部分分数分解

...(ＰＣ版)メニューに戻る
*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ 高卒・大学初年度
*** 単元 ***
式と証明点と直線円軌跡と領域三角関数
指数関数対数関数微分不定積分定積分
高次方程式数列漸化式と数学的帰納法
平面ベクトル空間ベクトル確率分布

※高校数学Bの「数列」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　が現在地です．

↓規則性を見つける
↓一般項に慣れる

↓等差数列
↓等比数列，循環数列

↓和の記号Σ
↓同 (2)
↓同 (3)
↓Σ記号の変形
↓等比数列のΣ
↓いろいろな数列のΣ

↓階差数列
↓S_na_n関係式
↓部分分数分解-現在地
↓等差×等比形の数列の和

↓群数列

↓自然数の累乗の和
センター試験.数B.数列

部分分数分解
《解説》
■小中学校で異分母の分数の足し算・引き算をするときには，通分によって行います.

通分の例：

■次に説明する部分分数分解は，一言で言えば「通分の逆」です.

部分分解の【例1】　

部分分数分解により，中間の項が消えて和が求まります.

上の計算で，中間項の消え方を調べるには，縦書きにすると」符号が逆の対を見つけやすくなります.

・・・答は1/3

○部分分数分解を用いた中間項の消去は，対となる項を見つけることがポイントですが，これは横書きのままでは分からなくても，縦書きにすれば見つかります.
【例2】

（考え方）

■以上の内容についての理論的な説明：
　分数に限らず，一般に
｛f(k)-f(k+1)｝，｛f(k+1)-f(k)｝，｛f(k)-f(k-1)｝，｛f(k-1)-f(k)｝のように数列ｆ（ｋ）の次または前の項との差であらわされるものの和は，

　のように中間項が消えて，その両端が残ります.(隣の項でなく，1つ向こうの項との差で表されるときは，前後２項ずつが残ります).そこで，f(k)-f(k+1)のような形に直すことができれば，和が容易に求められます.
【例3】　

【例4】

■一般に，（ある式）＝ｆ（ｋ＋１）－ｆ（ｋ）となる式ｆ（ｋ）は，元の式の次数を1次上げたものに見つかります（数IIで習う積分と同じです.）：例1，例2の式はｋ^－２なので、ｋ^-1の式の差で表現できます.例3の式はｋ^－1/２なので、ｋ^+1/2の式の差で表現できます.例4の式はｋ³なので、ｋ⁴の式の差で表現できます.（元の式がｋ^-1のときはどうにもなりません：1+1/2+1/3+1/4+・・・.）

■上記の縦書きの変形で，高校の定期試験，大学の入学試験などにも十分対応できると考えられますが，さらに美的・論理的な変形を好まれる場合には次のように記述するとよいでしょう.

｛f(k)-f(k+1)｝＝

f(k)-

f(k+1)
＝

f(k)-

f(k)
＝f(1)-f(ｎ＋1)

【以上の要約】

Σ（ｋのｎ次式）は，Σ｛ｋのｎ＋１次式の差｝で表すことができるとき，中間項が消えて簡単になります.
中間項の消え方（両端の残り方）は縦書きにするとよく分かります.
この原理は，部分分数分解によく用いられますが，分数以外でも使えます.

* はじめてやる人には，たぶん難しい ⇒ HELPも見ながら，ゆっくりやるべし * 《問題1》　左辺に等しいものを右辺から見つけなさい.（この右辺は，答案の最終形ではさらに通分などによりまとめるものとしますが，ここでは途中経過で表示します.）左辺から1つ選び，続けて右辺から1つ選びなさい.合っていれば消えます． ○初めに左の式を選び，続いて右の式を選んでください． ○間違った場合，HELPを読む場合でも読まない場合でも［やり直す］を押せば，解答を再開できます．

× HELP やり直す

【問題2】
　初項から第n項までの和Snが

S_{n} = \frac{1}{6} n (n + 1) (2 n + 7) (n = 1, 2, 3, \dots)

で表される数列{an}がある．
(1)　{an}の一般項を求めよ．

(2)　

\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{a_{k}}

を求めよ．

（2021年度北海道大学.前期）

(1)　解答を見る

ア） n≧2のとき
　an=Sn−Sn−1

= \frac{1}{6} n (n + 1) (2 n + 7) - \frac{1}{6} (n - 1) n (2 n + 5)

