高校では3乗の和までを覚える.4乗以上の和は覚えない.
【Ⅰ 公式一覧】
|
【Ⅱ 累乗の和の相互関係】
とおくとき,高校数学で言えなけえばならないのは,次の1つだけである. すなわち 高校生としては,まずこの関係に感心してもらって,「他にはないのか」と興味をもってもらうとよい. 次の関係が知られている.これらはⅠの公式一覧を前提とすれば,気長に計算するだけで示せる. ※右辺の分数は,分子の係数を単純に足したものが分母になっている.( Ⅰの公式一覧はmが10以下の場合しか示していないので,すべてのmについて述べたい場合には,数学的帰納法などを使って示す必要がある. どの すなわち,mが正の整数のとき
ただし,多項式が多項式で割り切れるというときは係数が分数になってもよく,因数をもつというのと同じ意味である.
Ⅰの公式一覧を見ると次の関係が成り立つように思われるが,証明となると難しい.
mが3以上の奇数のとき,
mが偶数のとき,
|
【Ⅰの公式の証明方法】 [1] Σ{ f(n+1)−f(n) }の形を作る方法 [3] 微分を利用する方法 [*4] ベルヌーイ多項式を利用する方法 大学生向けには,[*4]の方法による証明が多いが,高校数学の範囲を外れてしまうので,以下においては[1]~[3]の方法で解説する. |
[1] Σ{ f(n+1)−f(n) }の形を作る方法
まず,次のような「隣り合う2項の差で表される数列」の和を考える.
以上の性質(1.2)を利用して,実際に自然数の累乗の和を求めてみる.もしくは (1.1)は このような和では,正負の符号が異なる中間項が消えて,先頭の項と末尾の項だけが残ることに注意すると,結果は次のようになる. すなわち (1.2)では,さらに先頭の項も消えるのでもっと簡単になる. すなわち 少し勉強してみると,自然数の1乗の和は2次式,2乗の和は3次式,3乗の和は4次式,...というように元の式よりも次数が1つ高い式が和の式になるので を作ってみる. (1.3)から,この和は 他方で,この式は すなわち に等しい. したがって 以上により が示された. を証明する. を作ってみると. すなわち 他方 したがって この式を気長に変形していくと 以下同様にして,次数の低い方から順に |
[2] 階段型の式:(n+2)(n+1)nなどを利用する方法 まず,次の変形を見ておきます. (2.1)から 左辺は となるから 同様にして,(2.2)から したがって 同様にして,(2.3)から したがって ゆえに |
[3] 微分を利用する方法
この方法では数学Ⅲで習う分数関数の微分法を使います
まず,次の数列を考えます.これが全体の母となる関数です.したがって この式の両辺にx=1を「代入する」と,自然数の和が得られるのであるが,注意すべき問題点が2つある.
(1)
(1)について,関数値(2) (2)についても同様に極限値を比較するのであるが,数学Ⅲで習うロピタルの定理というのがあって, のとき もし,1回の微分で とならないときは,分母が0以外になるまで,繰り返し微分して とすればよい. 上記の 以上により この方法の要点は,次々に微分していくと階段型の係数 となるのに対して,微分するたびにxを掛けると累乗の係数になることを利用する点にある. 微分すると xを掛けると 微分すると xを掛けると 微分すると このようにして,自然数の累乗を係数とする多項式を作り,右辺も微分するたびにxを掛けると,次々に公式が得られる. 理屈上は以上のようにすればできるはずであるが,実際にやってみると右辺の分数式の微分が複雑で,さらにロピタルの定理を繰り返し使わなければならないので,あまりうれしくない.別系統から求めて点検できるということがこの方法の良さかもしれない. |
【Ⅱ 累乗の和の相互関係】(解説) すなわち 右辺は だから等しい. すなわち 右辺は だから等しい. すなわち 右辺は だから等しい. 以下,同様にして気長に計算すれば(Ⅱ.6)までは示せる. この頁では,公式一覧は10乗までしか示していないので,この範囲の数字について調べただけで,(Ⅱ.7)のようにすべての自然数mについて成り立つことまではいえない. (以下は試案:手元に十分な資料がないので未確認です) (2.2)(2.3)のようにして により の右辺の各項は に係数がついているだけだから したがって, (Ⅱ.8)(Ⅱ.9)の初等的な証明方法,証明できるかどうかも,筆者としては確認できていない. |
■[個別の頁からの質問に対する回答][自然数の累乗の和について/17.7.21]
II.8について,$p$が3以上の奇数のときには$S_p$は$S_3=S_1^2$で割り切ることができることは,
例えばHans Rademacher著,Topics in Analytic Number Theory, Springer-Verlag の
p.1~p.8に証明があります.
=>[作者]:連絡ありがとう.ていねいに読んでくれてありがとう.整数問題は詳細に研究されているので,証明があるかもと感じていましたが,実際に証明した人がいたというのは,やはりという感じです. 高校生向けの教材として(数学的帰納法などの初等的な方法で,30分程度で)証明するのはやはり難しそうです.未解決問題風に夢を持っていただければ筆者の目標はほぼ達成されたことになります. |
![]() ![]() |
鬯ッ�ッ�ス�ッ�ス�ス�ス�ョ�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ォ�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ィ�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ソ�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス鬯ッ�ッ�ス�ッ�ス�ス�ス�ゥ鬮ォ�ー�ス�ウ�ス�ス�ス�セ�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�オ�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�コ鬯ッ�ッ�ス�ッ�ス�ス�ス�ョ�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ヲ�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ョ鬯ッ�ョ�ス�ッ�ス�ス�ス�キ�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�サ�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�サ�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ソ�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス鬯ッ�ッ�ス�ッ�ス�ス�ス�ゥ鬮ッ譎「�ス�キ�ス�ス�ス�「�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�「�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ァ�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�オ鬯ッ�ッ�ス�ッ�ス�ス�ス�ゥ鬮ッ譎「�ス�キ�ス�ス�ス�「�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�「�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ァ�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�、鬯ッ�ッ�ス�ッ�ス�ス�ス�ゥ鬮ッ譎「�ス�キ�ス�ス�ス�「�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�「鬯ッ�ョ�ス�ォ�ス�ス�ス�エ鬮」蛹�スス�オ髫エ莨夲スス�ヲ�ス�ス�ス�ソ�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�コ�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�・�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス鬯ッ�ッ�ス�ッ�ス�ス�ス�ゥ鬮ォ�ー�ス�ウ�ス�ス�ス�セ�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�オ�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�コ�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ョGoogle鬯ッ�ッ�ス�ッ�ス�ス�ス�ョ�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ォ�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�カ�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス鬩搾スオ�ス�コ�ス�ス�ス�、�ス�ス邵コ�、�つ鬯ッ�ッ�ス�ョ�ス�ス�ス�ォ�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�イ鬯ョ�ッ隴趣ス「�ス�ス�ス�キ�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�「�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ソ�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�エ�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�「鬯ッ�ッ�ス�ッ�ス�ス�ス�ョ�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ォ�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ィ�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ソ�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス�ス |