから

○等差数列と等比数列の積になっている数列の和

「等差数列と等比数列の積になっている数列」とは，例えば次のようなものをいいます．
【例１】
初項１，交差１の等差数列an=nと初項１，公比２の等比数列bn=2n−1の積
anbn=n×2n−1
初めの幾つかを書くと
1, 2×21, 3×22,..., r×2r−1,..., n×2n−1
【例２】
初項3，交差2の等差数列an=2n+1と初項3，公比3の等比数列bn=3nの積
anbn=(2n+1)3n
初めの幾つかを書くと
3×31, 5×32, 7×33,..., (2r+1)3r,..., (2n+1)3n

　等比数列の場合，S-rS により「中間項が消えるので」和が求まります．
　等差×等比型の場合，結果を覚える形にすることはできませんが，上で示した方法を真似すると「中間項が消えなくても」「中間項の和が求まるので」全体の和が求まります。
この場合は，「中間項が等比数列」となり，和が求まることになります。

【要点】
S−rSを作る
○Sが等比数列の和ならば
⇒　「中間項が消えて」和が求まる．
○Sが等差数列×等比数列の和ならば
⇒　「中間項が等比数列になって」和が求まる．

【例1】　次の和を求めなさい。ただし，r≠1とする。 1+2r+3r²+4r³+5r⁴+・・・+nrⁿ⁻¹

（答案）
S=1+2r+3r²+4r³+5r⁴+・・・+nrⁿ⁻¹とおく
−)rS=r+2r²+3r³+4r⁴+・・・+(n-1)rⁿ⁻¹+nrⁿ

S−rS=(r⁰+r¹+r²+r³+r⁴+・・・+rⁿ⁻¹)−nrⁿ

()内は等比数列の和になるので公式で和が求まります。
()内は初項１，公比等比r，項数n（r¹からrⁿ⁻¹まででｎ−1項，これに1=r⁰の項を付け加えるとｎ項）の等差数列の和数列の和だから

\frac{1 (r^{n} - 1)}{r - 1}

結局，求めるものは

(1 - r) S = \frac{1 (r^{n} - 1)}{r - 1} - n r^{n} = \frac{1 - r^{n}}{1 - r} - n r^{n}

S = \frac{1 - r^{n}}{(1 - r)^{2}} - \frac{n r^{n}}{1 - r} = \frac{r^{n} (n r - n - 1)}{(1 - r)^{2}} + \frac{1}{(1 - r)^{2}}

…（答）

（ビックリ答案から学ぼう）
※次の数列は等比数列ではありません： S=1+2r+3r²+4r³+5r⁴+・・・+nrⁿ⁻¹
今までに出会った間違い答案で，「どうしても合わない」という人は，この数列の公比を

\frac{a_{n}}{a_{n - 1}} = \frac{n r^{n - 1}}{(n - 1) r^{n - 2}} = \frac{r n}{n - 1}

と考えていた例がありました。公比は”公”なのでｎによらない共通な定数でなければなりませんが，この数列には公比はありません！

どうしても納得しない方は，
1，3，5，7，… ，(2n−3)，(2n−1)
という数列［公差2の等差数列］の公比が

r = \frac{2 n - 1}{2 n - 3}

とは言えないことを思い出しましょう．

（参考）
wxMaxima（←インストール方法など）を使って，検算する方法
メニューから：微積分→数列の総和→

［関数］k*r^(k-1)
［変数］k
［下端］1
［上端］n
［数式で出力］にチェックを入れる

これにより，次の形で出力されます．

\frac{r^{n} (n r - n - 1)}{(1 - r)^{2}} + \frac{1}{(1 - r)^{2}}

【例2】　次の和を求めなさい。ただし，x≠1とする。

\sum_{k = 1}^{n} (k + 1) x^{k}

（答案）
S=2x+3x²+4x³+5x⁴+・・・+(n+1)xⁿとおく
−)xS=2x²+3x³+4x⁴+・・・+nxⁿ+(n+1)xⁿ⁺¹

S−xS=2x+(x²+x³+x⁴+・・・+xⁿ)−(n+1)xⁿ⁺¹

()内は等比数列の和になるので公式で和が求まります。
()内は初項x²，公比等比x，項数n−1の等差数列の和数列の和だから

\frac{x^{2} (x^{n - 1} - 1)}{x - 1} = \frac{x^{2} (1 - x^{n - 1})}{1 - x}

結局，求めるものは

(1 - x) S = 2 x + \frac{x^{2} (1 - x^{n - 1})}{1 - x} - (n + 1) x^{n + 1}

S = \frac{x^{2} (1 - x^{n - 1})}{(1 - x)^{2}} + \frac{2 x - (n + 1) x^{n + 1}}{1 - x}

= \frac{x^{n + 1} {(n + 1) x - n - 2} + 2 x - x^{2}}{(1 - x)^{2}}

…（答）

（参考）
wxMaximaを使って，検算する方法
メニューから：微積分→数列の総和→

［関数］(k+1)*x^k
［変数］k
［下端］1
［上端］n
［数式で出力］にチェックを入れる

これにより，次の形で出力されます．

\frac{x^{n + 1} (n x + x - n - 2)}{(x - 1)^{2}} - \frac{(x - 2) x}{(x - 1)^{2}}

■問題

１　次の和を求めなさい。ただし，ｘ≠1とする。 1+3x+5x²+7x³+・・・+(2n-1)x^n-1

(答案)

(正しいものを選びなさい。)

［ア］	(2n-1)x^n-1， (2n-3)x^n-1， 2nx^n-1， (2n+1)x^n-1
［イ］	1， x ，2x
［ウ］	x，2x，2x²
［エ］	n-1，n，n+1

■問題

２　次の和を求めなさい。

(答案)

(正しいものを選びなさい。)

［ア］	n3^n-1， 3ⁿ， (n-1)3ⁿ， n3ⁿ
［イ］	1， 3 ，3²
［ウ］	x，3，3²
［エ］	n-1，n，n+1

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