= \frac{1}{6} n {(n + 1) (2 n + 7) - (n - 1) (2 n + 5)}

= \frac{1}{6} n {(2 n^{2} + 9 n + 7) - (2 n^{2} + 3 n - 5)}

= \frac{1}{6} n (6 n + 12)

= n (n + 2)

イ） n=1のとき
　a1=S1

= \frac{1}{6} \times 1 \times 2 \times 9 = 3

ア）イ）より
　n=1, 2, 3, … のとき，an=n(n+2)…（答）
→隠す←

(2)　解答を見る

\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{a_{k}} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k (k + 2)} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{2} {\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 2}}

ア）n≧2のとき

= \frac{1}{2} {\frac{1}{1} - \frac{1}{3}}

+ \frac{1}{2} {\frac{1}{2} - \frac{1}{4}}

+ \frac{1}{2} {\frac{1}{3} - \frac{1}{5}}

→ 将棋で言えば
　↓桂馬跳びの位置に
　↓符号が逆の
← 対がある

+ \frac{1}{2} {\cdot \cdot \cdot - \cdot \cdot \cdot}

+ \frac{1}{2} {\frac{1}{n - 2} - \frac{1}{n}}

+ \frac{1}{2} {\frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n + 1}}

+ \frac{1}{2} {\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 2}}

→ 将棋で言えば
　↓桂馬跳びの位置に
　↓符号が逆の
← 対がある

= \frac{1}{2} {\frac{1}{1} + \frac{1}{2} - \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2}}

= \frac{1}{2} {\frac{3}{2} - \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2}}

= \frac{1}{2} {\frac{3 (n + 1) (n + 2) - 2 (n + 2) - 2 (n + 1)}{2 (n + 1) (n + 2)}}

= \frac{3 n^{2} + 9 n + 6 - 2 n - 4 - 2 n - 2}{4 (n + 1) (n + 2)}

= \frac{3 n^{2} + 5 n}{4 (n + 1) (n + 2)}

= \frac{n (3 n + 5)}{4 (n + 1) (n + 2)}

イ） n=1のとき

\sum_{k = 1}^{1} \frac{1}{a_{k}} = \frac{1}{a_{1}} = \frac{1}{1 \times 3} = \frac{1}{3}

ア）イ）より
n=1, 2, 3, …のとき，

\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{a_{k}} = \frac{n (3 n + 5)}{4 (n + 1) (n + 2)}

…(答)
→隠す←

...（携帯版）メニューに戻る

...メニューに戻る

■［個別の頁からの質問に対する回答］[部分分数分解について／17.5.18］

部分分数分解の問題コーナー（分子に(3k+2)がある問題）で解答に原式が１次/３次だから２次/３次の差にすると書いてありますが、計算過程を見ると１次/２次の差になっていると思います。１次上げるために分母を１次下げ、差にしたと解釈してよいのでしょうか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．ご指摘の通りでしたので訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[部分分数分解について／17.3.7］

この説明で、＜f(k)-f(k+1)を使ったΣ＞の全容がわかりました。素晴らしい解説です！感謝です。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

隨�ｿｽ邵ｺ阮呻ｿｽ郢ｧ�ｵ郢ｧ�､郢昜ｺ･�ｽ邵ｺ�ｮGoogle隶諛�ｽｴ�｢隨�ｿｽ

隨�ｽｳ邵ｺ阮呻ｿｽ郢晏｣ｹ�ｽ郢ｧ�ｸ邵ｺ�ｮ陷育｣ｯ�ｽ�ｭ邵ｺ�ｫ隰鯉ｽｻ郢ｧ驫辟｡邵ｲ�ｽ郢ｧ�｢郢晢ｽｳ郢ｧ�ｱ郢晢ｽｼ郢晉｣ｯﾂ竏ｽ�ｿ�｡邵ｲ�ｽ
… 邵ｺ阮呻ｿｽ郢ｧ�｢郢晢ｽｳ郢ｧ�ｱ郢晢ｽｼ郢晏現�ｽ隰ｨ蜻取駁隰ｾ�ｹ陜滂ｿｽ�ｽ陷ｿ繧環�ｽ竊鍋ｸｺ霈披雷邵ｺ�ｦ邵ｺ�ｽ笳�ｸｺ�ｽ邵ｺ髦ｪ竏ｪ邵ｺ�ｽ

