部分分数分解

※高校数学Bの「数列」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　が現在地です．

部分分解の【例1】　

・・・答は1/3

【以上の要約】

Σ（ｋのｎ次式）は，Σ｛ｋのｎ＋１次式の差｝で表すことができるとき，中間項が消えて簡単になります.
中間項の消え方（両端の残り方）は縦書きにするとよく分かります.
この原理は，部分分数分解によく用いられますが，分数以外でも使えます.

【問題2】
　初項から第n項までの和Snが

S_{n} = \frac{1}{6} n (n + 1) (2 n + 7) (n = 1, 2, 3, \dots)

で表される数列{an}がある．
(1)　{an}の一般項を求めよ．

(2)　

\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{a_{k}}

を求めよ．

（2021年度北海道大学.前期）

ア） n≧2のとき
　an=Sn−Sn−1

= \frac{1}{6} n (n + 1) (2 n + 7) - \frac{1}{6} (n - 1) n (2 n + 5)

= \frac{1}{6} n {(n + 1) (2 n + 7) - (n - 1) (2 n + 5)}

= \frac{1}{6} n {(2 n^{2} + 9 n + 7) - (2 n^{2} + 3 n - 5)}

= \frac{1}{6} n (6 n + 12)

= n (n + 2)

イ） n=1のとき
　a1=S1

= \frac{1}{6} \times 1 \times 2 \times 9 = 3

ア）イ）より
　n=1, 2, 3, … のとき，an=n(n+2)…（答）
→隠す←

\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{a_{k}} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k (k + 2)} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{2} {\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 2}}

ア）n≧2のとき

= \frac{1}{2} {\frac{1}{1} - \frac{1}{3}}

+ \frac{1}{2} {\frac{1}{2} - \frac{1}{4}}

+ \frac{1}{2} {\frac{1}{3} - \frac{1}{5}}

→ 将棋で言えば
　↓桂馬跳びの位置に
　↓符号が逆の
← 対がある

+ \frac{1}{2} {\cdot \cdot \cdot - \cdot \cdot \cdot}

+ \frac{1}{2} {\frac{1}{n - 2} - \frac{1}{n}}

+ \frac{1}{2} {\frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n + 1}}

+ \frac{1}{2} {\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 2}}

→ 将棋で言えば
　↓桂馬跳びの位置に
　↓符号が逆の
← 対がある

= \frac{1}{2} {\frac{1}{1} + \frac{1}{2} - \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2}}

= \frac{1}{2} {\frac{3}{2} - \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2}}

= \frac{1}{2} {\frac{3 (n + 1) (n + 2) - 2 (n + 2) - 2 (n + 1)}{2 (n + 1) (n + 2)}}

= \frac{3 n^{2} + 9 n + 6 - 2 n - 4 - 2 n - 2}{4 (n + 1) (n + 2)}

= \frac{3 n^{2} + 5 n}{4 (n + 1) (n + 2)}

= \frac{n (3 n + 5)}{4 (n + 1) (n + 2)}

イ） n=1のとき

\sum_{k = 1}^{1} \frac{1}{a_{k}} = \frac{1}{a_{1}} = \frac{1}{1 \times 3} = \frac{1}{3}

ア）イ）より
n=1, 2, 3, …のとき，

\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{a_{k}} = \frac{n (3 n + 5)}{4 (n + 1) (n + 2)}

…(答)
→隠す←

部分分数分解の問題コーナー（分子に(3k+2)がある問題）で解答に原式が１次/３次だから２次/３次の差にすると書いてありますが、計算過程を見ると１次/２次の差になっていると思います。１次上げるために分母を１次下げ、差にしたと解釈してよいのでしょうか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．ご指摘の通りでしたので訂正しました．

この説明で、＜f(k)-f(k+1)を使ったΣ＞の全容がわかりました。素晴らしい解説です！感謝です。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

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* はじめてやる人には，たぶん難しい ⇒ HELPも見ながら，ゆっくりやるべし * 《問題1》　左辺に等しいものを右辺から見つけなさい.（この右辺は，答案の最終形ではさらに通分などによりまとめるものとしますが，ここでは途中経過で表示します.）左辺から1つ選び，続けて右辺から1つ選びなさい.合っていれば消えます． ○初めに左の式を選び，続いて右の式を選んでください． ○間違った場合，HELPを読む場合でも読まない場合でも［やり直す］を押せば，解答を再開できます．

× HELP やり直す