隨�ｿｽ邵ｺ阮呻ｿｽ鬯��竊鍋ｸｺ�､邵ｺ�ｽ窶ｻ�ｽ迹壽�邵ｺ�ｽ蝨抵ｿｽ譴ｧ縺檎ｸｺ�ｽ蝨抵ｿｽ遒∽ｿ｣鬩戊ｼ費ｼ樒ｸｺ�ｮ隰厄ｿｽ驕ｭ�ｽ蠕娯落邵ｺ�ｮ闔画じ�ｽ隲｢貊鳶ｦ邵ｺ蠕娯旺郢ｧ蠕鯉ｿｽ鬨ｾ竏ｽ�ｿ�｡邵ｺ蜉ｱ窶ｻ邵ｺ荳岩味邵ｺ霈費ｼ橸ｿｽ�ｽ

隨ｳ蛹ｺ譫夐��ｽ邵ｺ�ｮ陟厄ｽ｢郢ｧ蛛ｵ��邵ｺ�ｦ邵ｺ�ｽ�玖ｫ｢貊鳶ｦ邵ｺ�ｯ陷茨ｽｨ鬩幢ｽｨ髫ｱ�ｭ邵ｺ�ｾ邵ｺ蟶吮ｻ郢ｧ繧�ｽ臥ｸｺ�｣邵ｺ�ｦ邵ｺ�ｽ竏ｪ邵ｺ蜻ｻ�ｼ�ｽ
隨ｳ蛹ｺ笏隲��ｳ邵ｺ�ｮ陷�ｽ縲抵ｿｽ蠕娯�邵ｺ�ｮ陜�蝓趣ｽ｡蠕娯ｲ邵ｺ�ｩ邵ｺ�ｽ縲堤ｸｺ繧�夢邵ｺ貅伉ｰ郢ｧ蜻茨ｽｭ�｣驕抵ｽｺ邵ｺ�ｪ隴�ｿｽ�ｫ�ｽ邵ｺ�ｧ闔ｨ譏ｴ竏ｴ邵ｺ�ｦ邵ｺ�ｽ笳�ｸｺ�ｽ邵ｺ�ｽ笳�ｬｾ�ｹ陜滂ｿｽ�ｦ竏ｵ謔咲ｸｺ�ｫ陝�ｽｾ邵ｺ蜉ｱ窶ｻ邵ｺ�ｯ�ｽ謔溷ｺ�妙�ｽ邵ｺ�ｪ鬮ｯ闊鯉ｽ願汞�ｾ陟｢諛岩�郢ｧ荵晢ｽ育ｸｺ�ｽ竊鍋ｸｺ蜉ｱ窶ｻ邵ｺ�ｽ竏ｪ邵ｺ蜻ｻ�ｼ雜｣�ｼ驕ｺﾂ�ｻ邵ｺ�ｪ邵ｺ螂�ｽｼ譴ｧ蛻､隰ｦ�ｽ蝎ｪ邵ｺ�ｪ隴�ｿｽ�ｫ�ｽ邵ｺ�ｫ邵ｺ�ｪ邵ｺ�｣邵ｺ�ｦ邵ｺ�ｽ�玖撻�ｴ陷ｷ蛹ｻ�ｽ�ｽ蠕娯落郢ｧ蠕鯉ｽ定怦�ｬ鬮｢荵昶�郢ｧ荵昶�驕ｲ�ｽﾂ�ｽ笆｡邵ｺ莉｣縲堤ｸｺ�ｪ邵ｺ蜑ｰ�ｪ�ｭ髢��ｽ�る坡�ｭ郢ｧﾂ邵ｺ阮吮�邵ｺ�ｫ邵ｺ�ｪ郢ｧ鄙ｫ竏ｪ邵ｺ蜷ｶ�ｽ邵ｺ�ｧ�ｽ譴ｧ豐ｻ騾包ｽｨ邵ｺ蜉ｱ竏ｪ邵ｺ蟶呻ｽ難ｿｽ雜｣�ｼ�ｽ

髮会ｽｪ陜�荳岩�陝�ｽｾ邵ｺ蜷ｶ�玖摎讓抵ｽｭ譁撰ｿｽ闕ｳ�ｭ陝�ｽｦ霑壼現�ｽ邵ｺ阮呻ｿｽ鬯�ｿｽ�ｽ遒�ｽｫ菫ｶ�ｽ�｡霑壼現�ｽ邵ｺ阮呻ｿｽ鬯�ｿｽ邵ｺ�ｫ邵ｺ繧�ｽ顔ｸｺ�ｾ邵ｺ�ｽ